Лабораторная работа № 5 Телешовой Елизаветы, гр. 726, Транспортные задачи линейного программирования. 1. Постановка задачи.
В некотором царстве, некотором государстве жил-был кот Василий, который очень любил мышей… на обед. А обедал он исключительно в амбаре своего хозяина, да так хорошо, что бедные мыши и носу не могли высунуть из своих нор. Но всю жизнь в норе не просидишь, есть то хочется, и стали мыши думать и гадать, как им провести кота Василия и до заветных пищевых ресурсов амбара добраться. В амбаре было 4 мышиных норы: в первой проживало 15 мышей, во второй – 20, в третьей – 10 мышей, а в четвертой –25 мышей, а также 5 источников пищи, от которых и кормилась вся эта орава мышей: у окорока– 5 мышей, у мешка крупы – 18 мышей, у мешка муки – 17 мышей, у мешка картошки – 22 мыши и у стопки старых газет и журналов эротического содержания – 8 мышей. И тут мыши вспомнили, что когда-то в стопке журналов лежала книжка по математическому программированию. Конечно мыши давным-давно успели ее сгрызть, но кое-что из нее они, пока грызли, прочитать успели, в частности, как решать транспортные задачи.
Считая что – количество мышей из -той норы, питающихся у -того источника пищи, – количество мышей, проживающих в -той норе, – количество мышей, питающихся у -того источника пищи, мыши определили, что для того, чтобы были все они были сыты, необходимо выполнение 2 условий: 1); 2); ну и конечно
Исходя из этих условий они составили математическую модель процесса своего питания: ; ; Ну, и для наглядности нарисовали ее в виде таблицы: Пища Норы окорок мешок крупы мешок муки мешок картошки журналы 5 18 17 22 8 нора 1 15 нора 2 20 нора 3 10 нора 4 25
В левом верхнем углу каждой ячейки таблицы мыши указали число попавших в лапы кота (в процентах) по отношению к общему числу мышей из-той норы, питающихся у -того источника пищи. Эти данные они также записали в виде матрицы (в относительных единицах): .
Безусловно, цель мышей – добраться до еды с минимальными потерями по дороге, то есть: . Таким образом: 2. Двойственая задача.
Необходимо, конечно, оценить и выгодность передвижения из каждой норы к каждому пищевому ресурсу. Для этого мыши оценили так называемые потенциалы нор () и источников пищи (). Так как их цель –минимизировать потери, то сумма потенциалов в каждом случае не должна превышать затрат, т. е. необходимо выполнение следующих условий: (1).
Система (1) и будет служить в дальнейшем критерием оптимальности плана. Запишем подробно двойственную задачу на основе этого ограничения: ; ; ; ;
Критерием двойственной задачи будет максимизация выгодности:
3. Метод последовательной максимальной загрузки выбранных коммуникаций. Первое, что пришло на ум мышам –использовать те источники пищи, доступ к которым легче, и они решили построить начальный опорный план по методу максимальной загрузки, исходя из формулы: (2).
т. е. выбираются те варианты, которые могут обеспечить едой максимальное количество мышей, и эти варианты будут использоваться в соответствии с (2). Поскольку хотят есть все мыши во всех норах, то модель закрытая, т. е...
Общая схема построения начального опорного плана по методу максимальной загрузки такова:
1) Выбираем коммуникацию, которую можно больше всего загрузить. 2) Максимально ее загружаем в соответствии с (2).
3) Корректируем объемы производства и потребления на величину выбранной перевозки, вычисляя остатки производства и потребления: ; ;
4) Вычеркиваем в транспортной таблице строку или столбец с нулевым объемом производства или потребления: если – вычеркиваем -тую строку; если – вычеркиваем -тый столбец;
5) Повторяем этот процесс с пункта 1 по 4, пока не будут перечеркнуты все строки или столбцы В нашем случае это выглядит следующим образом: Пища Норы окорок мешок крупы мешок муки мешок картошки журналы 5 2 0 18 0 17 2 0 22 0 8 0 нора 1 15 0 15 нора 2 20 2 0 18 2 нора 3 10 2 0 2 8 нора 4 25 3 0 3 22 Римскими цифрами пронумерован порядок итераций. I. ; ; ; – 4 столбец исключен. II. ; ; ; – 2 столбец исключен. III. ; ; ; – 1 строка исключена. IV. ; ; ; – 5 столбец исключен. V. ; ; ; – 4 строка исключена. VI. ; ; ; – 3 строка и 1 столбец исключены. VII. ; ; ; – 2 строка и 3 столбец исключены.
Порассуждав таким образом, мыши получили следующий начальный опорный план: ; .
По этому опорному плану коту достанется аж 13 мышей (0, 18 часть мыши отдельно вряд ли выживет). “Жирно ему будет”-, подумали мыши и стали составлять другой опорный план методом северо-западного угла. 4. Метод северо-западного угла.
Данный метод очень прост, пункты 1 и 2 в методе максимальной загрузки заменяются на следующий: очередная загружаемая коммуникациявыбирается в левой верхней клетке сохраненной части таблицы, т. е. в северо-западном углу таблицы. Математически это выражается следующим образом: , I – множество номеров пунктов производства; , J – множество номеров пунктов потребления; Последовательно по итерациям метода получаем: I. ; ; ; – 1 столбец исключен. II. ; ; ; – 1 строка исключена. III. ; ; ; – 2 столбец исключен. IV. ; ; ; – 2 строка исключена. V. ; ; ; – 3 столбец исключен. VI. ; ; ; – 3 строка исключена. VII. ; ; ; – 4 столбец исключен. VIII. ; ; ; – 4 строка и 5 столбец исключены. Пища Норы окорок мешок крупы мешок муки мешок картошки журналы 5 0 18 8 0 17 5 0 22 17 0 8 0 нора 1 15 10 0 5 10 нора 2 20 12 0 8 12 нора 3 10 5 0 5 5 нора 4 25 8 0 17 8 Получили следующий опорный план: . .
Те же самые 13 мышей, и даже хуже предыдущего опорного плана (если учитывать сотые). Пришлось мышам использовать метод минимальных затрат. 5. Метод минимальных затрат.
В этом методе в первую очередь загружаются те коммуникации, в которых затраты на перевозку минимальные. В нашем случае, это те пути, мышиные потери на которых минимальны. Пища Норы окорок мешок крупы мешок муки мешок картошки журналы 5 0 18 0 17 0 22 20 18 15 0 8 0 нора 1 15 0 15 нора 2 20 3 0 17 3 нора 3 10 2 0 2 8 нора 4 25 7 2 0 5 18 2 I. ; ; ; – 2 столбец исключен. II. ; ; ; – 1 столбец исключен. III. ; ; ; – 4 строка исключена. IV. ; ; ; – 5 столбец исключен. V. ; ; ; – 3 строка исключена. VI. ; ; ; – 3 столбец исключен. VII. ; ; ; – 2 строка исключена. VIII. ; ; ; – 1 строка и 4 столбец исключены. Опорный план: Целевая функция:
Этот опорный план понравился мышам значительно больше, но все равно потери достаточно велики (7 мышей). Теперь требовалось решить эту задачу и найти оптимальный план. И сделать они это собрались самым точным методом– методом потенциалов. 6. Решение задачи методом потенциалов.
Если план действительно оптимален, то система (1) будет выполняться, т. е. : 1) для каждой занятой клетки транспортной таблицы сумма потенциалов должна быть равна для этой клетки;
2) для каждой незанятой клетки сумма потенциалов не больше (меньше или равно) . Построим для каждой свободной переменной плана числа и они должны быть положительны. Так как число потенциалов равно 9, а система состоит из 8 уравнений, то для нахождения какого-либо решения этой системы необходимо первому из потенциалов придать произвольное значение (например: ). Далее последовательно находим значения всех потенциалов. Распишем подробно эту процедуру. Пища Норы окорок мешок крупы мешок муки мешок картошки журналы 5 18 17 22 8 нора 1 15 15 нора 2 20 17 3 нора 3 10 2 8 нора 4 25 5 18 2
Таким образом, после того, как все потенциалы найдены, можно искать :
Видно, что и меньше нуля, значит существующий опорный план можно улучшить. Поскольку , нужно ввести в базис вектор, соответствующий клетке (2; 1), для чего загрузить ее некоторым количеством единиц груза (мышей). Но, так как мы, увеличивая загрузку (2; 1), нарушаем баланс строк и столбцов распределительной таблицы, то следует изменить объемы поставок в ряде других занятых клеток. А чтобы число базисных переменных осталось прежним, необходимо вывести из базиса одну переменную. Выводится обычно та переменная, у которой загрузка в цикле минимальна. Строим цикл: (2; 1) – начальная точка цикла;
Что характерно, для этой точки (впрочем как и для других) мы можем построить только один цикл. Каждой клетке цикла приписываем определенный знак: (2; 1) – “+”, (4; 1) – “-”, (4; 4) – “+” (2; 4) – “-”. Пища Норы окорок мешок крупы мешок муки мешок картошки журналы 5 18 17 22 8 нора 1 15 15 нора 2 20 17 3 нора 3 10 2 8 нора 4 25 5 18 2
В клетках с “+” – увеличиваем загрузку, а в клетках с “-” –уменьшаем. Величина, на которую увеличиваем или уменьшаем всегда одна и она определяется из условия: , где – содержимое клеток с “-”. Таким образом получаем:
, а значит из базиса будет выведена (2; 4), где в процессе реализации цикла загрузка уменьшится до 0. Перейдем к новому опорному плану Пища Норы окорок мешок крупы мешок муки мешок картошки журналы 5 18 17 22 8 нора 1 15 15 нора 2 20 3 17 нора 3 10 2 8 нора 4 25 2 18 5 Определяем Все больше 0, следовательно план оптимальный. . Целевая функция при этом плане:
М-да, незначительное улучшение для мышей. Целых 6 мышей и еще один мышиный хвостик–такова ежедневная дань коту Василию. Но делать нечего, и стали мыши действовать по этому плану. 7. Открытая модель.
И все было бы хорошо, но в 3 норе появился дополнительный приплод –10 мышей, следовательно в ней стало проживать 20 мышей, а количество мышей, питающихся у источников пищи, осталось тем же. Получилась так называемая открытая модель, где: (3)
и ее необходимо сбалансировать. Для этого нужно ввести фиктивный пункт потребления с объемом потребления: ;
и дополнительные переменные приводящие ограничение-неравенство (3) к виду равенств и понимание как фиктивные перевозки из пунктов производства в фиктивный пункт потребления. Новая математическая модель: ; ;
При этом во 2 и 3 норах все мыши должны быть накормлены (во второй – самые умные мыши, а в третьей – большой приплод), поэтому второе и третье ограничения – уравнения. В первое и четвертое ограничения добавим новые переменные R1 и R4для уравновешивания системы. А так как этих источников пищи на самом деле нет, то и затраты (потери по дороге) на них нулевые.
В транспортной таблице в последнем столбце введем еще 2 переменные в (2; 5) и (3; 5)– R2 и R3, чтобы столбец был полностью заполнен, а так как перевозки в этих коммуникациях не должны быть, то наложим на них очень большие штрафы М и включим все новые переменные в целевую функцию:
Так как критерий стремится к минимуму, то в оптимальном плане перевозки с самыми большими затратами не должны осуществляться (т. е. ). Напишем новую транспортную таблицу и найдем начальный опорный план методом минимальных затрат. Пища Норы окорок мешок крупы мешок муки мешок картошки журналы R 5 0 18 15 0 17 0 22 10 0 8 0 10 5 0 нора 1 15 5 10 5 нора 2 20 3 0 3 17 нора 3 20 12 0 12 8 нора 4 25 10 5 0 5 15 5 Определяем .
меньше 0, поэтому существующий опорный план можно улучшить. Поскольку –наибольший, то мы будем вводить в базис вектор, соответствующий клетке (4; 4). Строим цикл и переходим к новому опорному плану. Пища Норы окорок мешок крупы мешок муки мешок картошки журналы R 5 18 17 22 8 10 нора 1 15 5 10 нора 2 20 3 17 нора 3 20 12 8 нора 4 25 5 15 5 Определяем
меньше 0, поэтому существующий опорный план можно также улучшить. Теперь мы будем вводить в базис вектор, соответствующий клетке (2; 1). Строим цикл и переходим к новому опорному плану. Пища Норы окорок мешок крупы мешок муки мешок картошки журналы R 5 18 17 22 8 10 нора 1 15 5 10 нора 2 20 3 17 нора 3 20 12 8 нора 4 25 2 18 5 Определяем Все больше 0, следовательно план оптимальный. . Целевая функция при этом плане:
Этот план чуть хуже предыдущего, к тому же 10 мышей из первой норы остаются голодными. Во всяком случае питаются раз в три дня. 8. Запрещенные перевозки.
Но кот Василий тоже не дремал, и, произведя те же операции, что и мыши в свое время, определил оптимальный план их передвижений (см. пункт 6). Посмотрев на него, он сразу решил взять под особый контроль путь от второй норы к мешку муки и от четвертой норы к мешку крупы.
Вскоре мыши это на себе почувствовали, а почувствовав, кинулись составлять новый оптимальный план, пометив эти два маршрута как чрезвычайно опасные буквой М Пища Норы окорок мешок крупы мешок муки мешок картошки журналы 5 18 17 22 8 Нора 1 15 15 Нора 2 20 2 18 Нора 3 10 2 8 Нора 4 25 3 17 5 Видно, что этот план уже является оптимальным. Целевая функция: .
Как зыбко мышиное счастье. Стоило коту взяться за дело всерьез, и потери возросли чуть ли не в два раза.