Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

Министерство Образования Республики Таджикистан

Таджикский Технический Университет

имени М.С. Осими

Кафедра «АСОИиУ»

Лабораторная работа №1

На тему:Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

Выполнила:

ст-т. 3-го курса гр. 2202 Б2

Принял: преподаватель кафедры

Ли И.Р.

Душанбе-2010

Лабораторная работа № 2

Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

I
Цель работы

Целью работы является:

1.
Практическое освоение методов моделирования случайных чисел с заданным законом распределения

2.
Разработка и моделирование на ПЭВМ датчика случайных чисел с конкретным законом распределения

3.
Проверка адекватности полученного датчика

II
Теоретические сведения

1. Основные методы моделирования случайных последовательностей с заданным законом распределения

При исследовании и моделировании различных сложных систем в условиях действия помех возникает необходимость в использовании датчиков случайных чисел с заданным законом распределения. Исходным материалом для этого является последовательность x
1,
x
2….
xn
с равномерным законом распределения в интервале [0,1]
. Обозначим случайную величину, распределенную равномерно через ζ(кси).

Тогда равномерно-распределенные случайные числа будут представлять собой независимые реализации случайной величины ζ, которые можно получить с помощью стандартной функции RND
(ζ)– программно реализованной на ПЭВМ в виде генератора случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1]
. Требуется получить последовательность y
1,
y
2,..
yn
независимых реализаций случайной величины η, распределенных по заданному закону распределения. При этом закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан интегральной функцией распределения:

F
(
y
)=
P
(
ksiy
) (1)

или плотностью вероятности

f
(
y
)=
F
’(
y
) (2)

Функцииf
(
y
)
и F
(
y
)
могут быть заданы графически или аналитически.

Для получения случайной величины η с функцией распределения F
(
y
)
из случайной величины ζ, равномерно-распределенной в интервале [0,1]
, используются различные методы. К основным методам моделирования случайных чисел с заданным законом распределения относятся:

- метод обратной функции

- метод отбора или исключения

- метод композиции.

2. Метод обратной функции

Если ζ- равномерно-распределенная на интервале [0,1]
случайная величина, то искомая случайная величина может быть получена с помощью преобразования:

η=F^-1
(
ζ) (3)

Где F^-1
(
ζ)
-
обратная функция по отношению к функции распределения F(
ζ)

F
(
y
)

1

ζ

0 η
y

Рис 1 Функция распределения
F
(ζ)

Действительно, при таком определении случайной величины η имеем:

P
(η
y
)=
P
{
F
^-1

(ζ)
y
}=
P
{ ζ
F
(
y
) }=
F
(
y
) (4)

В данной цепочке равенств первое равенство следует из (3)
, второе из неубывающего характера функций F(
ζ)
и F^-1
(
ζ)
и третье из равномерного в интервале [0,1]
распределения величин ζ.

Таким образом, если задана функция распределения F(
y
)
, то для получения случайной последовательности с таким распределением необходимо найти ее обратную функцию.

Для нахождения обратной функции можно использовать два метода: аналитический
и графический
.

3.Метод отбора или исключения

Данный метод удобнее использовать, если требуемый закон распределения задан плотностью вероятности f
(
y
).
В отличии от метода обратной функции метод отбора или исключения для получения одного требуемого случайного числа требует не одного равномерно- распределенного случайного числа, а двух, четырех, шести или более случайных чисел. В этом случае область возможных значений η
представляет конечный отрезок (
a
,
b
),
а плотность вероятности f
(
y
) ограничена сверху значением fmax
(Рис.7).
Тогда область значений η^*

и ζ^*

можно ограничить ступенчатой кривой:

0,
если
y<a

g(y)= fmax,
если
a y b (25)

0, если
y
>
b

Затем берутся с помощью генератора случайных чисел (
RND
(ζ))
два равномерно-распределенных числа ζ_{1 и}
ζ₂

, по которым определяются равномерные на интервале [
a
,
b
]
независимые величины:

η
’
=a + (b-a)*
ζ
₁

ζ
’=fmax*
ζ
₂

(26)

Где a
,
b
– границы возможных значений случайной величины η
,

fmax
- максимальное значение функции f
(
y
)
(Рис.7)

f(y)
g(y)

fmax

f(y)

ζ

a
η
’
b

Рис.7 Заданная плотность вероятности

Если ζ’

f
(η
’)
, то η
’
принимается в качестве очередной реализации случайной величины_η

. В противном случае η
’
отбрасывается и берется следующая пара равномерно- распределенных случайных чисел ζ₁

и ζ₂

. Такая процедура повторяется до тех пор, пока мы не получим требуемого количества случайных чисел с заданной плотностью вероятности.

4.
Метод композиции

Метод композиции основывается на представлении плотности вероятности fη (
x
)
по формуле полной вероятности:

f
η (
x
)=(27)

Где H
(
z
)=
P
(ζ

z
)–
интегральная функция распределения случайной величины ζ
;

P(x
/
z
)- условная плотность вероятности.

Переходя к дискретной форме, интеграл заменяется на сумму и тогда получаем

f
η
(x
)=P_j
*f_j
(x
) (28)

где P_j
=1(29)

f_j
(
x
) -условная плотность вероятности

Таким образом, для любой заданной плотности вероятности ее фигура единичной площади, ограниченной осью x
и кривой f
η
(x), разбивается на произвольное число простых не пересекающихся частей g_j

(
i
=1,
k
),
с площадями P_j
(
j
=1,
k
), (Рис.8)

Рис.8Разбивка плотности вероятности на отдельном участке

f
η
(x)

g₁
(Р₁
)

g₂
(Р₂
)
g₃
(Р₃
)

x

g₁
(Р₁
)

x

Рис. 9 Условные плотности

вероятности

g₂
(Р₂
)

x

g₃
(Р₃
)

x

Условные плотности вероятности имеют вид (Рис.9)

Для полученных условных плотностей вероятности одним из предыдущих методов определяются случайные последовательности, которые в сумме дадут требуемую случайную последовательность с заданной плотностью вероятности.

5. Оценка закона распределения

Для полученной случайной последовательности y
_1,

y
_2,…

,
y_n

с заданным законом распределения необходимо провести оценку соответствия заданного закона распределения, который реализует смоделированный датчик случайных чисел. Поэтому для последовательности y
_1,

y
_2,…

,
y_n

строится статистическая функция распределения

F
* (
y
)
(Рис. 10).
На этом же графике строится интегральная функция распределения F
(
y
)
для заданного закона распределения и производится сопоставление F
*(
y
)
и F
(
y
).
Согласие закона проверяется по критерию Колмогорова
. Для этого вычисляется статистика:

Ди=
maxF
*(
y
)
- F
(
y
)
(30)

Для конечных решений и распределения статистики Ди получены пороговые значения в форме таблиц (Таблица 1.).
По этой таблице для заданных объемов последовательности и
и значению статистики Ди
определяется уровень значимости .

Если гипотеза верна то статистика Ди*
имеет в пределе при n
распределение Колмогорова
и квантили уровня P
= (1-2)
близки к 1. Это значит, что полученный генератор случайных чисел вырабатывает последовательность с заданным законом распределения. Если значения статистики Ди
не попадают в пороговые значения, то такой генератор не годится для пользования.

F(y)

F(y) 1

F*(y)

0.5 D_n
{

y

y₁
y₂
y₃
y₄
…….y_n-1
y_n

Рис.10Оценка распределения

III
Содержание исследования

Исследование, проводимое в данной работе, заключается в получении программного датчика случайных чисел, пригодного для моделирования случайной последовательности с заданным законом распределения. При этом необходимо разработать алгоритм и программу датчика, а затем исследовать свойства выработанной им последовательности. При проведении исследований необходимо:

1
.По двадцати числам (n
=20
) выведенным на печать построить статистическую функцию распределения F
*(
y
)(рис.10)
На этом же графике построить интегральную функцию распределения F
(
y
)
для заданного преподавателем закона распределения. Сопоставив значения F
*(
y
)и F
(
y
), вычислить статистику Ди (30).

2.
Составить блок- схему и программу для ПЭВМ
, в которой следует предусмотреть построение статистического ряда и вычисление статистики Ди
по критерию Колмогорова.

3
.По таблице пороговых значений статистики Ди
произвести оценку распределения.

4.
Для полученной последовательности произвести оценку математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения.

Блок- схема генератора

Интерфейс программы:

Листинг

программы

:

Private Sub Command1_Click()

Dim n As Integer

Dim p1, p2 As Integer

Dim Y() As Variant, X As Double

p1 = 0: p2 = 0: m = 0: d = 0

List1.Clear

Randomize

X = 0.5

n = Val(Text1.Text)

ReDim Y(n) As Variant

For i = 1 To n

X = Rnd(X)

List1.AddItem ("x(" + Str(i) + ")=" + Str(X))

If X < 0.7 Then

p1 = p1 + 1

Y(i) = 2

m = m + Y(i)

List1.AddItem ("y(" + Str(i) + ")=" + Str(Y(i)))

Else

p2 = p2 + 1

Y(i) = 10 * X - 5

m = m + Y(i)

List1.AddItem ("y(" + Str(i) + ")=" + Str(Y(i)))

End If

Next i

List1.AddItem ("кол. точек с вер-ю 0.7: p1=" + Str(p1))

List1.AddItem ("кол. точек с вер-ю 0.3: p2=" + Str(p2))

List1.AddItem ("ВЕРОЯТНОСТИ:")

List1.AddItem (" 0.4<=x<0.7 --- 0" + Str(p1 / n))

List1.AddItem (" 0.7<=x<=1 --- 0" + Str(p2 / n))

m = m / n

List1.AddItem ("мат ожидание = " + Str(m))

For i = 1 To n

d = d + (Y(i) - m) ^ 2

Next i

d = d / (n - 1)

b = Sqr(d)

List1.AddItem ("диссперсия = " + Str(d))

List1.AddItem ("сререднекв откл = " + Str(b))

'построение интегральной функции

Picture1.Scale (-2, 11)-(11, -2)

Picture1.Line (0, -2)-(0, 11)

Picture1.Line (-2, 0)-(11, 0)

Picture1.PSet (-1, 11)

Picture1.Print ("f(x)")

Picture1.PSet (10.5, -0.3)

Picture1.Print ("x")

Picture1.PSet (-0.7, 4)

Picture1.Print ("0.4")

Picture1.PSet (-0.7, 7)

Picture1.Print ("0.7")

Picture1.PSet (-0.7, 10)

Picture1.Print ("1")

Picture1.PSet (2, -0.3)

Picture1.Print ("2")

Picture1.PSet (5, -0.3)

Picture1.Print ("5")

For i = 0 To 11 Step 0.001

If i < 2 Then

l = 4

Else

If i < 5 Then

l = (0.1 * i + 0.5) * 10

Else

l = 10

End If

End If

Picture1.PSet (i, l)

Next i

Picture1.Line (2, 4)-(2, 7)

'построение обратной функции

Picture2.Scale (-2, 11)-(11, -2)

Picture2.Line (0, -2)-(0, 11)

Picture2.Line (-2, 0)-(11, 0)

Picture2.PSet (-1, 11)

Picture2.Print ("x")

Picture2.PSet (10.5, -0.3)

Picture2.Print ("f(x)")

Picture2.PSet (-0.7, 2)

Picture2.Print ("2")

Picture2.PSet (-0.7, 5)

Picture2.Print ("5")

Picture2.PSet (4, -0.3)

Picture2.Print ("0.4")

Picture2.PSet (7, -0.3)

Picture2.Print ("0.7")

Picture2.PSet (10, -0.3)

Picture2.Print ("1")

For i = 4 To 10 Step 0.001

If i < 7 Then

l = 2

Else

l = i - 5

End If

Picture2.PSet (i, l), vbRed

Next i

Picture2.Line (4, 0)-(4, 2), vbRed

Picture2.Line (10, 5)-(10, 11), vbRed

End Sub