Пусть дан граф G = (X, A), где X = {хi}, i = 1, 2, ..., n – множество вершин, A = { ai }, i = 1, 2, ..., m – множество дуг.
Подграфом G'= (X', A') исходного графа G называется такой граф G', для которого X' X и A' A. Примеры подграфов показаны на рис. 6.1,б), а исходный граф – на рис. 6.1,а.
Рис. 6.1. Виды подграфов: а – исходный граф; б – подграфы; в – остовные подграфы; г – порожденные подграфы
Остовным подграфом Gp = (X, Ap ) графа G называется граф, для которого Ap A. Таким образом, остовный подграф имеет то же самое множество вершин, что и исходный граф G, но множество дуг подграфа Gp является подмножеством множества дуг исходного графа. Примеры остовных подграфов приведены на рис. 6.1,в. Для графа, имеющего m дуг, можно построить k остовных подграфов
k=C1 m+C2 m+...+Cm-1 m=2m-1
Порожденным подграфом Gs =(Xs , Гs ) называется граф, для которого Xs X и для каждой вершины хi Xs прямое отображение Гs (хi) = Г(хi) Xs . Таким образом, порожденный подграф состоит из подмножества вершин Xs множества вершин исходного графа и всех таких дуг графа G, у которого конечные и начальные вершины принадлежат подмножеству Xs . Примеры порожденных подграфов приведены на рис. 6.1,г.
В качестве иллюстративного примера рассмотрим граф, вершины которого представляют сотрудников некоторого учреждения, а дуги – линии связи между сотрудниками. Тогда граф, представляющий только наиболее важные связи или каналы связи данного учреждения, является остовным подграфом; граф, который подробно описывает линии связи только какой-то части учреждения (например, отдела), является порожденным подграфом, а граф, который представляет только важные линии связи в пределах отдела, является просто подграфом.