Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла её наклона, то уравнение касательной у = k x + b к кривой дифференцируемой функции у=f(x) в точке М(х0, у0) можно записать следующим образом:
у – у0 = k (x – х0) = f'(x0) (x – х0) или у = f'(x0) (x – х0) + у0.
Таким образом, производная k = y'0 = f'(x0) есть тангенс угла наклона кривой у=f(x) в точке х0 к оси Ох.
Для функции у = f(x) ее производная у' = f'(х) для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке (рис.1).
Если касательную к кривой в некоторой точке провести невозможно, то это означает, что функция недифференцируема в этой точке.
Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и имеет правую и левую производные f'+ и f'-, причем f'+ ≠ f'-, то в точке х0 график функции у = f(x) касательной не имеет (рис. 3). Но в точке х0 существуют две односторонние полукасательные (правая и левая касательные). Точка на графике, в которой происходит излом графика, называется угловой точкой кривой f(x).
Рис. 3.
Если функция f(x) непрерывна в точке х0, а ее правая и левая производные в этой точке бесконечны, то возможны 4 различных случая:
1) (рис. 4);
2) (рис. 5);
3) (рис. 6);
4) (рис. 7).
Графики на рисунках проходят через точку М под углом 90о, касательная перпендикулярна оси Ох.