Алгоритмы численного решения задач

Решить графоаналитическим методом.

max (X) = - 2x1 + x2 + 5x3

при 4x1 + 2x2 + 5x3 12

6x1 - 3x2 + 4x3 = 18

3x1 + 3x2 - 2x3 16

Х ≥ 0

Здесь число n = 3 и число m = 3.

Выразим из ограничений и х3:

≥ 0

Подставим его в целевую функцию

max (X) =

Получим новые ограничения:

х ≥ 0

Получили задачу линейного программирования в основном виде для n = 2

Вычисляем градиент :

= =

Рисунок 1

Прямые a, c, d и e пересекаются и образуют четырехугольник ACDE. Определим max φ (Х), который удовлетворяет условию Х>=0:

Это точка D (0,7; 4,7; 0).

Функция φ (Х*) в точке D:

φ (Х*) = 38,3

Найти экстремумы методом множителей Лагранжа

Задача 2

extr φ (X) = 4x1 - x22 - 12

при x12 + x22 = 25

Составим функцию Лагранжа:

L (X,λ) = 4x1 - x22 - 12 + λ (x12 + x22 - 25)

h (X) = x12 + x22 - 25 = 0 - функция ограничения.

Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.

Решим данную систему уравнений:

2x2 (λ - 1) = 0

Предположим, что x2 ≠ 0, тогда λ = 1 подставим в первое уравнение системы.

4 - 2x1 = 0

2x1 = - 4

x1 = 2

Подставим x1 в третье уравнение системы.

4 +x22 - 25 = 0

x22 - 21 = 0

x22 = 21

x2 = ±4,5826

Параболоид вращения функции h (x).

В двухмерной проекции график выглядит так:

Рисунок 2.

На рис.2 видно, что в точках А1 и А2 функция φ (X) = h (X). В этих точках функция φ (X) равна минимальному значению.

Решить обобщенным методом множителей Лагранжа или на основе условий Куна-Таккера.

extr φ (X) = 9 (x1 - 5) 2 + 4 (x2 - 6) 2 =

при 3x1 + 2x2 >= 12

x1 - x2 <= 6

Решим задачу на основе условий Куна-Таккера.

Составим функцию Лагранжа.

L (X,λ) = + λ1 (3x1 + 2x2 - 12) + λ2 (x1 - x2 - 6) =

Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.

Решим систему уравнений.

1) Предположим, что λ2 ≠ 0, тогда из уравнения (d) получим

x2 = х1 - 6

Пусть λ1 = 0 и x1 ≠ 0, тогда из уравнения (а) получим

18x1 - 90 - λ2 = 0, λ2 = 18х1 - 90

Пусть x2 ≠ 0, тогда из уравнения (b) получим

8x2 - 48 - λ2 = 0

Подставив в уравнение выражения для x2 и λ2, получим

x1 = 4

x2 = - 2

x1* = 4; x2* = - 2; φ (Х) * = 265

Трехмерный график целевой функции для данной задачи

Двухмерная проекция

Рисунок 3

На рис.3 видно, что в точке А функция b (X) = a (X), которые находятся в параболоиде вращения целевой функции.

В этой точке функция φ (X) равна максимальному значению.

2) Предположим, что λ2 = 0 и x2 ≠ 0, тогда из уравнения (b) получим

8x2 - 48 + 2λ1 = 0

x2 =

x2 = 6 -

Предположим, что x1 ≠ 0, тогда из уравнения (а) выразим x1.

18х1 - 90 + 3λ1 = 0

18 = 90 - 3λ1

х1 =

х1 = 5 -

Подставим выражения для x1 и x2 в уравнение (с) системы.

а) = 0, x1 = 5; x2 = 6

б) = 15

x1 = 2,5; x2 = 2,25

Подставив корни x1 = 5; x2 = 6 в целевую функцию получим φ (Х) = 0, а корни x1 = 2,5; x2 = 2,25 - получим φ (Х) = 112,49

Таким образом:

x1* = 5; x2* = 6; φ* (Х) = 0

На рис.4 видно, что в точке В функция φ (X) = a (X). В этой точке функция φ (X) равна минимальному значению.

Рисунок 4

Получить выражение вектор-функции и матрицы Якоби системы и составить алгоритм численного решения задачи на основе условий Куна-Таккера.

max φ (X) = - x12 - x22 +2х2

при x1 + x2 >= 18

x1 + 2 x2 >= 14

Х>=0

Найдем выражение вектор-функции системы.

Составим функцию Лагранжа.

L (X,λ) = - x12 - x22 + 2х2 + λ1 (x1 + x2 - 18) + λ2 (x1 + 2x2 - 14)

Вектор-функция системы:

Составим матрицу Якоби.

Составим алгоритм численного решения задачи:

Рисунок 5.