Согласно гипотезе де Бройля любой движущийся частице с энергией E и импульсом соответствует волна с частотой v = E/h, длиной волны λ = h/p и волновым вектором . Так же как в случае с фотоном, с соответствующей волной связаны частицы, обладающие энергией E = hv и импульсом p = h/λ (или ).
С фотонами связаны электромагнитные волны. Волны, для частиц с m ≠ 0 , о существовании которых догадался Л. де Бройль, носят название волн де Бройля. Длина волны де Бройля:
здесь p - импульс частицы.
Сопоставим свойства фотона и электрона, известные Л. де Бройлю во время публикации своих работ (1923-24 гг.)
Фотон:
Электрон:
Скорость: v = c = 3·108м/c - inv.
Скорость: 0 ≤ v < 0
Масса: mγ = 0
Масса: me ≠ 0
Энергия:
Энергия:
Импульс:
Импульс:
Уравнение плоской электромагнитной волны, которое является следствием уравнений Максвелла
Волновые свойства электронов пока (1923 г.) не обнаружены, но, если предположить, что для электрона ,
что существуют "электронные" волны , то
Интерференция и дифракция электромагнитных волн - волновые свойства фотонов.
нужно искать проявление волновых свойств электронов - интерференцию и дифракцию волн де Бройля.
Возникает вопрос: почему мы не наблюдаем волновых свойств у макроскопических тел?
Волновые свойства - это интерференция и дифракция. Для наблюдения интерференции и дифракции волн необходимо экспериментальное устройство, создающее разность хода Δ порядка длины волны λ.
Найдем длину волны де Бройля для тела массой m = 1г = 10-3 кг и движущегося со скоростью v = 1 м/с.
Так как v << c, то импульс тела можно найти по классической формуле p = mv. Тогда:
Мы видим, что длина волны де Бройля для макроскопических тел чрезвычайно мала. Для сравнения, размеры атомов и межатомных расстояний в твердых телах порядка ангстрема, 1Å = 10-10м. Следовательно, мы не сможем создать устройство, обеспечивающее разность хода Δ ~ 10-30 м, эта величина меньше межатомных расстояний в 1020=100 000 000 000 000 000 000 раз!
Оценим длину волны де Бройля для электрона. Пусть наш электрон ускоряется разностью потенциалов U = 100 В. При такой разности потенциалов можно пользоваться ньютоновскими формулами для энергии и импульса. Выразим кинетическую энергию через импульс электрона p = mv; mv2/2 = p2/2m. Затем работу электрического поля eU приравняем к полученной электроном кинетической энергии:
Длина волны де Бройля нашего электрона:
Полученная величина имеет порядок межатомных расстояний в кристалле, значит отражение "электронных волн" от поверхностных слоев атомов кристалла можно использовать для обнаружения волновых свойств электронов. Такой опыт выполнили в 1927 г. американские физики Дэвиссон и Джермер.Они обнаружили волновые свойства электронов в эксперименте по отражению электронов от поверхности монокристалла никеля.
Волны де Бройля электронов частично отражались от поверхности монокристалла никеля, частично - от второго слоя атомов, тем самым между отраженными волнами создавалась известная разность хода Δ = 2dsinθ (см. рисунок 6.1.). Условие максимума первого порядка интерференции двух волн имеет, как известно, следующий вид: Δ = λ.
Рис. 6.1
При Δ = 2dsinθ получим условие максимума для волн, отраженных от двух поверхностных слоев кристалла:
2dsinθ = λ.
Постоянная решетки кристалла никеля d была известна и для определенного угла θ можно было рассчитать длину волны λ, при которой должен был наблюдаться максимум. Длину волны де Бройля электронов в опыте Дэвиссона и Джермера можно очень просто изменять, изменяя ускоряющую разность потенциалов U. Опыт показал, что максимум отраженного электронного пучка наблюдался при значениях длин волн де Бройля электронов очень близких к расчетным.
Позднее волновые свойства были обнаружены у нейтронов, атомных и молекулярных пучков. Во всех случаях эксперименты подтверждали связь между длиной волны де Бройля и импульсом частицы:
ЛЕКЦИЯ N 6
§ 2. Дифракция одиночных электронов
В опытах Дэвиссона и Джермера интенсивность электронных пучков была велика. Возникает вопрос, появится ли дифракционная картина в случае, если электроны проходят через экспериментальную установку, например, кристалл, представляющий собой дифракционную решетку, поодиночке (аналогично одиночным фототонам в (лекция N 5, § 3). Опыт с одиночными электронами выполнили в 1949 г. советские физики Л. М. Биберман, Н. Г. Сушкин и В. А. Фабрикант. Они наблюдали дифракционную картину электронного пучка от мелкокристаллического тела. Разумеется, один электрон не даст сразу интерференционной картины, он будет просто зафиксирован целиком в определенном месте пространства. Но с течением времени, как показал опыт, формируется такая же дифракционная картина, как и при большой интенсивности пучка. Следовательно, волновые свойства нельзя объяснить взаимодействием различных электронов в интенсивном пучке, они присущи каждому одиночному электрону.
Рис. 6.2
Мы рассмотрим идеализацию действительного опыта - мысленный экспериментпо дифракции электронов на двух щелях. Схема этого мысленного эксперимента такая же как и у опыта Юнга по интерференции света (см. рис. 6.2).
Электронный пучок направляется на непрозрачный экран с двумя щелями, расположенными на расстоянии d друг от друга. Электроны фиксируются маленькими счетчиками, размером в Δx, расположенными вдоль экрана наблюдения.
При интенсивном пучке электронов графиком зависимости числа срабатываний счетчиков от координаты x будет интерференционная кривая: чередование максимумов и минимумов (точнее, ступенчатая функция - гистограмма, но при малых Δx ее ступенчатость будет мала).
Что будет происходить в этой установке, если электроны будут проходить ее поодиночке? Как показывает опыт с течением времени сформируется точно такая же интерференционная картина как и с интенсивным пучком электронов. Как можно объяснить появление этой интерференционной картины? Электрон неделим, он всегда регистрируется целиком. Значит дебройлевская волна каждого электрона проходит одновременно через оба отверстия, затем волны, идущие от отверстий 1 и 2, интерферируют друг с другом. Электроны чаще попадают в те места экрана, где интенсивность результирующей волны больше. Здесь ситуация аналогична той, что была разобрана нами в предыдущей лекции для случая интерференции одиночных фотонов.
§ 3. Волновая функция и волна де Бройля
Дальнейшее развитие физики показало, что волна де Бройля - частный случай более общего фундаментального понятия квантовой физики - волновой функции, которую обозначают греческой буквой Ψ , ("пси").
В общем случае волновая функция - это комплексная функция координат и времени. Подробнее с волновой функцией мы познакомимся при изучении дифференциального уравнения - уравнения Шредингера, решением которого является волновая функция.
Волновая функция свободно движущейся частицы с точно заданным импульсом p и является волной де Бройля. В частном случае движения вдоль оси х она имеет вид плоской волны:
здесь А - нормировочная постоянная; E - энергия частицы; p - ее импульс;
e = 2,73... - основание натуральных логарифмов; - мнимая единица.
В 1926 г. Макс Борн дал вероятностную интерпретацию волновой функции Ψ, согласно которой квадрат модуля волновой функции |Ψ|2 определяет вероятность dw того, что микрообъект будет обнаружен в пределах объема dV, т.е.
Здесь - это комплексно-сопряженная функция, которая отличается от Ψ тем, что мнимую единицу i заменяют на -i. Напомним, что . Произведение i на (-i) дает единицу, в самом деле, , таким образом, вероятность dw будет определяться, как и требуется, положительным числом.
На функцию Ψ накладывается условие нормировки, которое следует из того, что полная вероятность w обнаружить частицу в любом месте доступного ей пространства должна быть равна единице, т.е.:
Подставляя сюда dw, получим условие нормировки для волновой функции Ψ:
§ 4. Соотношения неопределенностей
Математически соотношение неопределенностей имеет вид неравенства:
где Δх - неопределенность координаты микрочастицы;
Δpx - неопределенность соответствующей компоненты импульса.
Для Δy Δpy и ΔzΔpz справедливы аналогичные соотношения.
Соотношения неопределенностей впервые были установлены в 1927 г. немецким физиком Вернером Гейзенбергом.