МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Чернігівський державний технологічний університет

Кафедра вищої математики

Контрольна робота

з дисципліни:Математичне програмування

Варіант 06

Чернігів 2009

Зміст

• Завдання №1
• Завдання №2
• Завдання №3
• Завдання №4
• Завдання №5
• Список використаних джерел

Завдання №1

Звести до канонічної форми задачу лінійного програмування:

Дана задача лінійного програмування задана в симетричній формі запису: умови, при яких функція F буде максимальною, задані у вигляді нерівностей. Для того, щоб отримати канонічну форму задачі лінійного програмування необхідно нерівності перетворити у рівності, використовуючи теорему, за якою нерівність

еквівалентна рівнянню

і нерівності

а нерівність вигляду

еквівалентна рівнянню

, в якому

Враховуючи наведене вище дану задачу запишемо у наступній канонічній формі:

Завдання №2

Визначити оптимальний план задачі лінійного програмування графічним методом (знайти максимум і мінімум функції):

Для задач з двома змінними можна використовувати графічний спосіб розвязку задач лінійного програмування. Побудуємо область допустимих розвязків системи лінійних нерівностей. Для цього будуємо відповідні даним нерівностям граничні прямі:

Потім знаходимо напівплощини, в яких виконуються задані нерівності (рисунок1).

Рисунок1- Графічне визначення максимального і мінімального значення функції

Область допустимих рішень визначається як загальна частина напівплощин, відповідних даним нерівностям, які при цьому знаходяться в першій четвертині, тобто обмежуються прямими і . З малюнку 1 видно, що функція не має рішення, оскільки напівплощина, утворена прямими

не співпадає з площиною, утвореною обмеженнями

.

Завдання №3

Побудувати двоїсту задачу. Симплексним методом знайти оптимальний план початкової задачі. Використовуючи першу теорему двоїстості, визначити план другої задачі.

Для перетворення нерівностей в рівності вводимо змінні одиничні матриці х₃, х₄ і х₅. Для розвязку задачі симплексним методом необхідно мати три одиничних матриці при невідємних правих частинах рівнянь. Для отримання одиничної матриці в першій і третій нерівностях вводимо введемо штучні змінну х₆ і х₇ та отримаємо одиничні матриці А₆ і А₇. Де

і

В результаті наведених перетворень отримаємо наступну задачу:

У виразі функції величину М вважаємо достатньо великим додатнім числом, оскільки задача розвязується на знаходження мінімального значення функції.

Запишемо задачу у векторній формі:

де

В якості базису вибираємо одиничні вектори А₆, А₄, А₇. Вільні невідомі прирівнюємо нулю . В результаті отримаємо початковий опорний план розширеної задачі

,

якому відповідає розкладення

Для перевірки початкового опорного плану складаємо першу симплексну таблицю (таблиця1) і підраховуємо значення функції і оцінок Маємо:

тобто оскільки М попередньо не фіксовано, то оцінки є лінійними функціями величини М, причому функція складається з двох доданків, одне з яких залежить від М, інше не залежить. Для зручності розрахунків в (F-C) рядок запишемо доданок, незалежний від М, а в (М) рядок - тільки коефіцієнти при М, які і дозволяють порівняти оцінки між собою. Для векторів базису оцінки дорівнюють нулю.

Таблиця1- Перша симплексна таблиця

В (М) рядку є додатні оцінки, тому опорний план Х₀ не є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає . Оскільки у нас максимальне значення 4 належить двом векторам, то в базис включаємо вектор, якому відповідає мінімальне С_j. Розвязувальним рядком вибирається той, в якому найменше відношення Серед коефіцієнтів розкладання векторів А₁ і А₂ по базису є додатні, тому хоча б один з векторів існує.. Знайдемо ці значення:

;

Таким чином підтвердилося, що розвязувальним стовпчиком буде другий, і визначилося, що розвязувальним рядком буде перший. Тобто розвязувальний елемент - число 3. Тоді вектор А₂ включаємо в базис, а вектор А₆ виключаємо з нього.

Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця2). При цьому елементи першого (розвязувального) рядка ділимо на 3. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.

Таблиця2- Друга симплексна таблиця

В (М) рядку є додатні оцінки, тому план, зображений в таблиці2 не є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає . Тобто за розвязувальний стовпчик вибираємо перший. Мінімальне відношення

тому розвязувальним рядком є третій. Таким чином розвязувальний елемент - число 2,67. Тоді вектор А₁ включаємо в базис, а вектор А₇ виключаємо з нього.

Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця3). При цьому елементи третього (розвязувального) рядка ділимо на 2,67. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.

Таблиця3- Третя симплексна таблиця

В результаті проведеної ітерації з базису виключено штучні елементи, тому в рядку (М) всі оцінки, крім оцінки штучного вектору, перетворилися на нуль. Оскільки в рядках (F-C) і (М) не має додатних значень, то знайдене рішення

()

є оптимальним. Функція при цьому

Перевірка

Кожній задачі лінійного програмування можна поставити у відповідність двоїсту задачу. Для цього першим кроком необхідно впорядкувати запис вихідної задачі. Оскільки у нас функція мінімізується, то всі умови-нерівності повинні бути вигляду . Виконання цієї умови досягаємо множенням відповідних умов на (1-). В результаті система обмежень матиме наступний вигляд:

Оскільки вихідна задача є задачею мінімізації, то двоїста буде задачею максимізації. Двоїста задача буде мати три змінні , оскільки вихідна задача має три обмеження. При цьому вектор, отриманий із коефіцієнтів при невідомих цільової функції вихідної задачі , співпадає з вектором констант у правих частинах обмежень двоїстої задачі. Аналогічно повязані між собою вектори, утворені з коефіцієнтів при невідомих цільової функції двоїстої задачі , і константи в правих частинах обмежень вихідної задачі. Кожній змінній двоїстої задачі відповідає і-те обмеження вихідної задачі, і, навпаки, кожній змінній прямої задачі відповідає j-те обмеження двоїстої задачі. Матриця з коефіцієнтів при невідомих двоїстої задачі утворюється транспортуванням матриці А, складеної з коефіцієнтів при невідомих вихідної задачі. Якщо на j-ту змінну вихідної задачі накладена умова невідємності, то j-те обмеження двоїстої задачі буде нерівністю, в іншому випадку j-те обмеження буде рівністю; аналогічно повязані між собою обмеження вихідної задачі і змінні двоїстої.

Складаємо матрицю при невідомих вихідної задачі:

,

тоді матриця при невідомих двоїстої задачі матиме наступний вигляд:

На накладено умову невідємності, тому обмеження двоїстої задачі матимуть вигляд нерівності, а не рівності. Оскільки в початковій задачі всі обмеження мають вигляд нерівності, то накладаємо умови

Враховуючи все наведене, двоїста задача матиме наступний вигляд:

Якщо розглянути першу симплексну таблицю з одиничним додатковим базисом, то можна помітити, що в стовбцях записана вихідна задача, а в рядках - двоїста. Причому оцінками плану вихідної задачі є , а оцінками плану двоїстої задачі - З таблиці3, отриманої в результаті рішення вихідної задачі знаходимо:

Завдання №4

Визначити оптимальний план транспортної задачі:

а) побудувати початковий опорний план методом "північно-західного" напрямку;

б) побудувати оптимальний план методом потенціалів:

Нехай в матриці А міститься інформація про кількість продукту в кожному місці виробництва, який необхідно доставити споживачам в кількості записаній в матриці В. Транспортні витрати, повязані з перевезенням одиниці продукту із одного місця виробництва одному споживачеві, записані в матриці С. Задані матриці і сказане вище для спрощення сприйняття узагальнимо в таблиці4.

Таблиця4-Поставка продукту із різних місць виробництва різним споживачам і повязані з цим витрати

З таблиці4 видно, що запаси продукту у виробника на складах на 15 одиниць більші ніж необхідно споживачу, тобто маємо транспортну задачу з відкритою моделлю. Для розвязку такої задачі введемо фіктивного споживача, якому необхідно отримати одиниць продукту. Всі тарифи на доставку продукту цьому споживачеві будемо вважати рівними нулю, і весь продукт потрібний цьому споживачеві залишаємо у місці виробництва. Для побудови початкового плану перевезень (таблиця5) використаємо метод "північно-західного" напрямку: заповнювати таблицю починаємо з лівого верхнього кута, рухаючись вниз по стовбцю або вправо по рядку (тарифи перевезень напишемо в правому верхньому куту кожної клітини, кількість продукту - в нижньому лівому). В першу клітину заносимо менше з чисел (min(40;60): 40. Тобто потреба в продукті першого споживача повністю задовільнено і інші клітини першого стовпця заповнювати не будемо. Рухаємося далі по першому рядку в другий стовпчик. В цю клітину записуємо менше з 30 і (60-40), тобто пишемо 20. Таким чином перший рядок заповнювати далі не будемо, оскільки запаси першого місця виробництва остаточно вичерпано: з нього ми повністю задовольняємо потребу у продукті першого споживача і частково (20 одиниць, а не 30) другого. Рухаємося по другому стовпчику на другий рядок. Сюди записуємо менше з (30-20) або 20: маємо 10, тобто другому споживачеві ми веземо 20одиниць продукту з першого місця виробництва і 10- з другого. Аналогічно заповнюємо інші клітини.

Таблиця5- Розподіл продукту по споживачам

Таким чином, в таблиці5 отримали початковий опорний план, транспортні витрати за яким складають:

Недоліком використаного методу знаходження опорного плану є ігнорування величини тарифів на перевезення продукту.

Для визначення оптимального плану перевезень використаємо метод потенціалів. Для цього кожному виробнику А_і (кожному рядку) ставимо у відповідність деяке число а кожному споживачу В_і (кожному стовпчику)- деяке число На основі таблиці5 складемо таблицю6, в якій додамо один стовпчик і один рядок для написання величини параметрів і . Їх знаходимо використовуючи першу умову оптимальності транспортної задачі: (для кожної зайнятої клітини сума потенціалів повинна дорівнювати вартості одиниці перевезення, що записана в цій клітині).

Таблиця6- Перевірка оптимальності опорного плану

Систему потенціалів можна побудувати лише для невирожденого опорного плану. Такий план містить m+n-1 лінійно незалежних рівнянь виду з m+n невідомими (де m- кількість постачальників, n- кількість споживачів). Рівнянь на одне менше, ніж невідомих, тому система є невизначеною і для її розвязку одному невідомому (нехай ним буде u₁) придамо нульове значення.

Для того, щоб план був оптимальним, повинна виконуватись умова: для кожної незайнятої клітини сума потенціалів повинна бути менша або дорівнювати вартості одиниці перевезення, що стоїть в цій клітині: тобто Робимо перевірку для всіх вільних клітин:

З розрахунків бачимо, що умова оптимальності не виконується для клітин, А₁В₃, А₂В₁, А₃В₁, А₄В₁, А₄В₂, і А₄В₃. Клітину, в якій додатне число отримали максимальним (А₂В₃, оскільки max(5;2;3;6;7;8)=8) зробимо зайнятою, для цього побудуємо цикл і отримуємо таблицю7.

Таблиця7- Другий крок пошуку оптимального рішення

Транспортні витрати при такому плані перевезення складають:

Перевірка всіх вільних клітин:

Отримали відємні значення у всіх клітинах окрім А₁В₃ (5), А₁В₅ (3), А₂В₁ (2), А₂В₅ (2), А₃В₁ (3) і А₃В₅ (3). Максимальне значення max(5;3;2;2;3;3)=5 в клітині А₁В₃, тому заповнюємо і цикл будуємо для неї (цикл показано в таблиці7, результат дій в таблиці8).

Таблиця8- Третій крок пошуку оптимального рішення

Транспортні витрати:

тобто при такому плані перевезення товару транспортні витрати знизилися на 50грн. в порівнянні з попереднім планом перевезення. Але, щоб визначити є отриманий план оптимальним чи ні, виконаємо перевірку.

Перевірку всіх вільних клітин зобразимо в таблиці9, в якій для всіх вільних клітин запишемо різницю між сумою потенціалів і транспортними витратами в клітині.

Таблиця9- Перевірка плану отриманого в результаті третього кроку пошуку оптимального рішення задачі

З таблиці9 видно, що додатне значення отримали для клітин А₂В₁ (2), А₃В₁ (8), А₃В₂ (4), А₃В₅ (3), А₄В₁ (3) і А₄В₂ (4). Максимальне значення max(2;8;4;3;3;4)=8 в клітині А₃В₁, тому заповнюємо і цикл будуємо для неї (цикл показано в таблиці8, результат дій в таблиці10).

Таблиця1- Четвертий крок пошуку оптимального рішення задачі

Транспортні витрати:

що на 120грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.

Перевірка всіх вільних клітин наведена в таблиці11.

Таблиця11- Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

План, зображений в таблиці10 не є оптимальним, оскільки отримали додатні значення в клітинах А₁В₄ (1), А₂В₁ (2), А₄В₁ (3), А₄В₂ (4). Заповнюємо клітину А₄В₂ і будуємо опорний план (таблиця12).

Таблиця12- Пятий крок пошуку оптимального рішення задачі

Транспортні витрати за отриманим планом перевезень складають:

що на 20грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.

Перевірка всіх вільних клітин здійснена в таблиці 13.

Таблиця13- Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

Оскільки в результаті розрахунків отримали додатні значення, то знову будуємо цикл і заповнюємо необхідну клітину. В даному випадку це буде або клітина А₂В₁ або клітина А₁В₅. Вибираємо останню, оскільки транспортні витрати на перевезення в ній менші. На відємних кутах циклу обєм перевезень становить 10 і 0. Оскільки min(10;0)=0, то всі клітини залишаються незмінними і лише клітина з нульовим перевезенням переходить з А₄В₅ на А₁В₅.

Новий план зображено в таблиці14.

Таблиця14- Шостий крок пошуку оптимального рішення задачі

Транспортні витрати за отриманим планом перевезень складають:

Розрахунки для перевірка всіх вільних клітин здійснені в таблиці 15:

Таблиця15- Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин