Рассмотрим однородный изотропный диэлектрик, находящийся во внешнем электрическом поле. Процесс поляризации связан с работой по деформации электронных орбит в атомах и молекулах и по повороту осей молекул-диполей вдоль поля. Ясно, что поляризованный диэлектрик должен обладать запасом электрической энергии.
Если поле напряженностью создано в вакууме, , то объемная плотность энергии этого поля в точке с напряженностью равна:
Докажем, что объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика в этой точке выражается формулой: .
Рассмотрим диэлектрик с неполярными молекулами. Молекулы такого диэлектрика являются упругими диполями. Электрический момент упругого диполя, находящегося в поле с напряженностью , равен , где - поляризуемость диполя, или в скалярной форме:
, (1.4.1)
где - заряд и плечо диполя.
На заряд со стороны поля действует сила , которая при увеличении длины диполя на совершает работу . Из выражения (1.4.1) получаем: , поэтому
. (1.4.2)
Чтобы найти работу поля при деформации одного упругого диполя, надо проинтегрировать выражение (1.4.2):
.
Работа равна той потенциальной энергии, которой обладает упругий диполь в электрическом поле напряженностью . Пусть - число диполей в единице объема диэлектрика. Тогда потенциальная энергия всех этих диполей, то есть объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика равна: . Однако - модуль вектора поляризации, тогда . Известно, что , и , тогда , что и требовалось доказать.