Определение. Группой называется непустое множество, в котором для любых двух элементов определен элемент (произведение), причем:
1) ;
2) ;
3) .
Примеры групп:
1) - невырожденные матрицы размера с комплексными коэффициентами – группа относительно операции умножения матриц;
2) - целые числа – группа относительно операции сложения целых чисел;
3) Группа диэдра :
Рассмотрим на плоскости ортонормированный базис, приведем окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Впишем в нее правильный -угольник, одна из вершин которого находится в конце вектора . - это все движения плоскости, переводящие этот -угольник в себя.
Убедимся в том, что это множество будет группой относительно композиции движений:
1) композиция движений ассоциативна;
2) в качестве единичного элемента можно взять тождественное движение;
3) в качестве обратного элемента можно взять обратное движение.
Рассмотрим эту группу более подробно. При любом таком движении центр -угольника остается на месте, следовательно, это ортогональное преобразование плоскости, т.е. либо поворот на некоторый угол, либо симметрия относительно некоторой прямой.
Т.к. при повороте вершина должна перейти в какую-то вершину, то поворот может быть только на угол , где . Обозначим матицу поворота на угол за . В качестве симметрии подходит, например, симметрия относительно оси , матрица такого преобразования .
Теорема. Группа состоит из элементов, а именно и .
Доказательство.
Как уже говорилось, поворот может быть только на угол , где . Запишем матрицу такого поворота: , но ни что иное как . Следовательно - это все повороты, входящие в группу .
Пусть теперь - это какая-нибудь симметрия из группы . Тогда тоже принадлежит этой группе, причем это ортогональная матрица и ее определитель равен . Следовательно, это поворот, т.е. . Т.к. , то , следовательно, все симметрии из - это .
Мы доказали, что группа не содержит ничего кроме элементов , докажем теперь, что все эти элементы различны. Все элементы различны, т.к. это повороты на разные углы. Если , то , что невозможно. Если , то , а мы уже доказали, что это невозможно.
И последнее утверждение теоремы. - это поворот на угол , т.е. тождественное движение. Т.к. , то это симметрия относительно некоторой прямой, но симметрия в квадрате это всегда тождественное движение, следовательно, .
Упражнение. Доказать, что .
4) приведем пример еще одной группы – группы кватернионов . Рассмотрим матрицы .
Упражнение. Доказать, что , , , . Доказать, что матрицы образуют группу относительно операции умножения матриц.
Упражнение. Докажите, что в любой группе единичный элемент определен однозначно и для любого элемента обратный элемент также определен однозначно.
Определение. Порядком группы называется количество элементов в группе, обозначается .
Упражнение. Рассмотрим группу - невырожденные матрицы над полем из элементов. Доказать, что ее порядок равен .
Определение. Пусть - группа. Непустое подмножество в называется подгруппой, если 1) ;
2) .
Замечание. Единичный элемент всегда принадлежит любой подгруппе. Т.к. непустое, то там есть хотя бы один элемент . По свойству 2) , по свойству 1) .
Упражнение. Докажите, что в любой группе пересечение любого числа подгрупп тоже будет подгруппой.
Примеры подгрупп:
1) Группа . Ее подгруппы: ; - вещественные матрицы с определителем единица; ; - унитарные матрицы; - унитарные матрицы с определителем единица; - ортогональные матрицы; ; (; - подгруппы в группе );
2) - группа подстановок. (четные подстановки) – подгруппа. В частном случае, если множество также будет подгруппой;
3) - группа ненулевых комплексных чисел относительно умножения. Ее подгруппы: - единичная окружность; - корни из единицы.
Определение. Пусть - элемент группы и - целое число, тогда .
Теорема. Если , то и .
Упражнение. Докажите теорему.
Определение. Пусть . Порядком элемента (обозначается или ) называется наименьшее натуральное такое, что . Если такого числа не существует, то элемент имеет бесконечный порядок.
Упражнение. Найдите порядок элемента .
Предложение. Пусть . Для целого числа следующие условия эквивалентны:
1) ;
2) .
Доказательство.
. Пусть , , тогда .
. Пусть , где , тогда . Следовательно , т.к. иначе имели бы . Следовательно . .