Для свободной частицы потенциальная энергия U ≡ 0. Уравнение Шредингера (7.3) в этом случае выглядит следующим образом:
Для частицы, движущейся вдоль оси х, волновая функция ψ = ψ(х) и уравнение еще упрощается:
Решением этого уравнения будет экспоненциальная функция:
проверить это легко прямой подстановкой. При этом для энергии E получаем, как и следовало ожидать,
здесь px = mv - импульс частицы.
Мы видим, что у свободной частицы энергия E и импульс px могут принимать любые значения, т.е. не квантуются.
Полную волновую функцию Ψ(x, t) получим, домножив ψ(x) на временной множитель (см. (28.1)):
Это есть не что иное, как уравнение волны де Бройля (6.2).
В случае бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямы шириной а потенциальная энергия:
Изобразим график U(x) (см. рис. 7.1). Если частица находится в яме, то ее координата х может изменяться от нуля до a. За пределы ямы частица выйти не может, т.к. там потенциальная энергия бесконечно велика (стенки ямы бесконечно высоки). Значит вероятность обнаружить частицу в любом месте за пределами ямы равна нулю (dw = 0).
Рис. 7.1
В одномерном случае из (6.3) получим:
Откуда следует, что за пределами ямы волновая функция ψ тождественно обращается в ноль.
Из условия непрерывности волновой функции следует, что внутри ямы она должна так зависеть от координаты х, чтобы обращаться в ноль на границах ямы. Значит граничные условия на волновую функцию ψ будут иметь следующий вид:
Внутри ямы U ≡ 0 и уравнение Шредингера будет иметь такой же вид, как и для свободной частицы (7.10):
или
Так как E = p2/2m, то для коэффициента при ψ имеем:
Откуда энергия частицы:
Здесь - волновое число.
В результате уравнение Шредингера примет вид хорошо известного нам дифференциального уравнения:
Решением этого уравнения, как известно, являются гармонические функции (синус или косинус) и мнимая экспонента. Здесь нам удобнее взять функцию "синус" с нулевой начальной фазой. Тогда ψ(x) - волновая функция частицы, будет иметь следующий вид:
Постоянная С будет найдена позднее из условия нормировки (7.14).
Т.к. sin 0 = 0, то граничное условие на левой границе (ψ(0) = 0) автоматически выполняется. Потребуем выполнения граничного условия на правой границе:
Это граничное условие будет выполнено, если
Значение целого числа n = 0 хотя и удовлетворяет граничному условию, но оно тождественно обращает волновую функцию в ноль (отсутствие частицы в яме!) и поэтому не годится.
Отрицательные значения n не приводят к появлению новых состояний: при изменении знака n меняется знак ψ, тогда как вероятность не меняется.
В результате мы получили, что вследствие граничных условий волновое число k может принимать лишь дискретные значения:
где квантовое число n принимает любые положительные целые значения, начиная с 1. С аналогичной ситуацией мы уже встречались при рассмотрении колебаний струны, закрепленной с двух концов (см. Ч. 3, лекция N 6, § 6).
С волновым числом k связана энергия частицы E (7.16). Следовательно, квантование волнового числа приводит к квантованию энергии частицы в потенциальной яме:
Подставляя сюда kn из (7.20), получим формулу для стационарных состояний энергии частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a:
Схема энергетических уровней частицы в яме выглядит следующим образом:
Рис. 7.2
Расстояния между соседними уровнями:
Оценим ΔEn для молекулы (m ~ 10-26 кг), находящейся в сосуде размером a ~ 0,lм.
Расстояния между уровнями в этом случае столь малы, что их дискретность совершенно несущественна. Ситуация меняется, если аналогичную оценку сделать для электрона (me = 9,1?·10-31 кг), локализованного в области порядка атомных размеров (a ~ 10-10 м).
В этом случае:
и дискретность уровней будет определять поведение частицы.
Условие нормировки (6.5) для нашей волновой функции (7.18) имеет следующий вид:
Интеграл равен a/2, значит
Подставляя константу C в волновую функцию (7.18) и учитывая условия квантования для волнового числа k (7.20), получим нормированные волновые функции для частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме:
Каждая из этих волновых функций задает квантовое состояние частицы с квантовым числом n.
В соответствии с вероятностным смыслом волновой функции (6.3) вероятность dwn обнаружить нашу частицу в интервале от x до x + dx, если она находится в квантовом состоянии ψn, дается следующим выражением:
Плотность вероятностиобнаружения частицы:
Графики волновых функций первых двух квантовых состояний и соответствующие графики плотности вероятности приведены на рисунках 7.3а,б.
Рис. 7.3 а,б
Из графика плотности вероятности для состояния с n = 2 видно, что точно посередине ямы частица не может быть обнаружена, т.к. там ψ22 = 0. По классическим же представлениям частица должна была двигаться равномерно внутри ямы, отражаясь от ее стенок. Ясно, что при этом все положения частицы в яме равновероятные.