Пусть функция z = f(х, у) определена в некоторой области D и точка М0(х0, у0) ÎD (внутренняя точка области).
Определение. Точка М0(х0, у0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(х, у), если в достаточно малой d-окрестности точки М0 для каждой точки М(х, у) отличной от точки М0(х0, у0), выполняется неравенство:
f(x, y) < f(x0, y0) (f(x, y) > f(x0, y0)).
На рис.1 М0 – точка максимума, а
точка М1 – точка минимума функ-
ции z = f(х, у).
Значение функции в точке макси-
мума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции
называется её экстремумом.
Рис. 1
Замечание. Согласно определению, точка экстремума функции является внутренней точкой области определения функции. Максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значения функции в точке М0(х0, у0) сравниваются с её значениями в точках достаточно близких к М0(х0, у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.