Розв’язання задач з елементарної математики в пакеті Maple-8

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни „Інформатика”

Розв’язання задач з елементарної математики в пакеті MAPLE-8

(варіант №6)

Виконав студент групи____________________

______________________

До захисту__________________200 __року

Викладач_______________________________

Дніпропетровськ

2010

Зміст

Вихідні
дані завдань варіанту №6

1.
Завдання №1

1.1.
Задача 1.1 (вар. №6)

1.2.
Задача 1.2 (вар. №6)

2.
Завдання №2

2.1.
Задача 2.1 (вар. №6)

2.2.
Задача 2.2 (вар. №6)

3.
Завдання №3

3.1.
Задача 3.1 (вар. №6)

3.2.
Задача 3.2 (вар. №6)

4.
Завдання №4

4.1.
Задача 4.1 (вар. №6)

4.2.
Задача 4.2 (вар. №6)

5.
Завдання №5

5.1.
Задача 5.1 (вар. №6)

5.2.
Задача 5.2 (вар. №6)

6.
Завдання №6

6.1.
Задача 6.1 (вар. №6)

6.2.
Задача 6.2 (вар. №6)

7.
Завдання №7

7.1.
Задача 7.1 (вар. №6)

7.2.
Задача 7.2 (вар. №6)

8.
Завдання №8

8.1.
Задача 8.1 (вар. №6)

8.2.
Задача 8.2 (вар. №6)

9.
Завдання №9

9.1.
Задача 9.1 (вар. №6)

9.2.
Задача 9.2 (вар. №6)

10.
Завдання №10

10.1.
Задача 10.1 (вар. №6)

10.2.
Задача 10.2 (вар. №6)

11.
Завдання №11

Список
використаної літератури

Вихідні дані завдань варіанту №6

 

 

1. Завдання №1

 

1.1 Задача 1.1 (вар. №6)

 

Спростити вираз

Розв’язання.

Використовуємо встроені функції
елементарних перетворень пакету MAPLE:

simplify-спростити,

expand-розкрити скобки,

factor-розкласти на множники

normal-привести к спільному
знаменнику

combine-перетворення ступеня

collect-привести подібні
члени

> (sqrt(2)/(1-x^2)^(-1)+2^(3/2)/x^(-2))/(x^(-2)/(1+x^(-2)));

Спрощуємо вираз
за допомогою оператора simplify – спростити (останній результат Maple зберігає
під ім’ям %)

> simplify(%);

Відповідь:

 

1.2 Задача 1.2 (вар. №6)

Спростити вираз

Розв’язання.

> (sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a))+((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a)))*(sqrt(1/a^2-1)-1/a);

Позначимо перший
множник через q1

> q1:=(sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a))+((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a)));

Позбавляємося від
ірраціональності в знаменниках за допомогою оператора rationalize

> rationalize(sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a)))+rationalize((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a));

Розкриваємо дужки
в останньому виразі за допомогою оператора expand

> q1:=expand(%);

> q1 :=
1/2*(1+a)^(1/2)/a*(1-a)^(1/2)+1/a+1/2/a*(1-a)^(1/2)*(1+a)^(1/2);

Приводимо до
спільного знаменника вираз q1 за допомогою оператора normal

> q1:=normal(q1);

Розкладаємо на
множники вираз q1 за допомогою оператора factor

> q1 :=
factor(q1);

Позначимо другий
множник через q2

> q2:=(sqrt((1-a)*(1+a)/a^2)-1/a);

Спрощуємо вираз
q2, припускаючи, що 0<a<1 за допомогою оператора assume(a>0,a<1)

> q2:=simplify(q2,assume(a>0,a<1));

Перемножуємо
вирази q1 та q2

> q3:=q1*q2;

Розкладаємо на
множники вираз q3

> q3:=factor(q3);

Розкриваємо дужки
в останньому виразі

> q3:=expand(%);

Відповідь: -1.

 

2. Завдання №2

 

2.1 Задача 2.1 (вар. №6)

Спростити вираз, а потім
знайти чисельні значення при а =2

Розв’язання.

Використовуємо встроені функції
елементарних перетворень пакету MAPLE:

simplify-спростити,

expand-розкрити скобки,

factor-розкласти на множники

normal-привести к спільному
знаменнику

combine-перетворення ступеня

collect-привести подібні
члени

> ((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2))/(1/a^(-2)-a+1)/(1/sqrt((a+1)^(-2))));

Позначимо через
r1 першу частину виразу

> r1:=((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2))/(1/a^(-2)-a+1));

Позначимо через
r2 другу частину виразу

> r2:=sqrt((a+1)^(-2));

Позначимо через
r3 чисельник виразу r1

> r3:=((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2)));

Приводимо вираз
r3 до спільного знаменника

> r3:=normal(r3);

Розкладаємо на
множники вираз r3

> r3:=factor(r3);

Позначимо через
r4 знаменник виразу r1

> r4:=(a^2-a+1);

Скорочуємо
чисельник r3 та знаменник r4 першої частини виразу

> r5:=r3/r4;

Залишилося r5
помножити на r2

> r6:=r5*r2;

Спрощуємо вираз
r6, припускаючи, що a>-1

> simplify(r6,assume(a>-1));

Підставляємо a=2
в останній вираз %

> subs(a=2,%);

Відповідь: 1.

2.2 Задача 2.2 (вар. №6)

Спростити вираз, а потім
знайти чисельні значення при а = 4; b = 1.

Розв’язання.

> (a/(a-2*b)+b/(a+2*b))*(a^3+8*b^3)/(a^3+3*a^2*b-2*a*b^2);

Чисельник
вихідного дробу позначимо через t1

> t1:=(a/(a-2*b)+b/(a+2*b))*(a^3+8*b^3);

Приводимо вираз,
що стоїть в чисельнику t1, до спільного знаменника

> t1:=normal(t1);

Знаменник
вихідного дробу позначимо через t2

> t2:=a^3+3*a^2*b-2*a*b^2;

Розкладаємо
знаменник t2 на множники

> t2:=factor(t2);

Скорочуємо
чисельник t1 та знаменник t2

> t3:=t1/t2;

Виділяємо повний
квадрат в чисельнику за допомогою оператора completesquare (попередньо підключивши
пакет student)

> with(student):completesquare(t3,a);

Підставляємо в
останній вираз % числа a=4, b=1

> subs(a=4,b=1,%);

Відповідь: 3/2.

 

3. Завдання №3

 

3.1 Задача 3.1 (вар. №6)

Скоротити слідуючи дроби

Розв’язання.

Використовуємо встроені функції
елементарних перетворень пакету MAPLE:

simplify-спростити,

factor-розкласти на множники

combine-перетворення ступеня

collect-привести подібні
члени

Розв’язання.

> (x^4-10*x^2+9)/(x^4-13*x^2+36);

Чисельник
вихідного дробу позначимо через u1

> u1:=x^4-10*x^2+9;

Розкладаємо
чисельник u1 на множники

> u1:=factor(u1);

Знаменник
вихідного дробу позначимо через u2

> u2:=x^4-13*x^2+36;

Розкладаємо
знаменник u2 на множники

> u2:=factor(u2);

Скорочуємо
чисельник u1 та знаменник u2

> u3:=u1/u2;

Відповідь:

3.2 Задача 3.2 (вар. №6)

Скоротити слідуючи дроби

Розв’язання.

> (a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)/((a^2+a+1)*(a+1));

Чисельник
вихідного дробу позначимо через v1

> v1:=a^5+a^4+a^3+a^2+a+1;

Розкладаємо
чисельник v1 на множники

> v1:=factor(v1);

Знаменник
вихідного дробу позначимо через v2

> v2:=(a^2+a+1)*(a+1);

Скорочуємо
чисельник v1 та знаменник v2

> v3:=v1/v2;

Відповідь:

 

4. Завдання №4

 

4.1 Задача 4.1 (вар. №6)

Розв’язати рівняння 1-й
степені

Розв’язання.

Використовуємо встроені функції
елементарних перетворень пакету MAPLE: solve(рівняння або нерівність, змінна),

> ((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)=1/(a/b-b/a);

Задаємо рівняння
eq

> eq:=((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)-1/(a/b-b/a)=0;

Розв'язуємо
рівняння eq відносно змінної x

> solve(eq,{x});

Зробимо
перевірку: підставляємо у вихідне рівняння eq розв'язок x і одержуємо
тотожність

> subs(x=-(-b+a)*a/b,((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)-1/(a/b-b/a));

Спрощуємо
останній вираз (останній результат Maple зберігає під ім’ям %)

> simplify(%);

Відповідь:

 

4.2 Задача 4.2 (вар. №6)

Розв’язати рівняння 1-й
степені

Розв’язання.

> (9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))=sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1);

Задаємо рівняння
eq

> eq:=(9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))-sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1)=0;

Розв'язуємо
рівняння eq відносно змінної x

> solve(eq,{x});

Зробимо
перевірку: підставляємо у вихідне рівняння eq розв'язок x і одержуємо 0

> subs(x=1,(9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))-sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1));

Відповідь: 1.

 

5. Завдання №5

 

5.1 Задача 5.1 (вар. №6)

 

Розв’язати системи рівнянь з
двома невідомими

Розв’язання.

Використовуємо встроені функції
елементарних перетворень пакету MAPLE: solve(рівняння або нерівність, змінна).

> (7*x-3*y)/5=(5*x-y)/3-(x+y)/2;3*(x-1)=5*(y+1);

Задаємо систему
рівнянь з двома невідомими

> sistema:={(7*x-3*y)/5=(5*x-y)/3-(x+y)/2,
3*(x-1)=5*(y+1)};

Розв'язуємо
систему рівнянь відносно x,y

> s:=solve(sistema,{x,y});

Зробимо
перевірку: підставляємо у вихідну систему розв’язок і одержуємо дві тотожності

> eval(sistema,s);

Відповідь: (1;
1).

 

5.2 Задача 5.2 (вар. №6)

Розв'язати системи рівнянь з
двома невідомими

Розв’язання.

> (x+2*y-7)/(2*y-x+15)/(2*x+y+19)=1/2/3;(3*x+y-3)/(4*x-2*y+1)/(5*x-3*y+8)=
6/3/5;

Задаємо систему
рівнянь

> sistema:={(x+2*y-7)/(3*x+y-3)=t/6,
(2*y-x+15)/(4*x-2*y+1)=2*t/3, (2*x+y+19)/(5*x-3*y+8)=3*t/5};

Розв'язуємо
систему рівнянь відносно змінних x,y,t

> s:=solve(sistema,{x,y,t});

Для подання
результів розв'язання системи рівнянь Maple використовує спеціальну функцію
RootOf( ), яка застосовується для позначення будь-якого кореня виразу, заданого
як її параметр. Змінна _Z - системна змінна, згенерована Maple, яка набуває
цілих значень. За допомогою функції eval( ) можна отримати наближені числові
значення функції RootOf( ).

> evalf(s);

 

6. Завдання №6

 

6.1 Задача 6.1 (вар. №6)

 

Побудувати графіки наступних
функцій

Розв’язання.

> f:=x^2-3*abs(x)+2;

Будуємо графік
функції f, обираємо проміжок для змінної x від -3 до 3, колір - синій, товщина
лінії – 3

> plot(f,x=-3..3,color=blue,thickness=3);

6.2 Задача 6.2 (вар. №6)

Побудувати графіки наступних
функцій

Розв’язання.

> y-x^2-y^2+2-abs(y-x^2)=0;

Будуємо графік
функції, заданої неявно за допомогою пакету plots

> with(plots):implicitplot(y-x^2-y^2+2-abs(y-x^2),x=-3..3,y=-1..2,
color=black, thickness=2);

 

7. Завдання №7

 

7.1 Задача 7.1 (вар. №6)

Зобразити наступні
геометричні фігури згідно ескізу рис. 7.1 вихідних даних.

Розв’язання.

Використаємо
пакет plottools – пакет для створення та роботи з графічними об’єктами. Команда
curve([[x1,y1],[x2,y2],…,[xn,yn],options) задає криву координатами своїх точок.
Крива відображається лінійними сегментами, що з’єднують сусідні точки. Команда
display відображає вивід графічних команд на екран.

> with(plottools):
w:=curve([[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,0]],color=black, linestyle=1,
thickness=2): plots[display](w);

 

7.2 Задача 7.2 (вар. №6)

Зобразити наступні
геометричні фігури згідно ескізу рис.7.2 вихідних даних.

Розв’язання.

> with(plottools):
u:=curve([[0,0],[1,-1],[0,-1],[-1,0],[0,1],[1,1],[0,0]],color=green,
linestyle=1, thickness=2): plots[display](u);

8. Завдання №8

 

8.1 Задача 8.1 (вар. №6)

 

Розвязати рівняння 2-ї
степені

Розв’язання.

> x-7+(x-6)^2/3=(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4;

Задаємо рівняння
eq

> eq:=x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4=0;

Розв'язуємо
рівняння eq відносно змінної x

> s:=solve(eq,{x});

Зробимо
перевірку: підставляємо розв'язок  у
вихідне рівняння й одержуємо 0

> evalf(subs(x=-54/5-6/5*sqrt(71),x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4));

Далі підставляємо
розв'язок  у вихідне рівняння, одержуємо
0

> evalf(subs(x=-54/5+6/5*sqrt(71),x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4));

Відповідь:

 

8.2 Задача 8.2 (вар. №6)

Розв’язати рівняння 2-ї
степені

Розв’язання.

> (20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)=(5-3*x)/(x+1)-(10-4*x)/(3*x+3);

Задаємо рівняння
eq

> eq:=(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3)=0;

Розв'язуємо
рівняння eq відносно змінної x

> s:=solve(eq,{x});

Зробимо
перевірку: підставляємо розв'язок у
вихідне рівняння й одержуємо 0

> subs(x=-2,(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3));

Підставляємо
розв'язок  у вихідне рівняння й
одержуємо 0

> subs(x=-17/2,(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3));

Відповідь: -2;
-17/2.

 

9. Завдання №9

 

9.1 Задача 9.1 (вар. №6)

Привести наступні вирази к простішому
виду

Розв’язання.

> a/(sqrt(a*c)+c)+c/(sqrt(a*c)-a)-(a+c)/sqrt(a*c);

Позбавляємося від
ірраціональності в знаменнику

> rationalize(%);

Спрощуємо
останній вираз

> simplify(%);

Відповідь:

9.2 Задача 9.2 (вар. №6)

 

Привести наступні вирази к
простійшому виду

Розв’язання.

> (a-b)/(a^(3/4)+a^(1/2)*b^(1/4))-(a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)+b^(1/4));

Позбавляємося від
ірраціональності в знаменниках

> rationalize((a-b)/(a^(3/4)+a^(1/2)*b^(1/4)))-rationalize((a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)+b^(1/4)));

Спрощуємо
останній вираз

> simplify(%);

Відповідь:

 

10. Завдання №10

 

10.1. Задача 10.1 (вар. №6)

Привести к раціональному виду
наступні вирази

.

Розв’язання.

> n/(a^(2/3)+a^(1/3)*b^(1/3)+b^(2/3));

Позбавляємося від
ірраціональності в знаменнику

> rationalize(%);

Відповідь:

10.2 Задача 10.2 (вар. №6)

Привести к раціональному виду
наступні вирази

Розв’язання.

> 1/(sqrt(2)-sqrt(3)+sqrt(5));

Позбавляємося від
ірраціональності в знаменнику

> rationalize(%);

Розкриваємо дужки

> expand(%);

Відповідь:

11. Завдання №11

 

Скласти програму, яка видає
на печать таблицю значень  для

Розв’язання.

> for n from 1
to 50 do sqrt(10*n) end do;

Список використаної літератури

 

1.   
Аладьев
В.З., Богдявичюс М.А. Решение физико-технических и математических задач с
пакетом Maple V. В.:Техника, 1999. – 686 с.

2.   
Васильев
А.Н. Maple 8. СПб.:Диалектика, 2003. – 352 с.

3.   
Дьяконов
В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2004. – 688 с.

4.   
Дьяконов
В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2003. – 656 с.

5.   
Матросов
А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.:
БХВ-Петербург, 2001. – 528 с.

6.   
Сдвижков
О.А. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. – 176с.