Федеральное агентство по образованию
Министерства образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Филиал Уральского государственного экономического университета
г.Березники
Кафедра "Математики и естественнонаучных дисциплин"
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
специальность: 080103.65 "Национальная экономика"
Выполнил (а)
Студент (ка) гр. ЭКФС - 071 Д.А.Вахрушева
Проверил
Профессор, д.т.н. Б.Н.Щеткин
Березники
2010 г
Задание 1.
1. В соответствии с МНК найти уравнение линейной регрессии
2. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения показателей x и y.
3. Найти парный коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятностью p=0,95 проверить его значимость
4. Сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн.руб.
5. Построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных.
Для удобства вычислений параметров системы уравнений составим табл.1.
Таблица 1
|
t |
xi |
yi |
xy |
x2 |
y2 |
y-? |
(y-?)2 |
yi |
ei=yi- yx |
ei2 |
ei-ei-1 |
(ei-ei-1)2 |
||||
|
1 |
0 |
32,4 |
0 |
0 |
1049,76 |
-5,52 |
30,4704 |
32,18 |
0,22 |
0,05 |
- |
- |
-2,25 |
5,06 |
0,68 |
|
|
2 |
0,5 |
32,4 |
16,2 |
0,25 |
1049,76 |
-5,52 |
30,4704 |
33,46 |
-1,06 |
1,11 |
-1,28 |
1,63 |
-1,75 |
3,06 |
3,26 |
|
|
3 |
1 |
34,8 |
34,8 |
1 |
1211,04 |
-3,12 |
9,7344 |
34,73 |
0,07 |
0,00 |
1,13 |
1,27 |
-1,25 |
1,56 |
0,20 |
|
|
4 |
1,5 |
37,1 |
55,65 |
2,25 |
1376,41 |
-0,82 |
0,6724 |
36,01 |
1,10 |
1,20 |
1,03 |
1,05 |
-0,75 |
0,56 |
2,95 |
|
|
5 |
2 |
38 |
76 |
4 |
1444 |
0,08 |
0,0064 |
37,28 |
0,72 |
0,52 |
-0,38 |
0,14 |
-0,25 |
0,06 |
1,89 |
|
|
6 |
2,5 |
38,7 |
96,75 |
6,25 |
1497,69 |
0,78 |
0,6084 |
38,58 |
0,12 |
0,01 |
-0,60 |
0,36 |
0,25 |
0,06 |
0,31 |
|
|
7 |
3 |
38,6 |
115,8 |
9 |
1489,96 |
0,68 |
0,4624 |
39,83 |
-1,23 |
1,51 |
-1,35 |
1,82 |
0,75 |
0,56 |
3,19 |
|
|
8 |
3,5 |
39,9 |
139,65 |
12,25 |
1592,01 |
1,98 |
3,9204 |
41,11 |
-1,21 |
1,45 |
0,02 |
0,00 |
1,25 |
1,56 |
3,02 |
|
|
9 |
4 |
43,8 |
175,2 |
16 |
1918,44 |
5,88 |
34,5744 |
42,38 |
1,42 |
2,02 |
2,63 |
6,89 |
1,75 |
3,06 |
3,24 |
|
|
10 |
4,5 |
43,5 |
195,75 |
20,25 |
1892,25 |
5,58 |
31,1364 |
43,66 |
-0,16 |
0,02 |
-1,58 |
2,48 |
2,25 |
5,06 |
0,36 |
|
|
Итого |
22,5 |
379,2 |
905,8 |
71,25 |
14521,3 |
0 |
142,056 |
379,20 |
0,00 |
7,90 |
-0,38 |
15,64 |
20,63 |
19,1 |
||
|
среднее |
2,25 |
37,92 |
90,58 |
7,125 |
1452,13 |
14,2056 |
37,92 |
0,79 |
||||||||
|
? |
1,44 |
3,77 |
||||||||||||||
|
?2 |
2,06 |
14,20 |
||||||||||||||
|
yp |
5 |
44,93 |
||||||||||||||
1. Пример расчета среднего значения:
Построение уравнения регрессии сводятся к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических yx минимальна т.е
Для линейных уравнений, решается следующая система уравнений:
Исходя из таблицы 1, система уравнений с численными значениями параметров имеет вид:
Решим систему уравнения по правилу Крамера:
Определим коэффициенты регрессии a и b:
Также можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают системы:
Уравнение регрессии имеет следующий вид:
yi = 32,18+2,55x
2. Вычисление среднеквадратического отклонения:
3.Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Или
Значение коэффициентов парной корреляции лежит в интервале от -1 до +1. его положительное значение свидетельствует о прямой связи. Связь считается достаточно сильной, т.к. коэффициент корреляции по абсолютной величине превышает 0,7.
Рассчитаем коэффициент детерминации. Он показывает долю вариации результативного признака, находящего под воздействием изучаемых факторов.
Или
Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения yi. Найдем величину средней ошибки аппроксимации (расчеты представлены в таблице 1), которая показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических. Допустимый предел ее значений 8-10%.
Рассчитаем F-критерий Фишера, применяемый для оценки качества уравнения регрессии. Выполняется сравнение Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера.
Если табличное значение меньше расчетного, т.е. признается статистическая значимость и надежность характеристик, уравнение регрессии следует признать адекватным.
Рассчитаем стандартную ошибку:
Рассчитаем t-критерий Стьюдента, применяемый для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции.
Проверка статистической значимости коэффициентов:
Коэффициент корреляции существенно отличен от нуля - это значит, что значения коэффициентов сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Зависимость является значимой и достоверной.
Определим случайные ошибки:
тогда
Рассчитаем доверительный интервал для a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
Доверительные интервалы:
4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение фактора составит , тогда прогнозное значение результата будет
Ошибка прогноза составит:
Предельная ошибка прогноза:
Доверительный интервал прогноза:
5. Построим график линии регрессии с нанесением на него опытных данных
Рис. 1. График линии регрессии
Задание №2
Имеются данные о доли расходов на товары длительного пользования уi от среднемесячного дохода семьи xi. Предполагается, что эта зависимость носит нелинейный характер . Необходимо:
1. Найти уравнение нелинейной гиперболической регрессии .
2. Найти парный коэффициент корреляции и с доверительной вероятностью проверить его значимость.
Таблица 2
|
i |
xi |
yi |
Xi=1/xi |
Xi2 |
Xi yi |
?i |
ei=yi- ?i |
ei2 |
yi-? |
(yi-?)2 |
|
|
1 |
2 |
29,7 |
0,5000 |
0,25 |
14,85 |
29,11 |
0,59 |
0,35 |
6,49 |
42,12 |
|
|
2 |
2,5 |
26,3 |
0,4000 |
0,16 |
10,52 |
26,56 |
-0,26 |
0,07 |
3,09 |
9,55 |
|
|
3 |
3 |
24,8 |
0,3333 |
0,11 |
8,27 |
24,85 |
-0,05 |
0,00 |
1,59 |
2,53 |
|
|
4 |
3,5 |
23,5 |
0,2857 |
0,08 |
6,71 |
23,63 |
-0,13 |
0,02 |
0,29 |
0,08 |
|
|
5 |
4 |
22,3 |
0,2500 |
0,06 |
5,58 |
22,72 |
-0,41 |
0,17 |
-0,91 |
0,83 |
|
|
6 |
4,5 |
21,7 |
0,2222 |
0,05 |
4,82 |
22,00 |
-0,30 |
0,09 |
-1,51 |
2,28 |
|
|
7 |
5 |
21,5 |
0,2000 |
0,04 |
4,30 |
21,43 |
0,07 |
0,00 |
-1,71 |
2,92 |
|
|
8 |
5,5 |
19 |
0,1818 |
0,03 |
3,45 |
20,97 |
-1,97 |
3,87 |
-4,21 |
17,72 |
|
|
9 |
6 |
20,5 |
0,1667 |
0,03 |
3,42 |
20,58 |
-0,08 |
0,01 |
-2,71 |
7,34 |
|
|
10 |
6,5 |
22,8 |
0,1538 |
0,02 |
3,51 |
20,25 |
2,55 |
6,49 |
-0,41 |
0,17 |
|
|
итого |
42,5 |
232,1 |
2,6936 |
0,839131 |
65,4271 |
232,10 |
0,00 |
11,08 |
0 |
85,55 |
|
|
среднее |
4,25 |
23,21 |
0,27 |
0,083913 |
6,54 |
23,21 |
1,11 |
0,00 |
8,55 |
||
1. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид:
произведем линеаризацию модели путем замены X=1/x. В результате получим линейное уравнение . Рассчитаем его параметры по данным таблицы 2. Полученные результаты заносим в таблицу.
Применяя МНК к уравнению , получим систему нормальных уравнений:
Исходя из таблицы 1, система уравнений с численными значениями параметров имеет вид:
Решим систему уравнения по правилу Крамера:
Определим коэффициенты регрессии a и b:
Уравнение регрессии имеет следующий вид:
2.Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Связь между показателем y и фактором x очень тесная.
Проверим значимость индекса корреляции с помощью F-критерия Фишера. Наблюдаемое значение статистики определяется по формуле:
По таблице критических точек F-распределения Фишера-Снедекора находим табличное значение Fтабл.
F > Fтабл = 5,32 для ?=0,05, k1=m=1, k2=n-m-1=8
51,22 > 5,32
Индекс корреляции значим, т.к. F > Fтабл.
Задание №3
Исследуется зависимость месячного расхода семьи на продукты питания zi. , тыс.р. от месячного дохода на одного члена семьи xi тыс.р. и от размера семью yi , чел. Необходимо:
1. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии .
2. Найти парные коэффициенты корреляции .
3. С доверительной вероятностью р=0,95 проверить коэффициенты корреляции на значимость.
4. Вычислить индекс множественной корреляции и проверить с доверительной вероятностью его статистическую значимость.
1. Согласно МНК параметры регрессии уравнения находятся по формуле
, где
матрица значений объясняющих переменных;
- матрица столбец значений зависимой переменной;
- матрица-столбец параметров линейного уравнения регрессии
В нашем случае
Матрица XTX представляет собой матрицу сумм первых степеней, квадратов и произведений n наблюдений объясняющих переменных:
Таблица 3
|
t |
x |
y |
z |
x2 |
y2 |
xy |
|
|
1 |
2 |
1 |
2,40 |
4 |
1 |
2 |
|
|
2 |
3 |
1 |
3,10 |
9 |
1 |
3 |
|
|
3 |
4 |
1 |
3,40 |
16 |
1 |
4 |
|
|
4 |
2 |
2 |
3,70 |
4 |
4 |
4 |
|
|
5 |
3 |
2 |
4,00 |
9 |
4 |
6 |
|
|
6 |
4 |
2 |
4,20 |
16 |
4 |
8 |
|
|
7 |
3 |
3 |
4,50 |
9 |
9 |
9 |
|
|
8 |
4 |
3 |
4,70 |
16 |
9 |
12 |
|
|
9 |
5 |
3 |
6,00 |
25 |
9 |
15 |
|
|
10 |
3 |
4 |
5,90 |
9 |
16 |
12 |
|
|
11 |
4 |
4 |
6,30 |
16 |
16 |
16 |
|
|
12 |
5 |
4 |
6,40 |
25 |
16 |
20 |
|
|
13 |
2 |
5 |
6,30 |
4 |
25 |
10 |
|
|
14 |
3 |
5 |
6,50 |
9 |
25 |
15 |
|
|
15 |
4 |
5 |
7,20 |
16 |
25 |
20 |
|
|
итого |
51 |
45 |
74,6 |
187 |
165 |
156 |
|
|
среднее |
3,40 |
3,00 |
4,97 |
||||
Обозначим через B=XTX. Тогда матрица B-1 определяется по формуле
,
где - определитель матрицы B, - матрица составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы B. - транспонированная матрица к матрице .
Получаем:
= 15•(187•165-1562)-51•(51•165-45•156)+45•(51•156-45•187)=5985
Таким образом, матрица имеет вид:
а матрица примет вид:
Для матрицы B-1 получаем:
отсюда матрица
Окончательно для матрицы А получаем:
Следовательно:
c=0,81
a=0,41
b=0,923
Уравнение множественной регрессии имеет вид:
2. Рассчитаем парные коэффициенты корреляции
- "исправленные" среднеквадратические отклонения величин x,y и z
Таблица 4
|
t |
x |
y |
z |
x-? |
y-? |
z-? |
(x-?)2 |
(y-?)2 |
(z-?)2 |
(x-?)* (z-?) |
(y-?)* (z-?) |
(x-?)* (y-?) |
xz |
yz |
|
|
1 |
2 |
1 |
2,40 |
-1,40 |
-2,00 |
-2,57 |
1,96 |
4,00 |
6,62 |
3,60 |
5,15 |
2,8 |
4,8 |
2,4 |
|
|
2 |
3 |
1 |
3,10 |
-0,40 |
-2,00 |
-1,87 |
0,16 |
4,00 |
3,51 |
0,75 |
3,75 |
0,8 |
9,3 |
3,1 |
|
|
3 |
4 |
1 |
3,40 |
0,60 |
-2,00 |
-1,57 |
0,36 |
4,00 |
2,48 |
-0,94 |
3,15 |
-1,2 |
13,6 |
3,4 |
|
|
4 |
2 |
2 |
3,70 |
-1,40 |
-1,00 |
-1,27 |
1,96 |
1,00 |
1,62 |
1,78 |
1,27 |
1,4 |
7,4 |
7,4 |
|
|
5 |
3 |
2 |
4,00 |
-0,40 |
-1,00 |
-0,97 |
0,16 |
1,00 |
0,95 |
0,39 |
0,97 |
0,4 |
12 |
8 |
|
|
6 |
4 |
2 |
4,20 |
0,60 |
-1,00 |
-0,77 |
0,36 |
1,00 |
0,60 |
-0,46 |
0,77 |
-0,6 |
16,8 |
8,4 |
|
|
7 |
3 |
3 |
4,50 |
-0,40 |
0,00 |
-0,47 |
0,16 |
0,00 |
0,22 |
0,19 |
0,00 |
0 |
13,5 |
13,5 |
|
|
8 |
4 |
3 |
4,70 |
0,60 |
0,00 |
-0,27 |
0,36 |
0,00 |
0,07 |
-0,16 |
0,00 |
0 |
18,8 |
14,1 |
|
|
9 |
5 |
3 |
6,00 |
1,60 |
0,00 |
1,03 |
2,56 |
0,00 |
1,05 |
1,64 |
0,00 |
0 |
30 |
18 |
|
|
10 |
3 |
4 |
5,90 |
-0,40 |
1,00 |
0,93 |
0,16 |
1,00 |
0,86 |
-0,37 |
0,93 |
-0,4 |
17,7 |
23,6 |
|
|
11 |
4 |
4 |
6,30 |
0,60 |
1,00 |
1,33 |
0,36 |
1,00 |
1,76 |
0,80 |
1,33 |
0,6 |
25,2 |
25,2 |
|
|
12 |
5 |
4 |
6,40 |
1,60 |
1,00 |
1,43 |
2,56 |
1,00 |
2,04 |
2,28 |
1,43 |
1,6 |
32 |
25,6 |
|
|
13 |
2 |
5 |
6,30 |
-1,40 |
2,00 |
1,33 |
1,96 |
4,00 |
1,76 |
-1,86 |
2,65 |
-2,8 |
12,6 |
31,5 |
|
|
14 |
3 |
5 |
6,50 |
-0,40 |
2,00 |
1,53 |
0,16 |
4,00 |
2,33 |
-0,61 |
3,05 |
-0,8 |
19,5 |
32,5 |
|
|
15 |
4 |
5 |
7,20 |
0,60 |
2,00 |
2,23 |
0,36 |
4,00 |
4,96 |
1,34 |
4,45 |
1,2 |
28,8 |
36 |
|
|
Итого |
51 |
45 |
74,6 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
13,6 |
30 |
30,82933 |
8,36 |
28,9 |
3 |
262 |
252,7 |
|
|
среднее |
3,4 |
3 |
4,97 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,91 |
2,00 |
2,06 |
0,56 |
1,93 |
0,20 |
|||
По данным таблицы 4 находим:
Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид:
3. Проверим коэффициенты корреляции на значимость с доверительной вероятностью p=0,95, т.е. на уровне значимость ?=1-p=0,05.
Определим случайные ошибки коэффициентов корреляции:
Определяем расчетные значения t-критерия Стьюдента:
По таблице распределения Стьюдента определяем критическое значение t-статистики при ?=1-p=0,05 и числе степеней свободы n-2=15-2=13: tкр=2,16.
Сравнивая расчетные значения t-критерия с критическим значением, делаем вывод, что значимым является только коэффициент парной корреляции ryz, т.к. для него
4. Вычислим индекс множественной корреляции R через стандартизированные ?-коэффициенты множественной регрессии и парные коэффициенты корреляции по формулам:
Индекс множественной корреляции:
Задание 4
Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев.
1 Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.
2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью .
3. Построить коррелограмму.
4. Построить аддитивную модель временного ряда.
Коэффициенты автокорреляции со смещением (лагом) на k периодов находятся по формуле:
1.1. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 1 месяц. Для этого составим расчетную таблицу 5
Таблица 5
|
месяц |
yt |
yt+1 |
yt2 |
y2t+1 |
yt •yt+1 |
|
|
1 |
74,4 |
73,2 |
5535,36 |
5358,24 |
5446,08 |
|
|
2 |
73,2 |
74,3 |
5358,24 |
5520,49 |
5438,76 |
|
|
3 |
74,3 |
79,9 |
5520,49 |
6384,01 |
5936,57 |
|
|
4 |
79,9 |
78,7 |
6384,01 |
6193,69 |
6288,13 |
|
|
5 |
78,7 |
79,7 |
6193,69 |
6352,09 |
6272,39 |
|
|
6 |
79,7 |
84,1 |
6352,09 |
7072,81 |
6702,77 |
|
|
7 |
84,1 |
84,3 |
7072,81 |
7106,49 |
7089,63 |
|
|
8 |
84,3 |
85,4 |
7106,49 |
7293,16 |
7199,22 |
|
|
9 |
85,4 |
89,3 |
7293,16 |
7974,49 |
7626,22 |
|
|
10 |
89,3 |
89,6 |
7974,49 |
8028,16 |
8001,28 |
|
|
11 |
89,6 |
91 |
8028,16 |
8281 |
8153,6 |
|
|
Итого |
892,9 |
909,5 |
72818,99 |
75564,63 |
74154,65 |
|
1.2. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещение на два месяца. Для этого составим таблицу 6
Таблица 6
|
месяц |
yt |
yt+2 |
yt2 |
y2t+2 |
yt •yt+2 |
|
|
1 |
74,4 |
74,3 |
5535,36 |
5520,49 |
5527,92 |
|
|
2 |
73,2 |
79,9 |
5358,24 |
6384,01 |
5848,68 |
|
|
3 |
74,3 |
78,7 |
5520,49 |
6193,69 |
5847,41 |
|
|
4 |
79,9 |
79,7 |
6384,01 |
6352,09 |
6368,03 |
|
|
5 |
78,7 |
84,1 |
6193,69 |
7072,81 |
6618,67 |
|
|
6 |
79,7 |
84,3 |
6352,09 |
7106,49 |
6718,71 |
|
|
7 |
84,1 |
85,4 |
7072,81 |
7293,16 |
7182,14 |
|
|
8 |
84,3 |
89,3 |
7106,49 |
7974,49 |
7527,99 |
|
|
9 |
85,4 |
89,6 |
7293,16 |
8028,16 |
7651,84 |
|
|
10 |
89,3 |
91 |
7974,49 |
8281 |
8126,3 |
|
|
Итого |
803,3 |
836,3 |
64790,83 |
70206,39 |
67417,69 |
|
1.3. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 3 месяца. Составим таблицу 7
Таблица 7
|
yt |
yt+3 |
yt2 |
y2t+3 |
yt •yt+3 |
|
|
74,4 |
79,9 |
5535,36 |
6384,01 |
5944,56 |
|
|
73,2 |
78,7 |
5358,24 |
6193,69 |
5760,84 |
|
|
74,3 |
79,7 |
5520,49 |
6352,09 |
5921,71 |
|
|
79,9 |
84,1 |
6384,01 |
7072,81 |
6719,59 |
|
|
78,7 |
84,3 |
6193,69 |
7106,49 |
6634,41 |
|
|
79,7 |
85,4 |
6352,09 |
7293,16 |
6806,38 |
|
|
84,1 |
89,3 |
7072,81 |
7974,49 |
7510,13 |
|
|
84,3 |
89,6 |
7106,49 |
8028,16 |
7553,28 |
|
|
85,4 |
|
| Контрольная работа | Концепция информатизации Российской Федерации |
| Контрольная работа | Причины агрессивного поведения. Методы работы с агрессивными детьми |
| Контрольная работа | Алгоритм выбора и реализации предпринимательской идеи |
| Контрольная работа | Современные методы арт-терапии |
| Контрольная работа | Системы управления взаимоотношения с клиентами |
| Контрольная работа | Учет материальных затрат в бухгалтерском учете |
| Контрольная работа | Геополитическое положение России |
| Контрольная работа | Особенности вознаграждения работников в организации |
| Контрольная работа | Виды запасов |
| Контрольная работа | Психоанализ |
| Контрольная работа | Стили современного русского литературного языка |
| Контрольная работа | Шляхи енергозбереження в сільському господарстві |
| Контрольная работа | Массовая и элитарная культура |
| Контрольная работа | Свойства дорожных строительных материалов |
| Контрольная работа | Правила машинопису |