Рассмотрим график непрерывной функции у=f(x). Возьмем на этом графике точку М0(x0, у0). Определим тангенс угла наклона касательной прямой к графику у=f(х), проведенной в точке М0 (рис.1).
Рис. 1
Точка М0 имеет координаты х0, у0=f(х0). Дадим переменной х приращение Dx и переместимся по графику из точки М0 в точку М с координатами: абсциссой х0 + Dх, ординатой у0 + Dy = f(х0 + Dх). При перемещении из точки М0 в точку M значение функции изменилось на величину Dу. Это изменение называется приращением функции и вычисляется так:
Dy = y – y0 = f(x0+Dx) – f(x0).
Проведем секущую прямую М0М. Тангенс угла наклона к оси ОХ (угловой коэффициент) секущей может быть найден из прямоугольного треугольника М0МN как отношение противолежащего катета |MN| к прилежащему |M0N|:
.
Когда точка М вдоль кривой будет перемещаться к точке M0, секущая М0М будет вращаться вокруг точки M0 и неограниченно приближаться к некоторой прямой М0К с углом наклона a (М0М ® М0К). Это предельное положение секущей является касательной к графику у=f(х) в точке М0.
В этом случае неограниченно уменьшаются приращение аргумента Dх (Dх®0) и приращение функции Dу®0 (наша функция непрерывна).
Угол b наклона секущей к положительному направлению оси OX превратится в угол наклона касательной a. Тогда угловой коэффициент касательной прямой k получим так:
,
т.е. угловой коэффициент касательной есть предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю.
Определение 1. Производной функции у=f(х) в точке х0 называется предел отношения приращения функции Dу = f(х0+Dх) – f(x0) к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю, если такой предел существует.
.
Другие обозначения производной функции в точке х0:
у'(х0), .
Нахождение производной функции называется дифференцированием функции.
Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.
Определение 2. Функция f(х) имеет производную на интервале (a, b), если производная f'(х0) существует в каждой точке х0 этого интервала.
Учитывая это, в дальнейшем иногда будем опускать индекс «0» у величины х0 и записывать производную так: f'(х).
Производную функции f(х) можно вычислять при различных значениях х (не только в точке х0), т.е. величина производной зависит от значения аргумента х. Поэтому, если функция f(х) имеет производную в каждой точке множества X, то производная f'(x) также является функцией от аргумента х, определенной на множестве Х.