Определение оптимального по квадратичному критерию качества программного управляющего воздействия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОС
CИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА В Г. ТАГАНРОГЕ

Факультет автоматики и вычислительной техники Кафедра систем автоматического управления

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 1

Дисциплина "Методы оптимизации"

Тема: Определение оптимального по квадратичному критерию качества программного управляющего воздействия.

Выполнил:

Ст-т гр. А-14425.10.07 г

Безродный С.В.

Проверила:

Преподаватель каф. САУ25.10.07 г

Тесленко О.А.

Таганрог 2007 г.

Вариант №5

Дано:

Структурная схема объекта управления (ОУ).

2. Граничные условия.

, (1)

3. Критерий качества вида:

(2)

4. Вид возмущающего воздействия:

(3)

Требуется определить:

Аналитическое выражение оптимального программного управляющего воздействия u^*
(t), переводящее ОУ из начального состояния в конечное, за конечный интервал времени t Є [0, t_k
] по оптимальной траектории

x^*
(t) = [x₁
^*
(t) x₂
^*
(t)] ^Т
_.

Примечание: f (t) = 0.

Построить временные диаграммы: u^*
(t), x₁
^*
(t), x₂
^*
(t) и фазовую траекторию.

Ввести возмущающее воздействие f (t) и произвести моделирование оптимальной СУ. Построить временные диаграммы u^*
(t), x₁
^*
(t), x₂
^*
(t) и фазовую траекторию.

Примечание: амплитуду a
выбрать произвольно в разумных пределах, а частоту ω₀
выбрать из интервала [ (5÷10) ·].

Моделирование СУ производить с помощью пакета MATLAB, программу моделирования представить в отчете.

Сделать выводы.

Выполнение работы:

1) Математическая модель ОУ имеет вид:

Составим выражение расширенного функционала:

Определяем все частные производные по всем координатам и получаем систему уравнений Эйлера-Лагранжа в виде:

Перепишем систему в форме Коши:

Составляем матрицу коэффициентов этой системы:

Определяем корни характеристического полинома:

Общий вид уравнений искомых экстремалей определяется однозначно, как:

Из граничных условий (1) определяем значения постоянных интегрирования:

Уравнение оптимального программного управления определяем в силу исходного ОУ с учетом выражений оптимальных программных траекторий в виде:

2) Моделирование оптимальной системы программного управления без учета возмущающего воздействия:

Рис.1. Листинг программы моделирования системы без учета возмущающего воздействия.

Рис.2. Оптимальное программное воздействие
u (t).

Рис.3. Переходная характеристика
х₁
(t).

Рис.4. Переходная характеристика
х₂
(t).

Рис.5. Фазовая траектория.

3) Моделирование оптимальной системы программного управления с учетом возмущающего воздействия:

Рис.6. Листинг программы моделирования системы с учетом возмущающего воздействия.

Рис.7. Оптимальное программное воздействие
u (t).

Рис.8. Переходная характеристика
х₁
(t).

Рис.9. Отклонение истинной переходной характеристики от программной е
(t).

Рис.10. Переходная характеристика
х₂
(t).

Рис.11. Фазовая траектория.

Выводы по работе

В данной работе определялось аналитическое выражение оптимального программного управляющего воздействия по квадратичному критерию качества. Из графиков рис.3. - рис.5. видно, что характер процесса - апериодический, установившаяся ошибка равна нулю, процесс перевода ОУ из начального состояния х₁
(0) = х₂
(0) = 0 в конечное х₁
(0,9) = 0,3, х₂
(0,9) = 0 происходит по оптимальной траектории, доставляя экстремум функционалу в заданный промежуток времени t = 0,9 c.

При действии на систему возмущения (3) наблюдали на рис.8. - рис.11. отклонения истинных переходных характеристик от программных, причем на рис.9. представлен график .