16

Вариант 1

№ 1

Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р₁ = 0,9, р₂ = 0,8, р₃ = 0,7.

Найти вероятности того, что:

а) все три стрелка попадают в цель;

б) только один из них попадает в цель;

в) хотя бы один стрелок попадает в цель.

Обозначим события: А - все 3 стрелка попадают в цель; В - только один стрелок попадает в цель; С - хотя бы один стрелок попадает в цель.

Вероятности промахов равны соответственно: q₁ = 0,1, q₂ = 0,2, q₃ = 0,3.

а) Р(А) = р₁р₂р₃ = 0,9•0,8•0,7 = 0,504.

б) Р(В) = p₁q₂q₃ + q₁p₂q₃ + q₁q₂p₃ = 0,9•0,2•0,3 + 0,1•0,8•0,3 + 0,1•0,2•0,7 = 0,092.

в) Событие - все три стрелка промахиваются. Тогда

Р(С) = 1 - Р() = 1 - 0,1•0,2•0,3 = 1 - 0,006 = 0,994.

№ 11

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз

У нас n достаточно велику, р малу, л = np = 150 • 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом,

№ 21

По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(Х).

х_і

1

2

3

4

5

р_і

0,05

0,18

0,23

0,41

0,13

Последовательно получаем:

₅

М(Х) = ? х_ір_і = 0,05 + 2•0,18 + 3•0,23 + 4•0,41 + 5•0,13 = 3,39.

i=1

₅

D(X) = ? x_iІp_i - MІ = 0,05 + 2І•0,18 + 3І•0,23 + 4І•0,41 + 5І•0,13 - 3,39І = i=1

1,1579.

у(Х) = vD(X) = v1,1579 = 1,076.

№ 31

Случайная величина Х задана интегральной функцией

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;

г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a < x < b) = F(b) - F(a) P= F(1) - F= - 0 = .

Графики функций поданы далее.

№ 41

Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б; в) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у. Данные: б = 2; в = 13; а = 10; у = 4.

Используем формулу Р(б < x < в) =

Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф- Ф(-2).

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:

Ф- Ф(-2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.

№ 51

По данному статистическому распределению выборки

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную

, где С - одно из значений х_і, как правило, соответствующее наибольшему значению m_і , а h - это шаг (у нас h = 1,8).

Пусть С = 11,2. Тогда .

Заполним таблицу:

Используя таблицу, найдём ;

D(xґ) = ?(x_iґ)Іm_i - (x_iґ)І = - (- 0,1532)І = 2,9685.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):

_

x = xґh + C = - 0,1532•1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(xґ)•hІ = 2,9685•1,8І = 9,6178;

у(x) = vD(x) = v9,6178 = 3,1013.

№ 61

По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.

Для упрощения расчетов введем условные переменные

u = , v = . Составим таблицу:

Последовательно получаем:

;

;

;

;

у_uІ = - (u)І = 1,058 - (- 0,425)І = 0,878; у_u = v0,878 = 0,937;

у_vІ = - (v)І = 0,742 - (- 0,125)І = 0,726; у_v = v0,726 = 0,8521;

По таблице, приведённой выше, получаем ?n_uvuv = 84.

Находим выборочный коэффициент корреляции:

Далее последовательно находим:

x = u•h₁ + C₁ = - 0,425•3 + 15 = 13,725; y = v•h₂ + C₂ = - 0,125•10 + 25 = 23,75;

у_x = у_u•h₁ = 0,937•3 = 2,811; у_y = у_v•h₂ = 0,8521•10 = 8,521.

Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,

упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем

по уравнению:

у_х=12 = 2,457•12 - 9,968 = 19,516; е₁ = 19,762 - 19,516 = 0,246;

2) при х = 18 по таблице имеем

по уравнению:

у_х=18 = 2,457•18 - 9,968 = 34,258; е₂ = 34,258 - 34,231 = 0,027.

Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.

Вариант 2

№ 2

Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р₁ = 0,9, р₂ = 0,95, р₃ = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:

а) только одного устройства;

б только двух устройств;

в) всех трёх устройств.

Обозначим события: А - срабатывает только одно устройство; В - срабатывают 2 устройства; С - срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q₁ = 0,1, q₂ = 0,05, q₃ = 0,15. Тогда

а) Р(А) = p₁q₂q₃ + q₁p₂q₃ + q₁q₂p₃ = 0,9•0,05 •0,15 + 0,1•0,95•0,15 + 0,1•0,05•0,85 = 0,02525.

б) Р(В) = p₁p₂q₃ + p₁q₂p₃ + q₁p₂p₃ = 0,9•0,95•0,15 + 0,9•0,05•0,85 + 0,1•0,95•0,85 = 0,24725.

в) Р(С) = р₁р₂р₃ = 0,9•0,95•0,85 = 0,72675.

№ 12

В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.

По условию n = 50, k = 3. Поскольку р малу, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона: .

Таким образом,

№ 22

По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(Х).

2

3

4

5

8

р_і

0,25

0,15

0,27

0,08

0,25

Последовательно получаем:

5

М(Х) = ? х_ір_і = 2•0,25 + 3•0,15 + 4•0,27 + 5•0,08 + 8•0,25 = 4,43.

i=1

5

D(X) = ? xiІpi - MІ = 2І•0,25 + 3І•0,15 + 4І•0,27 +5І•0,08 + 8І•0,25 - 4,43І і=1

= 5,0451.

у(Х) = vD(X) = v5,0451 = 2,246.

№ 32

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;

г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a < x < b) = F(b) - F(a) P= F(1) - F=

Графики функций приводятся далее.

№ 42

Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б; в) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у. Данные: б = 5; в = 14; а = 9; у = 5.

Используя формулу имеем

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:

№ 52

По данному

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную

где С - одно из значений х_і , как правило, соответствующее наибольшему значению m_і , а h - это шаг (у нас h = 0,4).

Пусть С = 8,8. Тогда

Заполним таблицу:

Используя таблицу, найдём

;

D(xґ) = ?(x_iґ)Іm_i - (x_iґ)І = - 0,3723І = 2,3067.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):

x = xґh + C = 0,3723•0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(xґ)•hІ = 2,3067•0,4І = 0,3961;

у(x) = vD(x) = v0,3961 = 0,6075.

№ 62

По данной корреляционной таблице

найти выборочное уравнение регрессии.

Для упрощения расчетов введём условные переменные

Составим таблицу.

Последовательно получаем:

;

;

;

;

у_uІ = - (u)І = 0,9 - 0,329І = 0,792; у_u = v0,792 = 0,89;

у_vІ = - (v)І = 1,164 - 0,293І = 1,079; у_v = v1,079 = 1,0385;

По таблице, приведённой выше, получаем ?n_uvuv = 114.

Находим выборочный коэффициент корреляции:

Далее последовательно находим:

x = u•h₁ + C₁ = 0,329•4 + 12 = 13,314; y = v•h₂ + C₂ =0,293•10 + 30 = 32,929;

у_x = у_u•h₁ = 0,89•4 = 3,56; у_y = у_v•h₂ = 1,0385•10 = 10,385.

Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,

упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем

по уравнению: у_х=12 = 2,266•12 + 2,752 = 29,944; е₁ = 30,484 - 29,944 = 0,54;

2) при х = 16 по таблице имеем

по уравнению: у_х=16 = 2,266•16 + 2,752 = 39,008; е₂ = 39,167 - 39,008 = 0,159.

Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.

[Новые поступления]


[Популярные работы]