Механический смысл производной: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t0 есть производная от пути по времени:
.
Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении. Обозначим S – путь, пройденный точкой, а t – время. Путь, пройденный точкой за время t, зависит от t и изменяется по некоторому закону S=S(t). Поставим задачу определить скорость материальной точки V0 в некоторый момент времени t0. Для этого рассмотрим другой момент времени по прошествии отрезка Dt, т.е. момент t0+Dt. К моменту t0 пройденный точкой путь составит S(t0); к моменту t0+Dt точка пройдет путь S(t0+Dt). За промежуток времени Dt точка прошла путь DS = S(t0+Dt) – S(t0). Средняя скорость движения за время Dt составит отношение . Эта средняя скорость отличается от мгновенной скорости в момент t0, и величина Vcp тем ближе к скорости V0, чем меньше промежуток Dt. Устремим Dt к нулю (Dt®0). Тогда предел, к которому стремится средняя скорость, является скоростью точки V0 в момент t0:
Здесь рассматривается предел отношения приращения пути DS к приращению времени Dt.
Физический смысл производной: Обобщая предыдущий закон V = S'(t), можно сказать, что если функция у = f(t) описывает физический процесс, меняющийся со временем t, то производная у' = f'(t0) есть скорость протекания этого процесса в момент t0.
Экономический смысл производной.
Производительность труда в момент t0 – предельное значение средней производительности за период времени от t0 до t0 + Δt при Δt ® 0, т. е.
Здесь ΔQ – количество произведенной продукции за интервал времени Δt. Производительность труда u – скорость роста объема продукции Q.
Предельный продукт. Пусть функция Q(x) – зависимость количества произведенной продукции от величины затрат ресурса х. Отношение – средняя величина продукта, соответствующая величине затрат в размере Δх. Предельный (маржинальный) продукт при затратах ресурса х0: