Векторные обозначения. И промышленное сырье, и изделия из него являются товарами, и как всякие товары описываются парой взаимосвязанных величин количеством q от quantity и ценой p от price. Поэтому описание производства как преобразования сырья в изделия имеет дело с двумя их связанными парами количествами и ценами сырья, и количествами и ценами изделий.
Для удобства различения этих величин те из них, которые относятся к сырьевым или первичным товарам, мы будем снабжать первым значком 1, а относящиеся к производимым или вторичным товарам - значком 2, например q 1 и p1, q 2 и p2 . При использовании m видов сырья для производства n видов изделий m, n 1, 2 как их количества, так и цены становятся многокомпонентными или векторными величинами. В матричном исчислении их представляют одностолбцовыми или однострочными матрицами, различение которых связано с несимметричностью закона матричного умножения по правилу строка на столбец.
Нам будет удобно первые значки количественным векторам приписывать сверху и их составляющие q 11 q 1m и q 21 q 2n в матричном представлении записывать в виде одностолбцовых m 1 и n 1 матриц соответственно q 1 q 11 q 1m q 2 q 21 q 2n а те же первые значки ценовым векторам мы будем приписывать снизу p1 и p2 , и их составляющие p1 1 p1 m и p2 1 p2 n записывать в виде однострочных 1 т и 1 n матриц р1 p1 1 p1 m р2 p2 1 p2 n. Имеющие одни и те же пространственные размерности количественный и ценовый векторы одного и того же наборов товаров мы будем называть взаимно-двойственными векторами.
Они обладают тем свойством, что их матричное произведение по правилу строка на столбец, например p1 q 1 p1 1 p1 m q 11 q 1m p1 1 q 11 p1 m q 1m p1 , q 1 , дает одноклеточную 1 1 матрицу или скаляр число p1 , q 1 - сумму покомпонентных произведений перемножаемых векторов, называемую их скалярным произведением или, коротко, сверткой этих векторов.
На протяжении всех наших лекций сторочные латинские буквы с двумя значками будут обозначать одномерные величины или числа, те же буквы с одним значком - соответствующие векторы, а буквы без значков - матрицы или операторы. Причем всегда нижний значок матричных составляющих будет нумеровать строки, а верхний - столбцы. 3.Табличное представление. Задача затрат представляет собою задачу переработки m взаимозаменяемых видов сложного сырья в n видов простых изделий.
В линейном случае ее технология задается n m таблицей неотрицательных чисел a1 1 an m al k количество l-изделий на единицу k-сырья 0 l 1 n k 1 m m, n 1, 2 составляющих матрицу выпуска a. В целом, вместе с двумя парами векторов q 1 и p1 , и q 2 и p2 всех своих товаров, задача затрат описывается mn2mn величинами и естественно представляется в следующем табличном виде q 11 q 1mp2 1 p2 na1 1 a1 m an1 an mq 21 q 2np11 p1 m Всякое производство, будь то разложение сырья или сборка изделий, является преобразованием сырья в изделия как в отношении их количеств, так и цен q 1 p1a q 2 p2 и поэтому из 2m2n его количественных и ценовых величин одна их половина предопределяет другую.
Так, в задаче затрат нам задается рыночный спрос на выпускаемые изделия план их производства в виде неотрицательного вектора спроса изделий q2 с n составляющими q 2l количество. l-изделий 0 l 1 n, а дополнительный ему вектор q 1 спроса на потребляемое сырье подлежит определению в условиях заданных цен - неотрицательного вектора закупочных цен сырья p1 с m составляющими p1 k рубли за единицу k-сырья 0 k 1 m. Заданные постоянные задачи называются, также, ее параметрами, а искомые неизвестные - переменными.
Для отличения параметров задачи от ее переменных мы будем снабжать параметры дополнительным значком - ноликом сверху. 4.