Рассмотрим теперь вращение тела с энергетической точки зрения. Допустим, что в некоторой точке тела приложена сила (в плоскости, перпендикулярной оси вращения), направление которой совпадает с вектором линейной скорости этой точки. Поэтому речь идет о силе = t.
Элементарная работа этой силы равна
dA = Ftds,
где ds — элемент дуги окружности, связанный, как известно, с ее радиусом и углом поворота j следующим образом:
dS = rdj;
Тогда
dA = Ftrdj или
dA = Mdj .
Если М = const, то при повороте тела на конечный угол Dj, формула для работы имеет вид
A = MDj;
Найдем теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Очевидно, эта энергия должна быть равна сумме кинетических энергий отдельных материальных точек, т.е.
WК = ,
ui = wri и, принимая во внимание, что момент инерции тела относительно оси вращения
WK =
Сравнивая полученное выражение с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно WK = , приходим к выводу, что момент инерциивращательного движения - мера инертности тела.
Работа А, совершенная моментом внешних сил на протяжении угла поворота Dj = j2 - j1, связана с изменением кинетической энергии вращения тела следующим образом
A = ;
где w2 и w1 — угловые скорости тела в моменты, когда его угловые координаты равны соответственно j2 и j1.
В случае, например, скатывающегося цилиндра с наклонной плоскости без скольжения энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения
WK = +
где т — масса катящегося тела; uC — скорость центра масс тела;
Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w - угловая скорость тела.