Методы оптимизации при решении уравнений

Контрольная работа

«Методы оптимизации при решении уравнений»

Задание №1

Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.

Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:

Используем краевые условия:

Решаем систему уравнений и получаем:

Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида

Так как

то функционал на прямой достигает минимума.

Задание №2

Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал для системы, описываемой уравнениями

,

при начальных и конечных условиях соответственно:

Решение

Формируем задачу по исходным данным:

(1)

 (2)

Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:

и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):

(3)

(4)

Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):

и находим общее решение

(5)

Подставим его в первое уравнение (1):

и находим общее решение:

(6)

Для из (6) и из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С₁, С₂, С₃, С₄,:

Таким образом, решение имеет вид:

которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.

Задание №3

Для системы, описываемой уравнениями

с заданными условиями на начальное и конечное значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал

Решение. Формулируем задачу по исходным данным

(1)

(2)

т.е. , подвижна на правом конце, координата - свободна на правом конце,

Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)

(3)

и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

(4)

(5)

(6)

Составим вспомогательную функцию

,

где . Таким образом:

. (7)

Поскольку и подвижны, то используем условия трансверсальности:

(8)

(9)

Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности

Найдем значение при из (3), но учтем, что , а из (9). Тогда, учитывая (4):

и используя (10) получим:

(11)

Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:

(12),

 (13)

Используя начальные условия, можем записать:

Запишем условие с учетом (13). Тогда:

(14)

Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С₁, С₂ и :

Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:

,

а подставляя 1-е в третье, получим:

Таким образом, решение имеет вид:

Задание №4

Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы

Решение:

Формируем задачу по исходным данным.

(1)

 - не ограничено, то есть .

Составим уравнение Беллмана с учетом того, что (S-функция Беллмана)

(2)

(3)

(4)

Из (3) находим:

(5)

Подставим (5) в (4)

(6)

Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы

(7)

причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит

(8)

т.е. матрица должна быть положительно определённой.

Вычисляя выражения:

(9)

подставим их в (6) и обратим коэффициенты при , и в ноль, т.к. справа у нас ноль:

Отсюда:

(10)

 (11)

(12)

Если , то S < 0, что нельзя допустить. Тогда:

а следовательно а₁₂ и а₂₂ должны быть одного знака, так как а₁₁ > 0.

Тогда а₁₂ = 1/2, а₂₂ = 1, а₁₁ = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):

Задача 5

Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы

в задаче:

Решение:

Формируем задачу по исходным данным:

(4)

Составим функцию Гамильтона

Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:

(5)

(6)

(7)

Поскольку - подвижна, то используем условие трансверсальности:

Но из (5) видно, что ₁ = С₁ С₁ = 1. Тогда из (7) видно, что ₃ = t²/2-C₂t+C₃, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень ₃ = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.

Из принципа максимума следует:

,

а следовательно:

Тогда, поскольку ₃ меняет знак дважды, (пусть в моменты t₁ и t₂) можем записать

(8)

Подставим в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)

 (9)

Используя начальные и конечные условия для х₃ и условия непрерывности в t₁ и t₂ получим:

(10)

Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:

(11)

Используя начальные и конечные условия для х₂ и условия непрерывности в t₁ и t₂, получим:

Используем непрерывность при и :

Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:

(12-14)

Подставив (12) в (13), получим уравнение

.

Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):

Тогда t₁ из (12) равно

и, наконец,

Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):

(15)

Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:

Таким образом: моменты переключения: t₁=1/4, t₂=3/4, а заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.

Задание №6

Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:

где

.

Решение:

Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);

Y = (B, AB, A²B):

Таким образом

Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что

.

Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.

Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):

H=(C^T, A^TC^T, (A^T)² C^T);

.

Таким образом

Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что

Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.

Задание №7

Для линейной системы и квадратичного критерия

выполнить синтез оптимального управления с обратной связью

Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:

где

,

причем матрица >0 (положительно определена).

Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:

Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы , получим:

Тогда для уравнения, которое имеет вид

получим: