Економетрія

12

Завдання 1. Теоретичне питання

Теоретичне питання. Основні типи економетричних моделей. Етапи економетричного аналізу економічних процесів та явищ

Поняття моделі. Основні типи економетричних моделей.

Економетрика як самостійна наукова дисципліна використовує в тон же час поняття та методи розвязку задач з багатьох розділів математики. Економетрія поділяється на дві частини:

1) Економетричні методи;

2) Економетричні моделі економічних процесів і явищ.

Економетричні методи можна умовно розбити на чотири групи:

До першої групи входять методи оцінювання параметрів класичної економетричної моделі за методом найменших квадратів.

До другої групи належать методи оцінювання параметрів узагальненої моделі, коли порушуються деякі передумови використання методу найменших квадратів.

До третьої групи входять методи оцінювання параметрів динамічних економетричнпх моделей.

Четверта група охоплює методи оцінювання параметрів економетричних моделей, які побудовані на основі системи одночасних структурних рівнянь.

Математичні моделі корисні для більш повного розуміння суті процесів, що відбуваються, їх аналізу. Серед моделей, які використовуються для аналізу та/або прогнозування, можна виділити три основні класи:

1. Моделі часових рядів

2. Регресійні моделі з одним рівнянням

3. Системи одночасних рівнянь.

Моделі часових рядів

До цього класу відносяться такі моделі:

тренду: y(t) = T(t) + t,

де T(t) - часовий тренд заданого параметричного виду (наприклад, лінійний)

T(t) = ао + а1t, t - випадкова (стохастична) компонента);

Сезонності: y(t) = S(t) + t,

де S(t) - періодична (сезонна) компонента,

t - випадкова (стохастична) компонента);

тренду та сезонності:

y(t) = T(t) + S(t) + t (адитивна)

або

y(t) = T(t) S(t) + t (мультиплікативна),

де T(t) - часовий тренд заданого параметричного виду, S(t) - періодична (сезонна) компонента, ех - випадкова (стохастична) компонента).

До моделей часових рядів відносяться множина більш складних моделей, таких як моделі адаптивного прогнозу, моделі авторегресії та ін. Загальною рисою є те, що вони обєднують поведінку часового ряду, виходячи тільки з його попередніх значень. Такі моделі можуть бути використаними, наприклад, для вивчення та прогнозування обєму продажу, попиту, короткострокового прогнозування відсоткових ставок та т.п.

Регресійні моделі з одним рівнянням

В таких моделях залежна (пояснювана) змінна у зображується у вигляді функції , де - незалежні (,що пояснюють) змінні, а - параметри. В залежності від вибору функції f(х,р) моделі діляться на лінійні та нелінійні.

Область використання цих моделей, навіть лінійних, значно ширше, ніж моделей часових рядів. Наприклад, можна дослідити попит як функцію від часу, температури повітря, середнього рівня доходу бо залежність заробітної плати від віку, статі, рівня освіти, стажу роботи та т.п.

Системи одночасних рівнянь

Ці моделі описуються системами рівнянь. Системи можуть складатися з тотожностей та регресійних рівнянь, кожне з яких може, окрім змінних, що пояснюють, включати в себе також змінні, які пояснюються, з інших рівнянь системи. Таким чином, ми маємо набір змінних, що пояснюються, повязаних через рівняння системи. Прикладом може бути модель попиту та пропозиції. Системи одночасних рівнянь вимагають використання більш складного математичного апарату. Вони можуть використовуватися для моделей державної економіки та ін.

Типові економіко-математичні моделі:

Виробничі функції

Функції попиту різних груп споживачів та цільові функції більшості споживачів

Статичні та динамічні міжгалузеві моделі виробництва

Розподіл та споживання продукції

Моделі загальної економічної рівноваги.

Етапи економетричного аналізу економічних процесів та явищ.

Економетричні моделі будуються поетапно в такій послідовності:

1 етап - це підготовка інформаційної бази, що обумовлюється необхідністю використання математико-статнстичннх методів, які вимагають наявності числових характеристик економічних явиш та можливостей вимірювати їх.

2 етап - це формулювання тієї чи іншої гіпотези стосовно розвитку певних економічних явиш яку ми будемо перевіряти за допомогою економетричної моделі.

3 етап - розробка економетричної моделі для перевірки теорії. На цьому етапі вибирається показник, який буде досліджуватись, визначаються факторії впливу на результативний показник. Відбираються такі факторні ознаки які мають найсуттєвіший вплив на досліджувану одиницю. Кількість обраних факторів залежить від того який тип моделей буде будуватись однофакторна чи багатофакторна. Далі необхідно встановити тип звязку між факторною та результативною ознаками. Етап розробки еонометричної моделі завершується записанням остаточного її варіанту у вигляді літер.

4 етап - оцінка параметрів обраної моделі яка здійснюється за допомогою методів економетричного аналізу. Вибір методу залежить від типу побудованої моделі. Якщо модель відповідає всім припущенням узагальненої регресійної моделі то можна використовувати класичний метод, тобто метод найменших квадратів, якщо ні використовуються інші специфічні методи оцінки параметрів економетричної моделі.

5 етап - перевірка моделі формулювання статистичних висновків. Після розрахунку параметрів економетричної моделі вона перевіряється на адекватність тобто на скільки вона відповідає реальним умовам. В результаті цієї перевірки можна встановити, що модель адекватна або що модель не адекватна. Після цього обчислюємо коефіцієнт кореляції, коефіцієнт детермінації, еластичності і на основі цих показників проводимо аналіз ступеню впливу одного або декількох факторів на результат.

6 етап - це прогнозування на основі отриманої моделі. На цьому етапі виявляються резерви та шляхи підвищення ефективності стосовно факторних та результативних показників. Враховуючії тенденції зміни значення показника згідно з розробленою економетричною моделлю проводиться оцінка на перспективу, при цьому визначаються планові показники.

7 етап це застосування моделі. Досліджувана модель використовується в подальшому для аналізу та досягнення різних політичних, економічних, соціологічних цілей, тобто сфера її застосування досить широка.

1. Збір та класифікація статистичних даних.

2. Формулювання теорії або гіпотези.

3. Розробка економетричної моделі для перевірки цієї теорії.

4. Оцінка параметрів моделі.

5. Перевірка моделі, статистичні висновки.

6. Прогнозування на основі одержаної моделі.

7. Використання моделі.

Завдання 2. Парна лінійна регресія

Побудувати та дослідити модель парної лінійної регресії

1. На основі статистичних даних показника Y і фактора X знайти:

оцінки параметрів лінійної регресії

оцінку коефіцієнта кореляції.

2. Використовуючи критерії Фішера, з надійністю Р=0,95 оцінити адекватність прийнятої економетричної моделі статистичним даним.

3. Якщо модель адекватна статистичним даним, то знайти:

з надійністю Р=0,95 надійні зони базисних даних;

прогноз показника та його надійні інтервали (прогнозне значення фактора задається довільно);

коефіцієнт еластичності для базисних даних і прогнозу.

4. Побудувати графіки статистичних даних, лінії регресії і її довірчої зони.

5. За результатами розрахунків зробити висновки.

Розвязок задачі необхідно супроводжувати коментарями з наведенням формул, результатів обчислень та висновків за цими результатами. До пояснювальної записки прикладаються у вигляді додатків зведена таблиця розрахунків та графік, які виконані на ПЕОМ.

Виконання завдання.

При виконанні цього завдання ми будемо здійснювати розрахунки відповідно до етапів побудови економічної регресії,

Вихідні статистичні дані варіанту №38.

Опишемо порядок виконання роботи з використанням пакету Excel. Створимо таблицю розрахунків, в яку зведемо проміжні та кінцеві розрахунки моделі парної лінійної регресії (додаток 1).

В розрахунковій таблиці блок вихідних даних формується в перших двох стовпцях B2: C16. За блоком вихідних даних іде блок проміжних розрахунків D2: N16. Прогнозні значення обчислюються у 17му рядку.

Введемо гіпотезу, що між факторами X та показником Y існує лінійна стохастична залежність Y=a1?X+a0.

Оцінка параметрів a1 і a0 парної регресії обчислюються методом найменших квадратів за формулами

,

для цього необхідно виконати деякі проміжні розрахунки.

Для знаходження добутку x1? y1 у комірку D2 вводиться формула B2?C2. Далі одержана формула копіюється в комірки D3: D16 за допомогою Автозаповнення.

Аналогічним чином в комірках E2: E16 обчислюються значення

Для визначення сум стовпців використовують вбудовану функцію СУММ(блок) за допомогою кнопки Автосумування на панелі інструментів (?) або кнопки Майстра функцій на панелі інструментів (ѓx). Введена формула копіюється в необхідні комірки 18-го рядка. Середні значення X та Y обчислюються в комірках B19, C19 з використанням вбудованої статистичної функції СРЗНАЧ(блок).

До комірок B21, D21 відповідно вводяться формули для визначення оцінок параметрів відповідно а1 та а0.

В результаті розрахунків модель можна записати в явному вигляді:

Для обчислення значення у комірку F3 вводиться формула парної лінійної регресії з абсолютним посиленням координат-параметрів а1 та а0 і відносним посиленням координати х. Одержана у комірці F2 формула копіюється в блок F3: F16. У комірці F18 буде знаходиться сума блоку F2: F16. Оскільки математичне очікування відхилення фактичних даних від розрахункових дорівнює нулю, то при правильному використанні розрахунків значення у комірках В18 та F18 співпадатимуть.

Для обчислення розрахунків значення критерію Фішера, оцінки довірчої зони базисних даних та оцінки довірчого інтервалу прогнозу створюється блок проміжних обчислень G2: N16. значення , , обчислюється відповідно в блоках G2: G16, Н2: Н16, І2: І16, а їх суми відповідно у блоці G18: I18.

Значення коефіцієнта детермінації обчислюється у комірці J21 за формулою:

Для визначення адекватності прийнятої економетричної моделі експериментальним даним можна скористатися F - критерієм Фішера, для чого обчислюється розрахункове значення та визначається табличне (критичне) значення.

Значення обчислюється в комірці L21 за формулою:

Значення вибирається з таблиці F-розподілу Фішера для ймовірності Р=0,95 і числа ступенів вільності та, де - кількість спостережень, а - кількість факторів. В нашому прикладі і відповідно = дорівнює 4,67 і вводиться в комірку L20. після чого можна зробити висновок про адекватність моделі.

Для адекватної вихідним даним моделі в комірку С17 вводиться прогнозне значення фактора (вибирається довільно), після чого в комірці F17 обчислюється прогнозне значення показника .

У комірці Н21 обчислюється значення середнього квадратичного відхилення оцінки дисперсії випадкової величини

.

З таблиці t - розподілу вибирається значення для ймовірності Р=0,95 і числа ступенів вільності Для нашого прикладу відповідно дорівнює 2,16 і вводиться в комірку І20.

В блоці j2: j16 обчислюється значення та в комірці j17 значення :

,

.

Значення розраховується відповідно у блоках K2: K16, L2: L16. Для визначення оцінки коефіцієнта кореляції будуємо блок М2: М18. У комірку М2 вводиться формула , яка потім копіюється в блок М3: М16. сума блоку М2: М15 розраховується в комірці М18. Значення коефіцієнта кореляції обчислюється у комірці N21 за формулою:

.

Коефіцієнт еластичності для базисних значень та прогнозу обчисляється у блоці N2: N17 за формулою .

Для ілюстрації одержаних результатів розрахунків будуються графіки фактичних значень показника, лінії регресії та її довірчої зони (додаток 2-3). В Excel графіки будуються за допомогою Майстра Діаграм. Спочатку відмічаються в таблиці блоки: B2: B16, F2: F16, K2: K16, L2: L16, в яких містяться необхідні для побудови графіків дані. Потім послідовно в кожному діалоговому вікні Майстра Діаграм задаються параметри діаграми (тип діаграми-графік, вид графіка, назви координатних осей та інші). Готова діаграма розташовується на робочому аркуші з таблицею даних або на окремому аркуші Діаграма. При необхідності редагування діаграми спочатку активізується певний обєкт діаграми (ряд даних, осі діаграми тощо), після чого за допомогою команд Контекстного меню вносяться необхідні зміни в параметри.

Висновок

Оскільки , то економетричну модель з надійністю Р=0,95 можна вважати адекватною експериментальним даним і на підставі прийнятої моделі можна проводити економічний аналіз та прогнозування.

Коефіцієнт кореляції , що говорить про тісний звязок фактора і показника.

Для прогнозу значення фактора середнє значення цього показника з надійністю Р=0,95 буде знаходитись у межах від 23,14 до 3,44.

При зміні фактора на одиницю показник зміниться на 2,62

Значення коефіцієнта еластичності під час зростання фактора від 1 до 15 зменшується у межах від 1,21 до 1,04.

Для прогнозного значення середнє значення коефіцієнта еластичності дорівнює 1,04. Це означає, що при зміні фактора на 1% показник змінюється на 1,04%

Завдання 3. Однофакторні виробничі регресії

Дослідити стохастичну залежність і підібрати „найкращу” модель одно факторної виробничої регресії.

На основі статистичних даних дослідити стохастичну залежність між фактором X та показником Y:

визначити статистичні характеристики ряду одно факторних виробничих функцій за допомогою прикладної розрахункової програми на ЕОМ;

за коефіцієнтом кореляції та критерієм Фішера для кожної виборчої функції вибрати найбільш прийнятну модель;

Побудувати графіки статистичних даних, виробничої регресії.

За результатами розрахунків зробити висновки.

Розвязок задачі необхідно супроводжувати коментарями з наведенням результатів обчислення та висновків за цими результатами. До пояснювальної записки у вигляді додатків прикладаються розраховані за допомогою прикладної програми статистичні характеристики виробничих функцій та графік, які виконані на ПЕОМ.

Виконання завдання 3.

При виконанні цього завдання необхідно здійснити розрахунки відповідно до етапів методу „перебору” економетричних моделей виробничих регресій.

Вихідні статистичні дані варіанту № 43.

Опишу порядок виконання роботи з використанням прикладної програми PODBOR (програма розробка кафедри IC і T академії)

Вибір найбільш прийнятної моделі виробничої функції методом „перебору” за допомогою програми PODBOR здійснюється за таким алгоритмом:

Перший етап.

Спочатку в діалоговому режимі вводиться число 12 - код команди розрахунку статистичних характеристик для всіх одинадцяти виробничих функцій, якими оперує програма.

Потім вводять вихідні статистичні дані: кількість спостережень, всі значення фактора X та показника Y.

На запитання програми, чи виводити результати розрахунків на друкувальний пристрій, надається ствердна відповідь. У принтер заздалегідь подається папір, на якому друкуються результати розрахунків статистичних характеристик функції.

Другий етап.

В окрему таблицю вибираються значення коефіцієнта кореляції r та F-критерію Фішера для кожної виробничої функції (друкований звіт результатів обчислення прикладною програмою PODBOR по всіх функціях в додатку)

Статистичні характеристики виробничих функцій.

Аналізуючи значення коефіцієнта кореляції r та F-критерію Фішера, для кожної з виробничих функцій, вибирається „найкраща” модель, тобто така, що найбільш точно описує задану стохастичну залежність („найкращою” вважається та функція, для якої значення коефіцієнту кореляції найближче до і найбільше значення F - критерію Фішера в цьому завданні це десята виробнича функція додаток).

Третій етап.

Для вибраної „найкращої” виробничої функції виконується аналіз основних статистичних характеристик:

Значення елементів ANOVA - таблиці дисперсійного аналізу залежності (додаток)

Простий ANOVA - дисперсійний аналіз.

Значення F-критерію Фішера (додаток) та критичне значення F - критерію (в таблиці F-розподілу для р=0,95), на основі якого можна зробити висновок про адекватність моделі. В цьому завданні , а .

Значення коефіцієнта кореляції (додаток), на основі якого робиться висновок про тісноту звязку між фактором і показником, а відповідно про якість моделі. Для залежності, що досліджується

Четвертий етап.

Для вибраної моделі виробничої регресії, що є адекватною вихідним статистичним даним, вибираються значення параметрів регресії (для цього завдання додаток 4 - параметри та ). Це дозволяє записати в явному вигляді формулу моделі виробничої регресії (для цього завдання модель буде мати такий вигляд - .

В окрему таблицю зводяться вихідні значення показника і відповідні теоретичні значення показника регресійної моделі

Для вибраної моделі будується графік статистичних даних і виробничої регресії (для нашого завдання графік наведено у додатку 5)

Висновок завдання 3.

Оскільки , то економетричну модель .

з надійністю Р=0,95 можна вважати адекватною експериментальним даним і на підставі прийнятої моделі можна проводити економічний аналіз та прогнозування.

Коефіцієнт кореляції , що говорить про тісний звязок фактора і показника.

Обчислена модель має назву напівлогарифмічної і може використовуватись, наприклад, для дослідження залежності ефективності праці від розмірів виробництва.

Перетином лінії регресії е точка 4,565134 на осі OY графіку моделі в Декартові системі координат.

Завдання 4. Багатофакторна лінійна регресія

Побудувати та дослідити модель багатофакторної лінійної регресії.

На основі статистичних даних показника і факторів знайти:

оцінки параметрів лінії регресії;

оцінки парних коефіцієнтів кореляції;

кореляційну матрицю.

Побудувати графіки статистичних даних та виробничої регресії.

За результатами розрахунків зробити висновки.

Розвязок задачі необхідно супроводжувати коментарями з наведенням результатів обчислення та висновків за цими результатами. До пояснювальної записки у вигляді додатків прикладаються розраховані за допомогою прикладної програми статистичні характеристики виробничих функцій та графік, які виконані на ПЕОМ.

Виконання завдання 4.

При виконанні цього завдання необхідно здійснити розрахунки відповідно до етапів побудови економетричної моделі множинної регресії регресії.

Вихідні статистичні дані варіанту № 69.

Опишу порядок виконання роботи з використанням прикладної програми MKOR (програма розробка кафедри IC і T академії)

Побудову та дослідження моделі багатофакторної лінійної регресії здійснюються за таким алгоритмом:

Перший етап.

Після запуску програми із меню команд програм використовують команду 1 (Лінійна функція з вільним членом).

Потім в діалоговому режимі послідовно вводять параметри для виконання розрахунків: кількість факторів моделі, число спостережень вихідних даних і значення факторів та показника для всіх спостережень.

Після введення вихідних даних програма розраховує статистичні характеристики вибраної лінійної багатофакторної економетричної моделі та виводить на друкувальний пристрій (друкований звіт розрахунку статистичних характеристик, що виконані програмою MKOR для лінійної множинної регресії, додаток 6).

Другий етап.

Для вибраної моделі перш за все проводиться аналіз впливу зміни кожного фактора на зміну показника та взаємного впливу факторів.

Про ступінь впливу зміни кожного фактора на зміну показника можна робити висновки, аналізуючи значення парних коефіцієнтів кореляції (додаток 6). Для нашого завдання парні коефіцієнти кореляції мають значення , , .

Для визначення взаємного впливу факторів проводиться аналіз кореляційної матриці. Для нашого завдання в табл. наведена кореляційна матриця.

Кореляційна матриця.

Значення парних коефіцієнтів кореляції між факторами вказують на те, що між факторами та , факторами та і факторами та існує тісний звязок, що говорить про значний взаємний вплив факторів. Аналізуючи кореляційну матрицю моделі можна зробити висновок про наявність в моделі явища мультиколінеарності.

Третій етап.

Визначається якість розрахованої моделі, для чого проводиться аналіз таких статистичних характеристик, як F - критерію Фішера та загального коефіцієнту кореляції.

Вибираються розрахункове та критичне значення F - критерію Фішера, на основі яких можна зробити висновок про адекватність моделі. Для нашої багатофакторної лінійної регресії та .

Значення загального коефіцієнту кореляції говорить про високу якість моделі.

Четвертий етап.

Для вибраної моделі виробничої регресії, що є адекватною вихідним статистичним даним, вибираються значення параметрів регресії (додаток 6). Значення параметрів , , , , що дозволяє записати в явному вигляді формулу моделі лінійної множинної регресії - .

В окрему таблицю зводяться вихідні значення показника і відповідні теоретичні значення показника регресійної моделі

Для вибраної моделі будуються графіки статистичних даних і виробничої регресії (для нашого завдання графік наведено у додатку 7)

Висновок завдання 4.

Оскільки , то економетричну модель з надійністю Р=0,95 можна вважати адекватною експериментальним даним і на підставі прийнятої моделі можна проводити економічний аналіз та прогнозування.

Загальний коефіцієнт кореляції , що говорить про високу якість моделі.

Зміна фактора Х1 на одиницю (при незмінних інших факторах) показник зміниться на 0,89.

Зміна фактора Х2 на одиницю (при сталих інших факторах) викликає зміну показника на 1,06.

Зміна фактора Х3 на одиницю (при сталих інших факторах) викликає зміну показника на - 1,8.

Перетином лінії регресії є точка 7,52 на осі ОY графіку моделі в Декартові системі координат.

Аналіз кореляційної матриці моделі можна зробити висновок про наявність в моделі явища мультиколінеарності.

Використана література

Грубер Й. Економетрія: Вступ до множинної регресії та економетрії: У 2 т. - К.: Нічлава, 1998-1999.