Методы и модели в экономике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО Омский государственный технический университет

Кафедра «Экономика и организация труда»

Контрольная раБОтА

по дисциплине «Методы и модели в экономике»

Вариант 28

Выполнил:

студент гр. ЗУТ-217

Чупраков Д. А.

Проверила:

__________ Е. Н. Казанцева

«___» ___________ 2009 г.

Омск 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача №1

1. Составить математическую модель задачи.

Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.

Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?

Решение

Введем переменные , представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.

Поскольку суммарные запасы = 65 (т) и суммарные потребности = 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт потребления . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).

Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы

Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.

Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).

Таблица 2 - Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:

 (т) или = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).

Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (руб.).

Итерация 1.

Шаг 1.1. Вычисление потенциалов

Система для плана имеет вид:

Полагая u₁=0, находим значения всех потенциалов: v₁=20, v₂=10, u₂=-10, v₃= - 25, u₃= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).

Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К₃₁.

И == 10. Составим новый план перевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1. Вычисление потенциалов

Система для плана имеет вид:

Полагая u₁=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).

Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

Так как все оценки ?0, следовательно, план - оптимальный.

Х _оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (руб.).

Ответ: Х _оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.

Задача №2

2. Решить графически задачу: найти экстремумы функции , если , .

Решить симплекс-методом

РЕШЕНИЕ

а) Решим задачу графически при

z = 3x₁ - 2x₂ > max

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1).

Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x₁ - 2x₂ > max

Строим вектор из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) - это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е - это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:

.

б) Решим задачу графически при

z = 3x₁ - 2x₂ > min

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2).

Рис.2. Графическое решение задачи при z = 3x₁ - 2x₂ > min

Строим вектор из точки (0;0) в точку (-3; 2). Точка Е (0;1) - это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е - это точка минимума целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:

.

Ответ: а) Функция z = 3x₁ - 2x₂ > max и равна 21 в точке (7;0).

б) Функция z = 3x₁ - 2x₂ > min и равна - 2 в точке (0;1).

Задача №3

Решить методом потенциалов транспортную задачу, где - цена перевозки единицы груза из пункта в пункт .

Решение

Поскольку суммарные запасы = 35 (ед. груза) и суммарные потребности = 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт производства . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).

Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы

Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).

Таблица 2 - Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:

(ед. груза) или = (5; 5; 0; 0; 0; 3; 7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).

Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (ден. ед.).

Итерация 1.

Шаг 1.1. Вычисление потенциалов

Система для плана имеет вид:

Полагая u₁=0, находим значения всех потенциалов: v₁=6, v₂=8, u₂=2,v₃=11, v₄=16, u₃=8, u₄=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).

Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К₁₄.

И == 5. Составим новый план перевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1. Вычисление потенциалов

Система для плана имеет вид:

Полагая u₁=0, находим значения всех потенциалов: v₁=6, v₂=-6, u₂=-12,v₃=-3, v₄=2, u₃=-6, u₄=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).

Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К₂₁.

И === 2. Возьмем и составим новый план перевозки.

Итерация 3.

Шаг 3.1. Вычисление потенциалов

Система для плана имеет вид:

Полагая u₁=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).

Шаг 3.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 3.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К₄₃.

И == 0. Составим новый план перевозки.

Итерация 4.

Шаг 4.1. Вычисление потенциалов

Система для плана имеет вид:

Полагая u₁=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).

Шаг 4.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 4.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К₃₂.

И == 3. Составим новый план перевозки.

Итерация 5.

Шаг 5.1. Вычисление потенциалов

Система для плана имеет вид:

Полагая u₁=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).

Шаг 5.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

Так как все оценки ?0, следовательно, план - оптимальный.

Х _оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (ден. единиц).

Ответ: Х _оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.