Лекция 13 ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

Лекция 13.



ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

ПЛАН
1. Введение.
2. Теорема Ферма. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.


Решение.

I. ,
II. .
б) Найдем число k:


Лекция 14.



ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ

У. Сойер (английский математик и педагог)

ПЛАН


Рис. 14.1.

Как ведет себя функция в остальных точках мы не знаем, поэтому торопиться с общим графиком не будем. Мы исследуем ее по полной программе, в качестве иллюстрирующего примера.
14.3. Симметрия, точки пересечения с осями координат
За симметрию графика относительно осей или начала координат отвечает четность и нечетность функции.
Функция называется четной, если для нее справедливо равенствои нечетной, если .
Четные функции симметричны относительно оси , нечетные – относительно начала координат, т.е. точки .
Четные функции – это . Нечетные – , .
Полезно помнить, что если в аналитическое выражение функции входит произведение или частное четных и нечетных функций, то можно пользоваться правилом знаков, т.е. произведение (частное) одноименных (либо четных, либо нечетных) функций есть функция четная, разноименных – нечетная.
Поэтому функция – нечетная, т.к. нечетная, – четная, , и ее график симметричен относительно точки . Аналогично – нечетные функции.
К сумме и разности это свойство неприменимо. Функции, не обладающие свойством симметрии, называют функциями общего вида.
Точки пресечения графика с осями координат находятся из решения уравнений: – точки пересечения с осью (их называют корнями), – точки пересечения с осью .
У нечетных функций точка является и корнем и точкой пересечения с осью .
Для нашей функции , если , то , что и следовало ожидать, и других точек пересечения с осями координат нет: . Поэтому ее график будет выглядеть так (рис. 14.2):


Рис. 14.2.

Отысканием корней вы много занимались в школе и мы рассказывали о методе половинного деления (см. лекцию 10), поэтому подробно на этом моменте останавливаться не будем.
14.4. Интервалы возрастания и убывания функции
Определение 14.1. Функция , непрерывная на интервале называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение , т. е. из выполнения неравенства следует выполнение неравенства .
Определение 14.2. Функция , непрерывная на интервале называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение , т. е. из выполнения неравенства следует выполнение неравенства .
Теорема 14.1 (необходимое условие возрастания функции). Пусть функция дифференцируема на отрезке . Для того, чтобы она была всюду возрастающей на этом отрезке необходимо, чтобы ее первая производная была всюду неотрицательна, т.е. .
Доказательство.
Дано: – возрастает на отрезке .
Доказать: (рис. 14.3).


Рис. 14.3

1. Возьмем произвольную точку и дадим аргументу положительное приращение . Тогда и по условию.
2. Рассмотрим отношение приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента :
(нас интересует знак).
3. Найдем предел этого отношения при :
.
Откуда взялся знак равенства? Он возник в точках, где приращение не просто стремиться к нулю, а равно нулю при , как в точке .
Таким образом, необходимое условие возрастания функции доказано. Сформулируем и докажем теперь достаточное условие возрастания функции.
Теорема 14.2 (достаточное условие возрастания функции). Пусть функция дифференцируема на отрезке и ее производная всюду положительна, т.е. . Тогда функция будет всюду возрастающей.
Доказательство.
Дано: на отрезке .
Доказать: – возрастает на этом интервале.
1. Возьмем две произвольные точки: и , где .
2. Рассмотрим разность . Напишем для нее формулу Лагранжа (а вы думали, что мы о ней забудем до экзамена?). Итак, .
3. По условию , и по нашему выбору (см. п. 1), поэтому произведение .
4. Но тогда и (левая и правая части равенства всегда имеют одинаковые знаки), т. е. , что и говорит о возрастании .
Таким образом, необходимое и достаточное условия возрастания функции нами полностью доказаны. Запишем формулировки рассмотренных теорем символически следующим образом:

Вопросы для размышления.
1. Являются ли теоремы 14.1 и 14.2 взаимно обратными? В чем между ними различие?
2. Как изменятся формулировки этих теорем, если мы будем рассматривать не строго возрастающие функции? Можно ли их объединить в одну теорему?
Аналогично доказываются необходимое и достаточное условия убывания функции.
Теорема 14.3 (необходимое условие убывания функции). Пусть функция непрерывна на отрезке . Для того, чтобы она была всюду убывающей на этом отрезке необходимо, чтобы ее первая производная была всюду неположительна, т.е. .
Теорема 14.4 (достаточное условие убывания функции). Пусть функция дифференцируема на отрезке и ее производная всюду отрицательна, т.е. . Тогда функция будет всюду убывающей.
Символически это записать следующим образом:

Напомним, что функция только возрастающая или только убывающая называются монотонными и термин «интервалы возрастания - убывания» – заменятся термином «интервал монотонности».
А теперь, вооруженные признаками для определения интервалов монотонности, а также теоремой Ферма для экстремумов, дадим признаки существования максимума и минимума функции для практического их применения.
14.5. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия
Определение 14.3. Точки, отделяющие интервал возрастания непрерывной функции от интервала убывания (или наоборот) называются экстремумами функции.
В зависимости от того, какие интервалы (возрастания или убывания) находятся слева и справа от экстремальной точки, их называют точками локального максимума или минимума, потому что значение функции в этих точках будут наибольшими или наименьшими только для некоторой их окрестности. Экстремальные точки всегда интересны, ведь они являются точками наивысшего подъема или падения, пусть даже и местного значения.
По теореме Ферма, рассмотренной в лекции 13, производная в этих точках равна нулю, либо не существует. Но как показывают контрпримеры, например функции для равенство нулю производной в точке не гарантирует наличия экстремума – обратная теорема не всегда верна. И смотреть значения функции слева и справа от экстремумов тоже задача хоть и интересная, но иногда затруднительная. Например, как найти значения функции и др. функций, не имея под рукой хорошего калькулятора? Поэтому для нахождения точек экстремумов воспользуемся определением 14.3 и найдем простые, гарантированные признаки, позволяющие определять, как будет вести себя функция вблизи минимума или максимума – возрастать или убывать.
Теорема 14.5 (необходимое и достаточные условия максимума). Пусть функция дифференцируема на отрезке . Для того, чтобы функция в точке функция имела максимум необходимо, чтобы производная в этой точке равнялась (или не существовала) и достаточно, чтобы меняла свой знак с (+) на (–) при переходе через слева направо.
Необходимость следует из теоремы Ферма. Если – точка максимума, то (или не существует).


Рис. 14.4 Рис. 14.5

Достаточность диктуется определением максимума, как точки, отделяющей интервал возрастания от интервала убывания. Слева от функция возрастает, следовательно, ее производная ; справа убывает и , т. е. меняет свой знак в точке . Значит в точке функция имеет максимум.
Аналогично вводится признак существования минимума функции.
Теорема 14.6 (необходимое и достаточные условия минимума). Пусть функция дифференцируема на отрезке . Для того, чтобы функция в точке функция имела минимум необходимо, чтобы производная в этой точке равнялась и достаточно, чтобы меняла свой знак с (–) на (+) при переходе через слева направо (рис. 14.5).
Таким образом, порядок действия нахождения экстремумов функции таков:
1. Находим и решаем уравнение . К корням этого уравнения добавляем точки, в которых производная не существует. Все эти точки являются точками подозрительными на экстремум (критические точки).
2. Определяем знаки вблизи критических точек на всех интервалах непрерывности.
3. Делаем выводы о наличии экстремумов и интервалов возрастания и убывания.
4. Находим ординаты экстремальных точек , где – экстремум.
Обычно все значения знаков сводятся в таблицу (школьный прием) и делаются соответствующие выводы. Не будем ломать стереотип. Добавим только, что исследования необходимо проводить на всех интервалах непрерывности.
Пример 14.1. Определить экстремумы функций:
1) , 2) .
Решение. 1) С первой функцией мы уже знакомы и знаем, что ее ОДЗ являются интервалы . Найдем
.
а) , т. к. , поэтому экстремумов нет.
б) определим знак на каждом из интервалов. Поскольку для любых , то знак будет всегда отрицательным. То есть на всех интервалах непрерывности наша функция будет убывать, что и демонстрирует рис. 14.2.
2) Исследуем вторую функцию по плану., .
а) , .
б) Функция общего вида, т.к. .
в) корни функции: , если , т.е. – корень. Точки пересечения с осью OY: точка .
г) .
, если и , т.е. .
Составим таблицу знаков .
x
знак
Вывод


+
возрастает

–2

максимум


–
убывает


–
убывает



минимум


+
возрастает

Строим схематичный график (рис. 14.6.).


Рис. 14.6

Вот видите, здесь максимальная точка ниже минимальной, поэтому их и не называют наибольшим и наименьшим значениями функции.
14.6. Выпуклость – вогнутость формы графика. Точки перегиба
Посмотрите на графики функций и на рис. 14.7. Они обе возрастают, но характер их возрастания различный: сначала медлит, а потом резко взлетает вверх, – наоборот: сначала взлетает, а потом ее скорость убывает. Различаются графики и по форме. Первый является вогнутым, второй – выпуклым, и это наблюдение связано с интуитивным наблюдением подобных кривых.
Дадим более строгое математическое определение вогнутости и выпуклости формы графика, а затем найдем признаки, по которым будем судить о наличии этих характеристик.
Определение 14.4. График дифференцируемой функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
Определение 14.5. График дифференцируемой функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
Определение 14.6.Точка графика непрерывной функции, отделяющая ее выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба(рис. 14.8).
Точки и – точки перегиба.


Рис. 14.8

Отметим, что условия выпуклости и вогнутости функции на некотором интервале, а также условия существования точек перегиба, формулируются точно также как и условия монотонности функции и существование точек экстремума, но для функции .
Теорема 14.7. (необходимое условие выпуклости функции). Пусть непрерывна вместе со своими производными и до второго порядка включительно на . Для того, чтобы ее график был выпуклым на интервале необходимо, чтобы .
Доказательство.
Для доказательства этого утверждения возьмем любую точку и составим уравнение касательной в этой точке, как уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом равным (рис. 14.9):
.
Возьмем вторую точку (для определенности, хотя может быть и меньше) и найдем разность ординат графика и касательной . Получаем
(14.1)
Применим к выделенной разности теорему Лагранжа:
,
где точка . Подставим получившееся выражение в (14.1):
.
К последней разности еще раз применим теорему Лагранжа и получим:
, (14.2)
где . Учтем, что и , тогда .
По условию теоремы дано: – выпуклый на .
Требуется доказать: .
Так как график функции выпуклый, то любая его касательная лежит выше него, поэтому в равенстве (14.2) левая часть отрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть отрицательной, а это возможно лишь при условии , а в пределе при получим . Что и требовалось доказать.
Теорема 14.8 (достаточное условие выпуклости функции). Пусть непрерывна вместе со своими производными и до второго порядка включительно на . Если , то график функции будет выпуклым на интервале .
Доказательство.
Дано:
Доказать: – выпукла.
Теперь работаем с известной правой частью равенства (14.2). Она отрицательна, т. к. и , поэтому и левая часть должна быть отрицательна, т. е или , что и говорит о выпуклости графика.
Запишем формулировки рассмотренных теорем символически следующим образом:

Необходимый и достаточный условия вогнутости графика формулируется аналогично.
Теорема 14.9 (необходимые условие вогнутости функции). Пусть непрерывна вместе со своими производными и до второго порядка включительно на . Для того, чтобы ее график был вогнутым на интервале необходимо, чтобы .
Теорема 14.10 (достаточное условие вогнутости функции). Пусть непрерывна вместе со своими производными и до второго порядка включительно на . Если , то график функции будет вогнутым на интервале .
Символически эти теоремы можно записать так:

Доказательство этих теорем проведите самостоятельно.
Нахождение точек перегиба основано на следующей теореме.
Теорема 14.11 (необходимое и достаточные условия существования точек перегиба). Пусть функция непрерывна вместе со своими производными и на . Для того, чтобы точка была точкой перегиба, необходимо, чтобы (или не существовала) и достаточно, чтобы меняла свой знак при переходе через .
Этот признак сразу регламентирует порядок действий:
1. Находим .
2. Решаем уравнение и находим точки, подозрительные на точки перегиба. Туда же входят и точки, где не существует.
3. Смотрим знак слева и справа от полученных точек и на всех интервалах непрерывности функции.
4. Делаем выводы об интервалах выпуклости, вогнутости и точек перегиба. Находим ординаты точек перегиба.
Как мы видим, порядок действий аналогичен порядку действий для определения интервалов возрастания, убывания функции и точек экстремумов.
Пример 14.2. Определить интервалы выпуклости – вогнутости и точки перегиба функции .
Решение: Область допустимых значений этой функции
.
Первая производная этой функции была найдена на прошлой лекции:
.
Поэтому продолжаем далее.
1. .
2. , если , . Единственная точка, подозрительная на перегиб, это точка .
3. Рисуем таблицу знаков с учетом интервалов непрерывности и сразу делаем выводы.
x
, знак
вывод


– < 0
выпуклый Ç


+ > 0
вогнутый È



точка перегиба


–
выпуклый Ç


+
вогнутый Ç

Чертим график.


Рис. 14.10

Пример 14.3. Определить интервалы выпуклости – вогнутости и точки перегиба функции .
Решение: Область допустимых значений этой функции

Первая производная этой функции также была найдена на прошлой лекции:
.
Продолжаем далее.
1.
.
2. , точек перегиба нет, т.к. числитель этой дроби отличен от нуля. Поэтому определим знак на интервалах непрерывности.
кривая выпукла,
, кривая вогнута.
График этой функции был приведен на прошлой лекции (рис. 14.6).
14.7. Асимптоты функции
С понятием асимптоты, т. е. прямой, к которой стремятся точки графика функции при неограниченном удалении от начала координат, мы знакомились на примере гиперболы (см. тему «Аналитическая геометрия»). Поскольку любая прямая в декартовой системе координат может быть либо параллельна осям координат, либо наклонена под произвольным углом к оси , то и асимптоты могут быть горизонтальными, вертикальными и наклонными (рис. 14.11).


Рис. 14.11

Проще всего найти вертикальнуюасимптоту. Она, как правило, присутствует в точках разрыва 2-го рода, где один или оба односторонние предела не существуют, т. е. . Это точки, где знаменатель обращается в нуль или граничные точки области определения функции.
Например, функция имеет 2 точки разрыва 2-го рода: и . Подробно ее поведение мы обсудили в примере 14.3. Односторонние пределы равны , поэтому делаем вывод, что прямые и являются вертикальными асимптотами.
Функция имеет одну точку бесконечного разрыва: , поэтому прямая – вертикальная асимптота. Функция при имеет множество точек разрыва 2-го рода , где и, следовательно, столько же вертикальных асимптот. Вспомните график тангенсоиды, и вам все станет понятным.
Функция имеет одну точку, подозрительную на разрыв: . В ней и знаменатель обращается в нуль и . То есть . Действительно прямая , т.е. ось , будет левосторонней (располагающейся слева от графика) асимптотой (рис. 14.12).


Рис. 14.12

Практически также просто определить наличие горизонтальнойасимптоты. Если функция при имеет предел, равный числу , то прямая является горизонтальной асимптотой.
Например: функция имеет горизонтальную асимптоту, т.к. , т. е. при прямая служит нижней горизонтальной асимптотой, график функции располагается выше оси . Если , то ось является верхней горизонтальной асимптотой, т.к. (рис. 15.4).
Функция не имеет горизонтальной асимптоты, т. к. .
И, наконец, функция при также имеет горизонтальную асимптоту (верхнюю или нижнюю?).
Определить характер стремления к своей асимптоте проще всего, найдя предел разности . Если он больше нуля, то асимптота проходит выше графика функции, меньше – ниже.
Именно этот прием – нахождения разности между точками, лежащими на прямой и графиком функции , – лежит в основе определения параметров наклонной асимптоты.
На рисунке 14.13 приведен график функции , имеющий наклонную асимптоту. Это значит, что разность стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат, т. е. при . Пусть уравнение асимптоты записано в виде , функции .
Найдем указанную разность значений при одинаковых значениях аргумента :
. (14.3)
При эта разность должна стремиться к нулю, т. е.
. (14.4)
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела. Вынесем за скобки, получим:
.
Для того, чтобы это произведение было равно нулю, необходимо чтобы хотя бы один сомножитель был равен нулю. Т.к. , то только . Но , поэтому остается , откуда
. (14.5)
Вернемся к равенству (14.4). Найдем из него , помня, что предел постоянной равен самой постоянной:
, (14.6),
где находится по формуле (14.5).
Если хотя бы один из этих пределов не существует – график функции наклонной асимптоты не имеет. Очевидно, что по тем же формулам можно найти наклонные асимптоты и при , причем случается, что они не совпадают.
Пример 14.4. Определить, будет ли функция иметь наклонную асимптоту.
Решение: Воспользуемся формулами (14.5) и (14.6)
,
.
Таким образом, прямая является наклонной асимптотой при .
Для правильного построения графика функции и асимптоты найдем разность при .

То есть, если , то асимптота располагается выше графика функции, если , то ниже.
Строим график, учитывая все предыдущие исследования.


Рис. 14.14

14.8. Пример исследования функции
Для закрепление этого большого материала проведем полное исследование функции по плану, означенному в начале лекции:
.
1. Область определения функции: , точек разрыва нет.
2. Симметрия: , т. е. данная функция нечетная, проходит через точку , и имеет корни, которые можно найти решив уравнение, . Решим это уравнение графически . Построим график функции и . Если они пересекутся – то исходная функция имеет корни. График функции получается симметричным отражением графика относительно прямой . Прямую построим по точкам.





0,5


Рис. 14.15

Как видно из рис. 14.15 эти два графика пересекаются в точках и , то есть корни функции лежат в этих интервалах. Более точно найти корни можно при помощи метода половинного деления (см. лекцию 10).
3. Экстремумы, интервалы возрастания – убывания.
.
Тогда , если , т.е. если и . Определим знак на каждом из интервалов . Данные сведем в таблицу
, интервал
, знак
вывод


+
возрастает



максимум
0,57

–
убывает



минимум
–0,57

+
возрастает

Найдем значения исходной функции в экстремальных точках и начертим первый «прибросочный» график (рис. 14.16).
,
в силу симметрии.


Рис. 14.16

4. Точки перегиба, интервалы выпуклости вогнутости.
Найдем
.
Тогда , если .
Составим таблицу знаков для , которая подтверждает наш рис. 15.9.


Вывод


–
выпуклая



точка перегиба


–
вогнутая


5. Найдем наклонные асимптоты функции, так как ни вертикальной ни горизонтальной она иметь не может (почему?), причем учтем, что их в силу симметрии будет две. Итак, найдем и для уравнения .
,
.
Здесь мы учли, что . То есть прямая является правосторонней наклонной асимптотой .
Если , то коэффициент не изменится, а станет равным , потому что . Левосторонняя асимптота имеет вид . Начертим общий график (рис. 14.17).



Рис. 14.17

14.9. Заключение
На этом мы закончим тему «Исследование функции методами дифференциального исчисления». Этот материал вам необходим для решения соответствующей задачи контрольного задания.
Следующий материал поможет вам в практической работе при исследовании функций, заданных таблично или графически.




Лекция 15.



ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ К ЭКОНОМИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

Ни одно человеческое исследование не может называться наукой, если оно не прошло через математические доказательства.

Леонардо да Винчи

ПЛАН
1. Экономический смысл производной.
2. Эластичность. Задача о спросе и предложении


Рис. 15.1

2. Точки пересечения с осью абсцисс найти легко – это точки, где у = 0 или меняет свой знак. В нашем случае это июнь, и промежутки сентябрь – октябрь, ноябрь – декабрь. Эти точки называются корнями функции. Точки пересечения с осью ОY специального названия не имеют. В экономических таблицах – это остаток на 1 января, плановая составляющая на каждый месяц, либо другая информативная цифра, с которой в дальнейшем идет сравнение.
3. Интервалы возрастания-убывания и точки экстремумов. Напомним, что функция называется возрастающей, если большему значению Х соответствует большее значение Y и убывающей в противном случае. Точки, отделяющие интервал возрастания от интервала убывания называются точками максимума, и минимума, если они разделяют убывание от возрастания. Для простого ответа на этот вопрос достаточно внимательно посмотреть на таблицу. Для более детального используем численную производную , где Dx – приращение аргумента и Dy – приращение функции. Его находят как разность значений, стоящих в соседних клетках. Их называют разностями первого порядка, а экономисты – абсолютным или цепным приростом. Если разности положительны, то и прирост – тоже, и функция будет возрастающей. Если разности отрицательны, то убывающей. Если прирост разделить на время – получим скорость прироста за месяц, квартал, год, день. Это и будет первая производная.
В нашем случае с января по февраль наблюдалось возрастание прибыли, с апреля по июнь – убывание, с июня по август – также незначительное возрастание, а потом – провал, хотя в декабре удалось «выйти в плюс». Наиболее удачным месяцем был февраль – максимальная прибыль, наиболее неудачным – ноябрь, где был минимум объема выпуска продукции.
4. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба характеризуют ускорение процесса. За них отвечает вторая производная, и, следовательно, вторые конечные разности. Если первые разности оценить легко, то для вторых необходим дополнительный расчет, результаты которого желательно свести в таблицу.
Рассмотрим следующий пример, в котором будем использовать как привычные для экономистов оценки, так и численные производные.
Пример 15.6. Предприятие по плану выпускает продукцию на 600 млн. руб. в год. Плановый показатель определен как 50 млн. руб. в месяц. Фактический объем продукции составил 621,65млн. руб. Данные по факту выпускаемой продукции приведены в таблице. 1) Рассчитать процент выполнения плана по месяцам, кварталам, году. 2) Сделать вывод, какой период оказался наиболее успешным и какой – неудачным.

Решение.

Таблица. Объем выпуска продукции за 20008 год.
Месяц










… Начертим график этих данных и выведем плановую цифру 50 на начало января, т.е.…

Рис 15.2

О чем говорит полученная информация? Ответим согласно условию задачи. Процент выполнения плана (пятая строка) вычислялся из пропорции

Откуда , где а – число во второй строке таблицы. Так, в январе процент выполнения плана составил 35,3 100% : 50 = 70,6%, в феврале 56·100% : 50 = 113,4% и так далее. Последняя цифра 103,6% показывает среднегодовое выполнение плана. Ее можно рассчитать как среднее значение помесячных данных, или по той же пропорции:

Результат получится одинаковым.
Ответ на второй вопрос тоже очевиден: наиболее успешным был период с февраля по июнь, «провальным» – август-ноябрь.
А теперь проанализируем данные третьей и четвертой строки таблицы. Первая разность характеризует цепной прирост и говорит, на сколько изменился показатель за месяц. Положительные приросты говорят о положительной динамике процесса, т.е. о возрастании объема выпуска продукции. Этому условию отвечают данные с первого по пятый месяц. С пятого по десятый месяцы наблюдался стойкий спад, их приросты всюду отрицательны, и только в декабре предприятию удалось выйти на плановый показатель. Наибольшую скорость возрастания имел февраль 21,4 млн. руб./мес., наименьшую – апрель, когда начался спад.
О чем говорит содержимое четвертой строки? Об ускорении процесса. Несмотря на фиксируемый подъем в начале года, уже к марту наблюдалось замедление скорости прироста – вторые разности становятся отрицательными, и такая картина продержалась до сентября. Именно тогда ускорение сменило знак с отрицательного на положительный, и предприятие стало медленно, но верно выползать из «нижней» зоны, хотя на первый взгляд данных для оптимизма не было. Эта точка называется точкой перегиба, начиная с которой, как говорят политики, «можно увидеть свет в конце туннеля» и делать осторожные прогнозы относительно последующего хода событий.
Такие чисто экономические показатели как темп роста и темп прироста показывают во сколько раз данная цифра отличается от предыдущей или плановой.
Так «работают» первая и вторые производные в экономических задачах.


Лекция 16.



ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ


ПЛАН
1. Введение.


Рис. 16.1

В разделе «Аналитическая геометрия» мы также изучили кривые второго порядка – окружность, эллипс, гиперболу и параболу. В трехмерном пространстве они перешли в сферу, эллипсоид, гиперболоид (однополостный и двуполостный) и параболоид. В сечении этих тел плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются все те же окружность, эллипс и т.д. Но на этом дело не закончилось. Кривые, вырвавшись в трехмерное пространство, создали эллиптический гиперболоид, гиперболический параболоид, конические и цилиндрические поверхности. Перечень поверхностей второго порядка и их графики приведены в приложении 1. Вглядитесь в их уравнения и постарайтесь понять логику их названий.
Как и в случае одной переменной, функция двух переменных существует не при любых значениях х и у.
Определение 16.2. Совокупность пар значений (х, у), при которых определяется функция , называется областью определения или областью существования этой функции.
Область определения наглядно иллюстрируется геометрически, как совокупность точек, принадлежащих плоскости ХОY. Именно она называется областью определения функции. В дальнейшем мы будем рассматривать области, ограниченные некоторыми линиями. Эти линии называются границами области. Точки, не лежащие на границе, называют внутренними точками области. Область, состоящая только из внутренних точек, называется незамкнутой, или открытой. Если к области относятся и точки границы, то ее называют замкнутой. Область называется ограниченной, если существует такое положительное число С, что расстояние любой точки плоскости от начала координат О(0,0) меньше С, т.е. .
Пример 16.1. Найти область определения функции .
Решение. Для того чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т.е. х и у должны удовлетворять неравенству
, или .
Все точки, удовлетворяющие этому неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга (рис. 16.2).


Рис. 16.2 Рис. 16.3

Пример 16.2. Найти область определения функции .
Решение Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно выполняться неравенство , или . Ему подчиняются точки, лежащие выше прямой , не включая саму прямую (рис. 16.3).
Аналогично вводятся определения функции трех, четырех и большего числа переменных и области их допустимых значений. Так, для функции трех переменных областью определения может служить некоторое объемное тело, ограниченное или неограниченное. Для функции четырех переменных такой геометрической интерпретации уже не существует. В общем виде функция п переменных записывается так: и область ее определения находится по общим правилам.
16.3. Приращения функции: частное и полное
Рассмотрим функцию , определенную в некоторой области D плоскости ХOY. Поскольку х и у независимые переменные, они могут получать приращения независимо друг от друга. В зависимости от полученных приращений приращения будут отличаться друг от друга.
Так, если переменная х получает приращение и становится равной , а переменная у остается постоянной, то приращение функции
(16.3)
называется частным приращением функции по переменной х и обозначается символом .
Если функция получает приращение только по переменной у , а х остается постоянным, то его называют частным приращением по переменной у и обозначают символом
. (16.4)
Полное приращение функции, связанное с приращением обоих аргументов, определится из формулы
. (16.5)
Будет ли верно равенство , т.е. равна ли сумма частных приращений полному приращению функции? Рассмотрим это на примере.
Пример 16.3. Найти полное и частные приращения функции при переходе от точки М(1; 2) в точку K(1,2; 2,3), если .
Решение. Приращения аргументов находятся как разность значений конечной и начальной точек: и . Найдем все приращения по формулам (16.3 - 5):
;
;
.
Видно, что , т.е. полное приращение функции в общем случае не равно сумме её частных приращений.
Понятие приращений функции тесно связано с понятием предела функции в точке. В лекции 9 мы рассматривали предел функции одной переменной и говорили, что число А называется пределом функции в точке , если для любого заданного числа найдется такое , что все значения функции у попадут в d-окрестность прямой , как только аргумент х попадет в e-окрестность точки . Логично предположить, что и предел функции двух переменных будет вводится так же, но под e-окрестностью точки понимается не интервал (, а совокупность точек, удовлетворяющих условию и лежащих внутри круга радиуса с центром в точки .
Определение 16.3. Число А называется пределом функции при стремлении точки М к точке , если для любого числа найдется такое число , что для всех точек из круга выполняется неравенство , или в символической записи:
.
Определение 16.4. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, и имеет предел, равный значению функции в этой точке, т.е. , при стремлении к точке произвольным образом.
На языке приращений то же определение звучит так:
Определение 16.5. Функция называется непрерывной в точке если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е.
,
или
.
Если хотя бы одно из требований этих определений не выполнено – функция называется разрывной в рассматриваемой точке, однако классификация этих разрывов сложнее, чем для функции одной переменной.
Свойства непрерывных функций одного аргумента переходят на функцию двух и большего числа переменных:
1. Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то внутри этой области найдется хотя бы одна точка, в которой функция будет достигать своего наибольшего М и наименьшего m значения (теорема о наибольшем и наименьшем значениях).
2. Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D и если М и m ее наибольшее и наименьшее значения, то для любого найдется такая точка , значение в которой будет равно (теорема о промежуточных значения).
3. Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D и принимает как положительные так и отрицательные значения, то внутри этой области найдется хотя бы одна точка такая, в которой функция будет равна нулю (теорема о корнях функции).
16.4. Частные производные первого порядка
В предыдущем параграфе мы выяснили, что функция двух переменных имеет различные частные приращения. Очевидно, что и производные функции, определяющие скорость изменения функции по разным аргументам, будут также отличаться друг от друга.
Определение 16.6. Частной производной по х от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении последнего к нулю.
Частная производная по х обозначается одним из символов
, , .
Согласно определению
. (16.6)
Определение 16.7. Частной производной по у от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении последнего к нулю.
Частная производная по у обозначается символами
, , , .
Согласно определению
. (16.7)
Из этих определений сразу следует правило, по которому следует вычислять частную производную.
Правило вычисления частной производной. Частная производная вычисляется от функции по переменной х в предположении, что у – постоянная. Частная производная вычисляется по переменной у в предположении, что х – постоянная.
При вычислении частных производных работают все приемы вычислений производных сложных функций (вспомним правило цепочки).
Пример 16.4. Вычислить частные производные функции
Решение.
– здесь играет роль постоянного множителя,
– в данном случае числовой множитель, а производную от вычисляем «по цепочке».
Пример 16.5. Вычислить частные производные функции .
Решение.
, потому что у равен постоянной, и мы использовали формулу производной степенной функции .
, потому что , и мы используем формулу производной показательной функции .
Пример 16.6. Вычислить частные производные функции трех переменных .
Решение.
, , .
Механический или кинетический смысл частных производных остается прежним: они характеризуют скорость изменения функции по переменным х и у отдельно. С геометрией чуть сложнее. Для функции одной переменной производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси OХ.
Для функции двух переменных касательная «переходит» в касательную плоскость к поверхности, определяемой уравнением . Любая прямая, проходящая через точку касания, и лежащая в этой плоскости, будет касательной к поверхности. Выберем из них такую, чтобы ее проекция на плоскость ХОY была параллельна оси ОХ. В этом случае у будет величиной постоянной и тангенс угла наклона этой касательной к положительному направлению оси ОХ будет равен частной производной . Если рассмотреть другую касательную, проекция которой на плоскость ХОY параллельна оси ОY, то в этом случае х будет постоянной. Тангенс угла наклона этой касательной к положительному направлению оси ОY будет равен значению частной производной в данной точке (рис. 16.4).


Рис. 16.4

Для функций, содержащих большее число переменных, геометрическую интерпретацию частных производных дать нельзя.
16.5. Дифференциал
Возникает вопрос, а не существует ли одной, общей производной для функции двух или больше аргументов? Нет, не существует. Но общее изменение функции можно охарактеризовать с помощью полного дифференциала , как главной части приращения функции. Для функции одной переменной дифференциал равен . Для функции двух переменных логично ожидать сумму «частных дифференциалов». Строгое доказательство этого утверждения можно найти в рекомендуемой литературе. Мы ограничимся определением и покажем его применение для решения задач.
Определение 16.8 . Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными по х и у. Полным дифференциалом называется сумма произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных, т.е.
. (16.8)
Это выражение является аналогом формулы для дифференциала функции одной переменной. Добавлено новое слагаемое, и простая производная функции по одной переменной х заменена частными производными по х и у. Для функции трех переменных будет тройная сумма.
Напомним, что дифференциал функции приближенно равен ее приращению: . Поэтому значение функции в точке можно определить из приближенного равенства:
, (16.9)
где dx и dy – приращения аргументов х и у соответственно.
Пример 16.7. Найти полный дифференциал и полное приращение dz и для функции , если , , , .
Решение. Найдем значения
(3 и .
по таблице логарифмов или при помощи калькуляторов. Определим приращение функции
.
Найдем дифференциалы аргументов:
, .
Тогда
,

и, окончательно, получаем
.
Сравним приращение и дифференциал .
Приближенно оценим значение по формуле (16.9):
.
Найдем относительную погрешность вычислений:
,
что говорит о достаточной степени точности проведенных вычислений.
В разных точках функция имеет различные значения частных производных, поэтому дифференциалы будут разными. По ним можно судить о степени возрастания и убывания функции.
16.6. Градиент
Вопрос о существовании единой производной для функции двух переменных не переставал волновать пытливое человечество. Но переменные х и у не могли объединиться, поэтому задачу сформулировали по-другому: если в каждой точке функция меняется по двум и больше аргументам, то в каком направлении ее изменение будет наибольшим?
Направление, как известно, задается вектором. В общем виде вектор может быть записан так:, где – координаты вектора в декартовом базисе, |– модуль вектора,
, ,
– направляющие косинусы, сумма их квадратов равна единице. Это координаты единичного направляющего вектора для вектора . Его употребляют в вычислениях, когда важно именно направление, а не длина вектора.
Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой области D и точке , принадлежит этой функции. Проведем из точки М вектор . Выражение вида
(16.10)
называется производной функции в направлении вектора . Она позволяет найти скорость измененияданной функции в направлении вектора .
Рассмотрим вектор, координаты которого равны частным производным функции в некоторой точке . Этот вектор называется градиентом функции в данной точке.
. (16.11)
Сравнение этих формул показывает, что производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно модулю градиента в данной точке. Поэтому вектор градиент показывает направление наибольшего возрастания функции в данной точке, а его модуль – скорость наибольшего возрастания.
Пример 16.8. Дана функция . Найти производную в точке М(1, 1, 1) в направлении вектора и вектора градиента. Сравнить скорости изменения функции в этих направлениях.
Решение. Для того, что бы найти производную в направлении вектора, найдем вначале его модуль и направляющие косинусы.
, , , .
Найдем частные производные данной функции в точке :
, , .
Производная функции в направлении вектора :
.
Составим вектор градиент по найденным частным производным в точке М и найдем его модуль:
,
,
что и следовало ожидать.
Если функция есть функция двух переменных, то вектор

в точке лежит в плоскости ХОY и перпендикулярен проекции сечения поверхности плоскостью , параллельной плоскости ХОY. (рис. 16.5).


Рис. 16.5

16.7. Заключение
Сделаем первые выводы по этой теме.
1. Закон изменения одной переменной U в зависимости от двух и более независимых друг от друга переменных х, у и т.д. называется функцией многих переменных.
2. Изменения U по разным переменным различаются друг от друга и характеризуются частными производными. Частные производные показывают скорость изменения в своем направлении.
3. Скорость изменения в произвольном направлении характеризуется производной по направлению вектора .
4. Направление, в котором скорость имеет наибольшее значение, задается вектором, имеющим специальное название градиент. Его координаты равны значению частных производных в данной точке, а модуль – скорости изменения.



Лекция 17.



ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ЭКСТЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ


ПЛАН
8. Введение.


Рис. 17.1 Рис. 17.2

Функция имеет максимум в точке (0,0), причем (рис. 17.2).
Кроме того, существуют такие точки, где функция по одной переменной имеет минимум, а по другой переменной – максимум. Их называют точками минимакса (рис. 17.3), или седловыми, точками. Они особенно интересны экономистам, если в качестве определяющих переменных служат затраты Х (ден.ед) и прибыль Y (ден.ед.). Ясно, что нужно искать такие точки, в которых затраты были бы минимальными, а прибыль – максимальной.


Рис. 17.3

Но чаще всего определить экстремальную точку бывает затруднительно, поэтому, как и для функции одной переменной введем необходимый и достаточный признаки, позволяющие определять координаты и характер экстремума, не производя лишних вычислений.
Теорема 17.1 (необходимое условие экстремума). Если функция достигает экстремума при , то каждая частная производная первого порядка в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Для достаточного признака существования экстремума введем дополнительные обозначения:
, , ,
. (17.1)
Теорема 17.2. Пусть функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, и точка является критической, т.е. . Тогда в этой точке:
1. имеет максимум, если и ;
2. имеет минимум, если и ;
3. не имеет ни максимума ни минимума, если . Возможен минимакс;
4. если , то нужны дополнительные исследования.
Доказательство этих теорем выходит за рамки нашего курса. Его можно найти в рекомендуемой литературе.
Оба признака регламентируют порядок действия для отыскания экстремальных точек.
1. Находим частные производные первого порядка и из системы уравнений:

находим координаты критических точек.
2. Находим частные производные второго порядка и их значения в критических точках.
3. Составляем определитель по формуле 17.1 и делаем вывод о характере экстремума.
4. Находим аппликату экстремальной точки.
Пример 17.4. Исследовать на максимум и минимум функцию
.
Решение. Следуем по плану.
1. Находим частные производные и приравниваем их к нулю:

Решая систему уравнений, находим , .
2. Находим частные производные второго порядка:
, , .
3. Составляем определитель
.
Следовательно, функция в точке (4/3 ,1/3) имеет минимум, т.к. .
4. .
Таким образом, точка минимума имеет координаты (4/3 , 1/3, –4/3).
Пример 17.5.Исследовать на максимум и минимум функцию
.

Решение.


Откуда получим две критические точки и .
2. Производные второго порядка:


Таблица 17.1




…




…

Требуется построить кривую, наилучшим образом описывающую эти данные. Она может быть любого вида – прямая, гипербола и т.д. Остановимся на простейшем – прямой, уравнение которой запишем в виде .
Рассмотрим сумму квадратов разностей значений по формуле (17.2):
. (17.3)
Подберем параметры а и b так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение – то есть решим задачу из п. 17.3. На основании теоремы 17.1 следует, что частные производные функции S(a,b) по параметрам а и b должны быть равны нулю. Учтем, что функция S(a,b) сложная, поэтому сначала берем производную от квадрата, а потом от суммы:
(17.4)
Сократим оба уравнения на 2 и запишем их в виде системы уравнений.
(17.5)
Эта система всегда имеет решение. Для удобства ее решения в таблицу опытных данных добавим столбцы , , а также строку для записи соответствующих сумм.
Пример 17.7. В результате опыта получены следующие данные:
№






0,25
2,57
0,6425
0,0625
0,0049

0,37
2,31
0,8547
0,1369
–0,0116

0,44
2,12
0,9328
0,1936
0,0171

0,55
1,92
1,0560
0,3025
–0,0362

0,60
1,75
1,050
0,3600
0,0186

0,62
1,71
1,0602
0,3844
0,0125

0,68
1,60
1,088
0,4624
–0,0157

0,70
1,51
1,0570
0,4900
0,0282

0,73
1,50
1,0950
0,5329
–0,0237

0,75
1,41
1,0575
0,5625
0,013
Сумма
5,69
18,4
9,8937
3,4877
0,0001
Для нахождения коэффициентов а и b подставим в систему (17.5) найденные значения сумм и получим следующее:

Решим ее любым способом и найдем значения
а = –2,3038 и b = 3,1508.
Таким образом, искомое уравнение связи между у и х будет иметь вид
.
Построим полученную прямую (рис. 17.5).


Рис. 17.5

Для проверки правильности подобранных коэффициентов составляем разности между расчетными и табличными значениями у. Покажем, как это делается.
Если х = 0,25, то
, .
Если х = 0,37, то
,
и т.д.
Суммарная ошибка отлична от нуля в четвертом знаке после запятой, а исходные данные имели два знака, поэтому в условиях нашего опыта можно считать, что ошибка приближения практически равна нулю.
Если за аппроксимирующую функцию взят трехчлен второй степени
, (17.6)
то выражение (17.3) запишется в виде
, (17.7)
а соответствующая система (17.4) будет иметь три уравнения с тремя неизвестными a,b,c
Сейчас подбор вида и коэффициентов соответствующей функциональной зависимости можно осуществить на компьютере. В основе практически всех программ и «Exсel» и «Статистика» лежит проверенный метод наименьших квадратов.
На этом мы заканчиваем тему «Функции многих переменных». Последняя лекция проиллюстрировала всеобщий закон развития: количество рождает новое качество. Две независимые переменные привели две частных производных первого порядка и четыре – второго. Появились чистые и смешанные производные высших порядков, производная по направлению и градиент. К привычным со школы минимуму и максимуму присоединился минимакс. О, сколько нам открытий чудных …. И это – правда. Готовит.


Счастливой сдачи экзамена по высшей математике!




ЛИТЕРАТУРА


1. Высшая математика для экономистов. /Под ред. Н.Ш. Кремера. М: ЮНИТИ, 2002.
2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М: ИНФРА-М, 1999.
3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. В 2-х ч. М: Финансы и статистика, 2000.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1,2.- Спб.: Мифрил, 1996.
5. Шипачев В.С. Высшая математика. М: Высш. шк., 1998.
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М: Высш. шк., 1996.
7. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т.: Учеб. пособие. Мн: ТетраСистемс, 1998.



ПРИЛОЖЕНИЕ



Поверхности второго порядка