Если отрезок интегрирования разбить на две части , , то
.
Доказательство. При разбиении отрезка на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка на части) (рисунок 8).
Если , то интегральную сумму можно разбить на две суммы:
. Переходя в последнем равенстве к пределу при , имеем:
, а по определению определенного интеграла получаем, что , что и требовалось доказать.
Рисунок 8
Замечание. Свойство 3 справедливо при любом расположении точек а, b, с.
Геометрический смысл свойства:
площадь криволинейной трапеции с
основанием равна сумме пло-
щадей криволинейных трапеций с
основаниями и (рисунок 9).
с
Рисунок 9
4. Определенный интеграл от функции тождественно равной единице, равен длине отрезка интегрирования: .
Доказательство: .