Вступ

Тема контрольної роботи "Інженерні розрахунки в MathCad" з дисципліни "Інформатика".

Мета роботи - придбання навичок роботи з системою MathCad.

Завданні 1 передбачає розв’язання системи лінійних рівнянь у програмі MathCAD.

Завданні 2 передбачає розв’язання нелінійного рівняння за допомогою програми MathCAD.

Завданні 3 потребує знайти дійсні розв’язки системи нелінійних рівнянь із заданим ступенем точності в середовищі MathCAD.

Завдання

Завдання 1.

Задана система трьох лінійних рівнянь.

Знайти розв’язок системи матричним методом в середовищі MathCAD.

Розв’язання:

Розв’язання системи рівнянь у матричному виді проводиться за формулою

X=A^-1
×B,

деA - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих,

А^-1
- обернена матриця до матриці А,

B - вектор вільних членів,

X - вектор розв'язків системи.

Для реалізації розрахунків в системі MathCAD необхідно скористатися панеллю інструментів Математика
(Math):

яка визивається командою View
®
Toolbars
®
Math
:

mathcad інженерний розрахунок рівняння

Кнопками панелі Математика
необхідно визвати панелі:

Калькулятор
(кнопкою ):

Матриця (
кнопкою ):

Завдання 2

Знайти корінь нелінійного рівняння x³
+ sin (x - 3) +1 = 0 з точністю e =0.0001

Розв’язання:

Всяке рівняння з одним невідомим може бути записане у вигляді f (x)
= 0.

Знаходження наближеного значення дійсних коренів рівняння складається з двох етапів:

1 етап
- відділення коренів - виділення відрізка, що належить області існування функції f (x),
на якому розташований один і тільки один корінь. Для відділення коріння будують графік функції f
(x
). Абсциси точок перетину графіка функції y = f (x)
з віссю ОХ
і будуть наближеними значеннями коренів. По графіку легко вказати відрізки, на яких знаходиться один і тільки один корінь.

2 етап
- уточнення наближених корінь, тобто обчислення їх із заданою точністю e.

1 етап.
Графічне відділення коренів рівняння.

Побудуємо графік функції f (x) = x³
+ sin (x - 3) +1.

Опишемо функцію в видіфункції користувача
:

Вставимо в документ графічну область командою Insert
®
Graph
®
XY-
Plot
:

Маркери (-) отриманого шаблону заповнимо відповідно іменем аргументу х
і іменем функції f (x):

Відформатуємо графік командою F
ormat
®
Graph
®
XY-Plot
:

Виберемо опцію Grossed (показувати осі координат):

Як видно із графіка функція f (x)
перетинає вісь абсцис на інтервалі [-2; - 1]. Для подальших розрахунків приймемо наближене значення кореня x = - 1

2 етап
- уточнення кореня до точністі e =0.0001.

Уточнення кореня, тобто доведення його до заданого ступеню точності проведемо за допомогою функції root
(
f (
x),
x
).

Функція реалізує обчислення ітераційним методом, причому спочатку необхідно задати:

точність обчислень за допомогою системної змінної TOL;

початкове значення змінної х
(будь-яке значення з відрізку визначеного на графіку).

Завдання 3

Розв’язати систему нелінійних рівнянь:

sin (x) + sin (y) - 1.3 = 0

y²
- x²
+x = 0

с точністю e=0.00001.

Розв’язання:

Відомо, що розв’язком системи є такі значення х
і у
, які перетворюють одночасно обидва рівняння в тотожності.

Для знаходження розв’язку системи необхідно спочатку графічно знайти грубе наближення цих значень для х
і у
.

Очевидно, що потрібно побудувати криві, які описуються рівняннями системи. Координати точки перетину цих кривих (як спільна їх точка) і являтимуть розв’язком системи.

Щоб побудувати ці криві необхідно рівняння системи привести до виду:

y=
f1 (
x)

y=
f2 (
x),

тобто в нашому випадку:

.

Після цього побудувати графіки функцій:

.

Порядок дій:	Пояснення:
Описуємо дві функції користувача	Функції asin , sin і Öвибрати з панелі Calculator.
Будуємо графіки функцій: y1 (x) і y2 (x)
	Довільно вибираємо відрізок [a,b], на якому будуємо графік функцій. Задаємо розбиття відрізку точками, описавши х як ранжовану змінну, яка змінюватиметься від а до b з кроком h . Якщо на вибраному відрізку [a,b] криві не перетнуться змінюмо до тих пір а і b поки не віднайдемо точку перетину.
	Із графіка приблизно знайти значення: х =1,2 і у = 0,4 координати точки перетинання графіків
Задаємо початкові значення розвязку: x: =1.2 y: = 0.4	Задаємо початкові значення для х і у .
	Задаємо точність обчислень
Уточнюємо розвязок до задоного ступеня точності.	Для уточнення розв’язку використовуємо блок рішення, який відкривається директивою G iven , а закривається функцією Find . В самому блоці записуються рівняння системи, в яких знак = вставляється з панелі . Вектору R присвоюється рішення системи. Отже х = 1,1413 і у = 0,4015.
Проводимо перевірку розв’язку:	Перевірка розв’язку: Замість х і у підставляємо в рівняння R 0 і R1 , які являються елементами вектора R ( нумерація елементів починається з нуля). Оскільки справа отримали нулі - розв’язок задовольняє обидва рівняння.

Література

1. Симонович С. Информатика: базовый курс. - СПб.: Питер, 1999, 640 с.

2. Дьяконов В. MATHCAD8/2000: специальный справочник - СПБ: Питер, 2001. - 592 с.