Кодирование целых чисел, имеющих знак, можно осуществить двумя способами. В первом варианте один (старший) разряд машинном слове отводится для записи знака числа; при этом условились кодировать знак «+» нулем, знак «-» - единицей. Под запись самого числа, очевидно, остается 15 двоичных разрядов, что обеспечивает наибольшее значение числа Zmax = 215 - 1 = 3276710. Такое представление чисел называется прямым кодом. Однако его применение усложняет порядок обработки чисел; например, операция сложения двух чисел с разными знаками должна быть заменена операцией вычитания меньшего из большего с последующим присвоением результату знака большего по модулю числа. Другими словами, операция сопровождается большим количеством проверок условий и выработкой признаков, в соответствии с которыми выбирается то или иное действие.
Альтернативным вариантом является представление чисел со знаком в дополнительном коде. Идея построения дополнительного кода достаточно проста: на оси целых положительных чисел, помещающихся в машинное слово (0 ÷ 65535), сместим положение «О» на середину интервала; числа, попадающие в первую половину (0 ÷ 32767) будем считать положительными, а числа из второй половины (32768 ÷ 65535) - отрицательными. В этом случае судить о знаке числа можно будет по его величине и в явном виде выделение знака не потребуется. Например, 1000000000000012 = 3276910 является кодом отрицательного числа, а 0000000000000012 = 110 - кодом положительного. Принадлежность к интервалу кодов положительных или отрицательных чисел видна по состоянию старшего бита - у кодов положительных чисел его значение «0», отрицательных - «1». Это напоминает представление со знаком, но не является таковым, поскольку используется другой принцип кодирования. Его применение позволяет заменить вычитание чисел их суммированием в дополнительном коде. Убедимся в этом чуть позднее после того, как обсудим способ построения дополнительного кода целых чисел.
Дополнением (D) k-разрядного целого числа Z в системе счисления р называется величина D(ZP, k) = pk - Z.
Данную формулу можно представить в ином виде: D(ZP, k) = ((pk - 1) - Z) + 1. Число pk - 1 согласно (4.8), состоит из k наибольших в данной системе счисления цифр (р - 1), например, 999910, FFF16 или 11111112. Поэтому (pk - 1) - Z можно получить путем дополнения до р-1 каждой цифры числа Z и последующим прибавлением к последнему разряду 1.