Выше мы познакомились с примером математического описания одного из элементов САР. В системах автоматики существуют звенья, имеющие и другое описание. Отметим прежде всего, что имеются в виду элементарные звенья. Звено называют элементарным, если оно не может быть представлено как комбинация двух или более звеньев. Независимо от физической природы протекающих процессов всё многообразие элементарных звеньев по математическому описанию сводится к шести типам. Ниже они будут рассмотрены, и показаны графики переходных процессов в этих звеньях при скачкообразном сигнале на входе.
1.Безинерционное звено:
y = kx.
y
t
Свойства этого звена таковы, что оно мгновенно, без какого-либо запаздывания передаёт входной сигнал на выход (рис.3.3).Иногда поэтому его называют идеальным по быстродействию.
Рис.3.3. Безинерционное звено.
Поскольку любое из реально существующих звеньев обладает большей или меньшей инерционностью, такое представление о динамических свойствах звена является определенной идеализацией, допустимой лишь при сравнении двух инерционных звеньев по продолжительности переходных процессов в них. По современному состоянию техники одно звено можно считать безинерционным по сравнению с другим, если постоянная времени первого хотя бы в 50 раз меньше, чем постоянная времени второго. Так, часто в процессах вывода на заданный режим главный судовой двигатель можно считать безинерционным по сравнению с судном.
2.Апериодическое звено первого порядка. К этому типу звеньев относится рассмотренный ранее объект регулирования (рис. 3.4).
t
T
y
Рис. 3.4. Апериодическое звено 1 порядка.
3.Интегрирующее звено:
.
Прямое интегрирование при нулевых начальных условиях дает
.
График переходного процесса приведен на рис. 3.5. Примерами таких звеньев являются различные счётчики, многие исполнительные механизмы.
y
t
Рис.3.5. Интегрирующее звено.
4.Дифференцируюшее звено:
.
Это тоже в некотором роде идеализация. При скачкообразном сигнале на входе в моменты времени, не равные нулю, сигнал на выходе равен нулю, а в нулевой момент времени выходной сигнал имеет вид импульса, бесконечно большого по величине и бесконечно малого по продолжительности (рис.3.6)
y
t
Δt→0
Рис. 3.6. Идеальное дифференцирующее звено.
5.Звено с «чистым», или транспортным запаздыванием. В таком звене выходная величина повторяет входную с отставанием на время «чистого» запаздывания t3 (рис. 3.7):
y(t+t3) = x(t).
y
t
τз
Рис. 3.7. Звено с «чистым» запаздыванием.
6. Звено второго порядка. Познакомимся с выводом и решением дифференциального уравнения такого звена на примере центробежного регулятора частоты вращения вала двигателя (рис. 3.8).Входной величиной для регулятора является частота вращения вала, выходной – перемещение рейки топливных насосов. Обозначения этих величин такие же, как для объекта регулирования.
S
+
ω
_
Рис. 3.8. Центробежный регулятор.
В схему этого регулятора введён демпфер, дающий возможность гасить колебания рейки топливоподачи и конструктивно похожий на цилиндр изодрома регулятора непрямого действия с гибкой обратной связью (рис. 2.5). Примем для простоты, что рычаг равноплечий и потому перемещения муфты и рейки одинаковы и равны S.
Муфта находится под действием следующих сил.
- Fц – приведенная к муфте центробежная сила грузов:
. (3.18)
Здесь m – суммарная масса грузов;
r – расстояние грузов от оси вращения;
a – коэффициент, учитывающий кинематику передачи от грузов к муфте.
- Fп – сила со стороны пружины, равная
, (3.19)
где z – жесткость пружины.
- Fд – сила со стороны демпфера, пропорциональная скорости движения муфты:
, (3.20)
где Сд – коэффициент сопротивления демпфера.
- Fи – сила инерции:
, (3.21)
где М – приведенная к муфте масса подвижных частей регулятора.
- G – сила тяжести, приведенная к муфте.
Применяя принцип Даламбера и учитывая направления действия сил, можно записать уравнение динамики движения муфты в виде
Fи + Fд + Fп + G = Fц .
Переходя к приращениям, получаем
DFи + DFд + DFп = DFц . (3.22)
Слагаемые левой части этого уравнения линейно зависят от S, а правая часть применением метода малых отклонений приобретает вид:
. (3.23)
Таким образом, в малых отклонениях движение рейки описывается уравнением
. (3.24)
Разделив на z и приняв обозначения
(3.25)
получим дифференциальное уравнение регулятора в приращениях и в размерной форме записи:
. (3.26)
В безразмерной форме уравнение имеет вид
. (3.27)
Здесь принято обозначение
.
Коэффициент kp называется коэффициентом усиления регулятора, а коэффициенты Т22 и Т1 имеют размерности соответственно квадрата и первой степени времени. Такое обозначение логично и удобно.
Решение уравнения звена второго порядка.
В результате решения мы получим закон изменения во времени выходной величины регулятора x. Примем, как это уже стало привычным, что входная величина изменяется скачкообразно:
t < 0 , y = 0 ; t ³ 0 , y = y0 = const.
Решение уравнения (3.27) ищется в форме
x = + ,
где - общее решение соответствующего однородного уравнения
, (3.28)
- частное решение уравнения (3.27).
По аналогии со случаем, рассмотренным в разделе “объект регулирования”, частное решение как новое установившееся значение выходной величины будет
.
Общее решение уравнения (28) ищется в форме
,
где C1 и C2 – постоянные интегрирования, p1 и p2 – корни характеристического уравнения
. (3.29)
Таким образом,
. (3.30)
Постоянные интегрирования, как и в случае объекта регулирования, определим на основании начальных условий. Исходный установившийся режим характеризуется следующими условиями:
t=0; x=0; . (3.31)
Подстановка (3.31) в (3.30) даёт
. (3.32)
Отсюда постоянные интегрирования
; , (3.33)
и окончательно
. (3.34)