Понятие действительного числа вводится поэтапно.
Вначале возникло множество натуральныхчисел – для нумерации или для счета: N = {1, 2, 3, ...}.
Если к множеству N добавить 0 и отрицательные целые числа, то получится множество целыхчиселZ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, т.е. N Z.
Целые и дробные числа составляют множество рациональныхчиселQ, которые выражаются отношением двух целых чисел: и т.д.
Всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби:
– чистая бесконечная периодическая дробь (период равен 3 и находится сразу после запятой),
= - 2,5(0) – смешанная конечная периодическая дробь (период равен 0);
=0,4545…=0,(45);
0,2(5) – смешанная бесконечная периодическая дробь.
По бесконечной периодической дроби можно найти рациональное число в виде обыкновенной дроби.
Пример 1.Найти рациональное число, равное смешанной бесконечной периодической дроби 0,43(1998).
Решение. Искомое рациональное число обзначим через x:
x = 0,43(1998) = . В знаменателе степень 2 – число цифр до периода, степень 4 – число цифр в периоде.
Пример 2.Найти рациональное число, равное 1,2(3).
Решение. x = 1,2(3) = .
Пример 3.Найти рациональное число, равное 0,12(34).
Решение. x = 0,12(34) = .
Иррациональные числаI выражаются бесконечной непериодической десятичной дробью. Например, , , π=3,141592654… и т.д.
Множества рациональных и иррациональных чисел составляют множество действительных чиселR = QI.
Между множествами N, Z, Q и R существует соотношение NZQR.
Геометрически множество R изображается точками числовой прямой (или числовой оси) – прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.
Между множеством действительных чисел R и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».
Множество действительных чисел R дополняют двумя элементами, обозначаемыми -∞ и +∞ и называемыми «минус бесконечность» и «плюс бесконечность» (или бесконечно удаленными точками).
Множество R, дополненное элементами -∞ и +∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается .
Для бесконечно удаленных точек справедливы правила:
Порядок чисел на естественный: всякое действительное число меньше +∞ и больше -∞, т.е. если х є R, то -∞ < х < +∞.
-∞ на числовой прямой находится левее всех чисел, +∞ – правее всех чисел.
Иногда R дополняют одним элементом ∞, называемым бесконечностью или бесконечно удаленной точкой.
Возьмем на числовой прямой две точки: а и b. Тогда множество, элементы которого удовлетворяют:
- неравенству а ≤ х ≤ b, называется отрезком [а; b];
- неравенству а < х < b – интервалом (а; b);
- неравенствам а ≤ х < b или а < х ≤ b – полуинтервалами соответственно [а; b) и (а; b].
Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы (-∞; b), (а; +∞), (-∞,+∞), (-∞; b], [a; +∞).
Все указанные множества объединяют термином промежуток X.
Если представить, что некоторая точка х на числовой прямой движется вправо к бесконечно удаленной точке, то записывают х®+∞ (x стремится к плюс бесконечности), если влево, то х® -∞(x стремится к минус бесконечности).