Тульский Государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого физический факультет кафедра общей физики Курсовая работа по МПФ "Компьютерное моделирование опыта Милликена" Выполнил: с-т ФФ 4"б" Городько А. Б. Научный руководитель: к. ф. -м. н Романов Р. В. Тула 1995 - 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ст.
1. Введение......................................................................... 3 а) Актуальность темы дипломной работы............................ 3
б) Цели работы...............................................................4
в) Научная новизна результатов дипломной работы............. 4
г) Научная и практическая ценность.................................5
д) Вклад автора............................................................. 5
е) Реализация................................................................ 5
ж) Апробация и публикации.............................................. 6
з) Краткое содержание и структура.................................6
Глава 1. Физические основы исследуемых процессов..................8 _ 1. 1 Электрический колебательный контур........................8
_ 1. 2 Опыт Милликена.................................................... 11
_ 1. 3 Скин-эффект в цилиндрической геометрии................ 16
_ 1. 4 Скин-эффект в плоской геометрии...........................26 Глава 2. Математические методы исследования физических
процессов............................................................31 _ 2. 1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений............................................................31
_ 2. 2 Задача Коши. (Метод Рунге-Кутты 2-го порядка)....... 34
_ 2. 3 Метод Рунге-Кутты 4 порядка.................................37
_ 2. 4 Краткие сведения о функциях Бесселя.....................42
_ 2. 5 Краткие сведения о функциях Кельвина................... 46
Глава 3. Использование ЭВМ в учебном процессе.....................48 _ 3. 1 Роль ЭВМ в обучении физики.................................. 48
_ 3. 2 Методы использования ЭВМ в обучении.....................51
_ 3. 3 Моделирование физических процессов на ЭВМ............53
_ 3. 4 Краткое описание программ....................................55
Заключение......................................................................... 56 Приложения......................................................................... 57 Литература......................................................................... 66 Введение Актуальность темы дипломной работы
Дипломная работа посвящена разработке демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики как в школах и среднеспециальных учебных заведениях, так и в высших учебных заведениях.
Насыщенность школ современной вычислительной техникой еще не приводит к большим переменам в образовании, если учитель не подготовлен ни психологически, ни профессионально к внедрению ЭВМ в его жизнь.
В настоящее время накоплен большой опыт применения вычислительной техники в физических исследованиях, выработаны общие методические подходы решения основных физических проблем и можно констатировать факт, что сложился новый предмет–вычислительная физика, которая составной частью современной физики наряду с общей физикой и теоретической физикой и входит в стандарт образования по физики.
Основным методом исследования вычислительной физики является компьютерный эксперимент, теоретической базой которого служит математическое моделирование, а экспериментальной базой - ЭВМ.
Компьютерное моделирование интегрирует такие предметы, как теоретическая физика, численный анализ и программирование.
На сегодняшний день в процессе преподавания физики очень многие важные явления и опыты не могут быть реализованы в виде демонстраций в силу их сложности, а их объяснение требует от преподавателя больших "художественных возможностей". Именно поэтому появилась тенденция создания компьютерных программ для моделирования подобных процессов [1-7]. Теперь преподаватель, заранее подобрав исходные данные, может по ходу объяснения демонстрировать все возможные варианты развития процесса не затрачивая массу времени на приемлемое изображение установки, самого эксперимента, сопутствующих графиков. Кроме того, такие программы могут быть также 2 0 использованы в лабораторном практикуме с дополнительными заданиями разного уровня сложности, а в совокупности с прилагаемыми описаниями и для самостоятельного изучения материала. Целями дипломной работы являлись
- исследование моделируемых процессов на предмет получения конечных аналитических решений, пригодных для создания на их основе демонстрационных программ, а в случае их отсутствия построение алгоритмов решения на основе численных методов;
- создание демонстрационных программ на основе полученных решений; - создания лабораторных работ на основе разработанных программ и ряда разноуровневых заданий к ним;
- апробация созданных лабораторных работ 2 0на 2 0 физическом факультете ТГПУ им. Л. Н. Толстого в курсе методики преподавания физики; Научная новизна результатов дипломной работы В работе впервые:
- Созданы демонстрационные программы для моделирования: процессов в электрическом колебательном контуре, опыта Милликена, скин-эффекта; - Для скин-эффекта получено решение в виде комбинации функций Кельвина; - Показана роль фазового дополнительного слагаемого в решении для скин-эффекта;
- Показано, что в электрическом колебательном контуре на графике зависимости энергии от времени существуют плато, соответствующее нулевому току и проведена аналогия с механическими колебаниями; Научная и практическая ценность
В работе проведен теоретический анализ исследуемых процессов и создан ряд моделирующих программ.
Как теоретические результаты, так и компьютерные программы дипломной работы могут быть использованы в процессе преподавания физики в различных учебных заведениях и при самостоятельном изучении данного материала. Вклад автора
В работах, результаты которых выносятся на защиту и выполненных совместно с научным руководителем, автором внесен должный вклад в постановку задач, выбор методов исследования, теоретический анализ, выбор методов реализации и интерпретацию результатов. Реализация результатов работы
Полученные в результате теоретического анализа аналитические решения были реализованы автором в виде демонстрационных программ для машин класса IBM PC/AT и совместимых, работающих под управлением: - MS-DOC версии 5. 0 и последующих; - MS-WINDOWS версий 3. 1 и 3. 11 (RUS). Программы реализованы с помощью компиляторов: - Turbo Pascal 6. 0; - Turbo Pascal 7. 0; и при использовании графических пакетов: - BGI (Borland International) - Дизайнер.
Демонстрационные программы используются в курсе преподавания физики на физическом факультете ТГПУ им. Л. Н. Толстого и могут быть использованы в других учебных заведениях. Апробация и публикации
Основные результаты докладывались опубликованы в тезисах докладов Всероссийского (с участием стран СНГ) совещания-семинара "Применение средств вычислительной техники в учебном процессе", изд-во УГТУ, Ульяновск 1995 г. [23]
Материалы работы докладывались и обсуждались также на студенческих научных конференциях в ТГПУ [24]. Краткое содержание и структура
Структура. Дипломная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения, содержит 55 страниц машинописного текста, 12 рисунков, список цитируемой литературы включает 24 наименования.
Во Введении. обосновывается актуальность работы, формулируется ее цель, излагается краткое содержание работы по главам и перечисляются результаты, являющиеся новыми. Кроме того говорится о реализации и апробации проделанной работы.
Глава 1. дипломной работы посвящена теоретическому исследованию моделируемых процессов.
Глава 2. посвящена описанию математических методов, необходимых для теоретического исследования и моделирования.
В Главе 3. рассматриваются методические вопросы, касающиеся как применения ЭВМ в учебном процессе в целом, так и конкретно применение разработанных программ. Заключение. посвящено подведению итогов проделанной работы. В Приложении. приводятся необходимые схемы, рисунки и графики. Глава 1 Физические основы исследуемых процессов 1 0 11. 1 Электрический колебательный контур.
Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий, в общем случае, из конденсатора C, катушки индуктивности L и сопротивления нагрузки R (см. рис. 1). Процессы происходящие в такой системе описываются дифференциальным уравнением вида: Ф d 52 0q 7 0 dq ----- + 2 7d 0---- + 7 w 40 52 0q = 0 (1. 1. 1) dt 52 0 7 0 dt где R 1 dq 2 7d 0= 7 0--- ; 7 w 40 52 0 = ---- ; I = - ---- . L LC dt Начальные условия: q¦ =q 40 0 ; I¦ =I 40 0. ¦t=0 4 0 ¦t=0 Энергия колебательного контура определяется выражением: q 52 0 LI 52 W = ---- + -----. (1. 1. 2) 2C 2
Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями, а соответствующие колебательные системы– линейными системами. Уравнение (1. 1. 1) имеет следующие решения[18]: Ф 7|\\\\\\\\\
1) 7 w 40 0 > 7d 4 , 7 W 0 = 7? w 40 52 7 0+ 7d 52 0 - слабое затухание 4- 7в 4t 7 0 7d
q = e 4 0(A Cos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t)); A=q 40 0; B= --- q 40; 7W 4- 7в 4t 0 4- 7в 4t
q'= - 7d 0e 4 0(A Cos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t))+ e 4 0(A 7W 0Cos( 7W 0t) + B 7W 0Sin( 7W 0t)) 7|\\\\\\\\ 7/ 0 7d 52 4 - 7в 4t
q=q 40 7 / 0 1+ ---- e 7 0Cos( 7W 0t- 7f 40 0); (1. 1. 3) 7? 0 7W 52 7d где tg 7f 40 0 = --- - сдвиг фаз; 7W 7( 0 7d 52 0 7) 4- 7в 4t
I = q 40 7* 01 + 7 0---- 78 0 7W 0e 7 0Sin( 7W 0t) (1. 1. 4) 79 0 7W 52 0 70 Частный случай: R=0 и 7d 0=0 (гармонические колебания) q = q 40 0Cos( 7w 40 0t) (1. 1. 5) I = q 40 7w 40 0Sin( 7w 40 0t) (1. 1. 6) 2) Критический режим: 7 цw 40 0= 7d 1 R 52 0 4L ---- = ----- 5 ===== 0> R 52 0 = --- LC 4L 52 0 C 4- 7в 4t q = q 40 0e 7 0( 7d 0t + 1) (1. 1. 7) 4- 7в 4t I = q 40 0e 7 d 52 0t (1. 1. 8) 3) Сильное затухание:
q 52 7 ( 0 7 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7) q = ---- 7 * 0( 7W 0 + 7d 0)e 7 0 7 0 + ( 7W 0 - 7d 0)e 7 0 7 0 7 8 0 (1. 1. 9) 2 7W 9 0 70
q 52 7w 40 52 0 7( 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7) I = ------- 7 * 0e 7 0 7 0 + e 7 0 7 0 7 8 0 (1. 1. 10) 2 7W 0 79 0 70 ш2. 0
На рис. 12 показаны зависимости q(t), I(t), W(t), причем на последней хорошо заметно плато. , соответствующие нулевому току, при котором в системе не происходит потерь энергии. 1 11. 2 Опыт Милликена по определению заряда электрона.
Роберт Эндрюс Милликен (1868-1953) - американский физик (с 1924 года член-корреспондент АН СССР). Получил широкую известность за ряд опытов, направленных на установление дискретности электрического заряда и определение заряда электрона с высокой точностью. За эту работу в 1923 году удостоен Нобелевской премии. Также известны его работы, направленные на экспериментальное подтверждение квантовой теории фотоэффекта А. Эйнштейна и работы по определению численного значения постоянной Планка. Классические опыты Милликена направлены на прямое доказательство дискретности электрического заряда и определение элементарного электрического заряда. Экспериментальный метод, примененный Милликеном, заключался в непосредственном измерении заряда очень маленьких капелек масла[14, 19]. Представим себе такую капельку между обкладками горизонтально расположенного конденсатора(рис. 2). Если к пластинам конденсатора не приложено напряжение, то капля будет свободно падать. Вследствие малых размеров капля будет падать равномерно, так как ее вес уравновешивается силой сопротивления воздуха, определяемой законом Стокса, и силой Архимеда. 76 6 6 F 4st 0+G+F 4арх 0=0 (1. 2. 1) F 4st 0=G-F 4арх 0 (1. 2. 2) F 4st 0=6 7ph 0aV 4G 0, (1. 2. 3) G-F 4aрх 0=3 7p 0a 53 0( 7r 4k 0- 7r 0)g/4, (1. 2. 4)
где a-радиус капли, 7h 0-вязкость газа, V 4G 0-скорость свободного падения капли, 7r 4k 0-плотность капли, 7r 0-плотность газа.
Представим себе теперь, что к пластинам конденсатора приложено напряжение, величина и знак которого подобраны так, чтобы капелька под действием электрического поля поднималась вверх. Если через V 4Е 0обозначить скорость этого подъема, то можно записать: Еq-mg=6 7ph 0aV 4E 0 (1. 2. 5)
где Е - напряженность поля внутри конденсатора. Ионизируя воздух между пластинами конденсатора (например, при помощи рентгеновских лучей ), можно изменить заряд капли. Если при этом величину напряженности поля оставить прежней, то скорость капли изменится и станет равной V 4E1 0. Продолжая эти рассуждения, можно получить формулу для разности зарядов (q-заряд до облучения, q 41 0-заряд после облучения): 1. 0 7p 0(2V 4G 7h 53 0) 51/2
7D 0q=q-q 41 0=9---------------(V 4E 0-V 4E1 0) (1. 2. 6) E(( 7r 4k 0- 7r 0)g) 51/2
Облучая каплю несколько раз и меняя напряжение, Милликен проводил с одной каплей много опытов. Измеряя скорости падения и подъема капли, экспериментатор рассчитал заряд электрона, который по его данным оказался равным e=4. 805*10 5-10 0СГСЭ. Схема установки Милликена приведена на рис. 3 [11, 19].
Проведем строгое решение задачи о движении заряженной частицы в электрическом поле в вязкой среде. Данное движение (рис. 2) описывается следующим уравнением: 76 dV 76 0 7 6 0 76 0 7 0 76
m ---- = F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 + F 4электр 0; (1. 2. 7) dt dV 4x
m ----- = - F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 - F 4электр 0 (1. 2. 8) dt 76 0 7 6
где F 4электр 0=qE - сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле с напряженностью E, причем
E 4x 0= 7+ 0 U/d , 7 0U - напряжение между обкладками конденсатора d - расстояние между обкладками конденсатора
F 4сопр- 0определяется по закону Стокса (1. 2. 3), G=mg - сила тяжести После подстановки и преобразований получим: dVx 6 7ph 0а Gx F 4арх 0 4 0qE 4x ----- + ------ Vx = ---- - ------ + ----- (1. 2. 9) dt m m m m Введем обозначения
9 7h 0 7r 0 7 03qE 4x 7a 0=-------; (1. 2. 10) 7b 0=g(1- ----); (1. 2. 11) 7g 0=--------; (1. 2. 12) 2 7r 4k 0а 52 0 7r 4k 0 4 7r 4k 7p 0a 53 получим dVx ----- + 7a 0Vx = 7b 0 + 7g 0 (1. 2. 13) dt 4- 7a 0t 7b 0+ 7 g
Общее решение этого уравнения: V 4x 7 0= 7 0const e + 7 0------- (1. 2. 14) 7a используя начальное условие 7b 0 + 7g 0 7b 0 + 7g
Vx¦ =V 40 0 ; 4 0V 40 0 = const + ------- 7" 0 const = V 40 0 - ------- (1. 2. 15) ¦t=0 7 0 7a 0 7 0 7a имеем 7{ 0 7b 0 + 7g 0 7} 0 4- 7a 0t 7b 0 + 7g
V 4x 0 4= 0 72 0 V 40 0 - ------- 72 0 e 4 0+ ------- (1. 2. 16) 7[ 0 7a 0 7 ] 0 7a 4x 0 4t 7! 0 7!
так как 72 4 0dx = 7 2 0 V 4x 0 dt (1. 2. 17) и x¦ =0 получим 71 0 71 0 ¦t=0 5x 40 0 50
1 7( 0 7 b 0+ 7g 0 7) 4 0 4- 7a 4t 0 7( 0 7 b 0+ 7 g 0 7) x = - --- 7 * 0V 40 7 0- 7 0------- 7 8 0 e + 7 * 0------- 7 8 0 t (1. 2. 18) 7a 9 0 7a 0 70 0 7 9 0 7 a 0 7 0
Для создания демонстрационной программы удобнее использовать формулу не для x , а для 7D 0x ,
1 7{ 0 7b 0+ 7g 0 7}{ 0 4- 7a 4t 0 7} 0 7 b 0+ 7 g 7D 0x=x-x 40 0= --- 72 0V 40 0- ------- 722 0 1 - e 72 0+------- t (1. 2. 19) 7a 0 7[ 0 7 a 0 7 ][ 0 7 ] 0 7 a
При q 41 0=n 41 0e 76 g 41 0= 7a 0V 41x 0- 7a 0V 40x 0, а при q 42 0=n 42 0e 76 g 42 0= 7a 0V 42x 0- 7a 0V 40x 0(1. 2. 20),
где V 40x 0-скорость падения капли до облучения и без напряжения, V 41x 0-скорость падения капли до облучения при наличии поля, V 42x 0-скорость капли после облучения при наличии поля. Разделив (1. 2. 20) друг на друга получим: 7g 41 0 V 41x 0 - V 40x 0 q 41 --- 4 0= 4 0----------- = ---- (1. 2. 21) 7g 42 0 V 42x 0 - V 40x 0 q 42 ш2. 0
Определив из формулы (1. 2. 16) значения для V 40x 0, V 41x 0, V 42x 0и подставив их в (1. 2. 21) можно получить отношение q 41 0 к q 42 0и если оно равно отношению целых чисел то мы вправе утверждать, что оба заряда кратны одному и тому же значению - элементарному электрическому заряду, который по современным данным равен: e=1. 6021892*10 5-19 0Кл. 1 11. 3 Скин эффект в цилиндрической геометрии.
Скин-эффект (от англ. skin-кожа) - это явление затухания электромагнитных волн по мере их проникновения в проводящую среду. Переменное во времени электрическое поле 3 0и связанное с ним магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены большей частью в относительно тонком приповерхностном слое толщиной 7 d 0, называемом 1 глубиной скин-слоя 0. Происхождение скин-эффекта объясняется тем, что под действием внешнего переменного поля в проводнике свободные электроны создают токи, поле которых компенсирует внешние поле в объеме проводника. Скин-эффект проявляется у металлов, в плазме и в других средах с достаточно большой проводимостью[12, 15].
Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости 7s 0, циклической частоты электромагнитного поля 7 w 0, от состояния поверхности. На малых частотах 7 d 0 велика, убывает с ростом частоты и для металлов на частотах оптического диапазона оказывается сравнимой с длинной волны 7 l` 010 5-5 0 см. При еще больших частотах, превышающих плазменную частоту 0, в проводниках оказывается возможным распространение электромагнитных волн. Их затухание определяется как внутризонными, так и межзонными электронными переходами.
Теоретическое описание скин-эффекта сводится к решению кинетического уравнения для носителей заряда с целью определения связи тока с полем и последующему решению уравнений Максвелла. Наиболее просто описывается нормальный скин-эффект, который имеет место, когда 7 d 0 велика по сравнению с эффективной длиной 7 0 пробега электронов. Величина l определяется расстоянием, проходимым электроном за время 7 t 0 между двумя актами рассеяния( 7t 0-время релаксации) либо за период поля 1/ 7w 0 в зависимости от того, какая из этих величин меньше. В общем случае: v l= --------, (1. 3. 1) 7t 5-1 0-i 7w где v-скорость электрона.
Известно 3 вида скин-эффекта: нормальный, аномальный и нелинейный. В случае аномального скин-эффекта происходит рассмотрение ситуации, когда l > 7 d 0; он наблюдается в СВЧ-диапазоне в чистых металлах при низких температурах. При достаточно высоких значениях напряженности электромагнитного поля, когда параметры среды, например проводимость 7 d 0, начинают зависеть от поля, скин-эффект становится нелинейным, т. е. толщина скин-слоя 7 d 0 также начинает зависеть от интенсивности электромагнитного поля.
Подробно рассмотрим распределение плотности тока по сечению проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный ток, т. е. нормальный скин-эффект. Точное решение зависит, вообще говоря, не только от формы проводника, но и от способа возбуждения в нем тока, т. е. от характера внешнего переменного магнитного поля, индуцирующего ток. Есть однако важный случай, когда распределение тока можно считать независящим от способа его возбуждения. Это ток в тонком проводе, толщина которого мала по сравнению с его длиной.
При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода будем считать последний прямолинейным. При этом электрическое поле параллельно оси провода, а вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости перпендикулярной к оси провода[12].
Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особенно прост в связи с тем, что вид поля провода заранее ясен. Действительно, в силу симметрии на поверхности провода вектор напряженности электрического поля зависит только от времени. Но при таком граничном условии уравнения 76 6 div E = 0 и rot E = 0 7 0 7 0 (1. 3. 2) 76
в пространстве вне провода имеет лишь решение E = const 7 0не зависящие от пространственных координат во всем пространстве. Отсюда следует, что магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному мгновенному значению переменного тока. [15] Итак пусть имеется очень длинный проводник радиуса R. Используя уравнения Максвелла и выражение для rot в цилиндрической системе координат: 76 0 ¦ 7 ( 0 4 7 ) ( )
76 0 7ч 0B 7ы 0 ¦ 76 2 01 7 0 7ч 0E 4z 7ч 0E 7f 4 726 2 ч 0E 4r 7 ч 0E 4z 726 rotE=----- ; ¦ rotE= 72 0- 7 0---- 4 0- 4 ----- 72 0e 4r 0+ 72 0---- + 4 0---- 72 0e 7f 0+ 7ч 0t ¦ 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2 (1. 3. 3) ¦ 7 9 0 4 70 9 0 76 0 ¦ 76 0 76 ч 0D ¦ 7 ( 0 7 )
rotH=j+---- ; ¦ 7 2 01 7 ч 0(rE 7f 0) 7 01 7 ч 0E 4z 7 26 7ч 0t 7я 0 ¦ 7 0 + 72 0- 7 0------ 7 0- 4 0- 7 0----- 72 0e 4z 0 (1. 3. 4) (1. 3. 5) ¦ 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2 Закон Ома ¦ 7 9 0 7 0 76 0 76 0 ¦
j= 7s 0E ¦ 7 ( 0 4 7 ) ( ) (1. 3. 6) ¦ 76 2 01 7 0 7ч 0H 4z 7ч 0H 7f 4 726 2 ч 0H 4r 7 ч 0H 4z 726 ¦ rotH= 72 0- 7 0---- 4 0- 4 ----- 72 0e 4r 0+ 72 0---- + 4 0---- 72 0e 7f 0+ Материальные урав-¦ 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2 нения ¦ 7 9 0 4 70 9 0 76 6 0 7) 0 ¦ 7( 0 7 )
D= 7ee 40 0E 72 0 (1. 4. 7) ¦ 72 01 7 ч 0(rH 7f 0) 7 01 7 ч 0H 4z 7 26 76 0 76 0 72 0 ¦ 7 0+ 72 0- 7 0------ 7 0- 4 0- 7 0----- 72 0e 4z 0 (1. 3. 8) B= 7mm 40 0H 70 0 ¦ 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2 79 0 7 0 76 0 7 6 76 ч 0H 76 0 76 ч 0E
rotE=- 7mm 40-- 0 (1. 3. 9); rotH= 7s 0E+ 7ee 40-- 0 (1. 3. 10); 7ч 0t 7 0 7 ч 0t 7ч Из симметрии задачи видно , что --=0 , тогда получим: 7чf
7ч 0E 7f ч 0H 4r 7 0 ¦ 7 ч 0H 7f 4 7 ч 0E 4r - --- =- 7mm 40 0--- (1. 3. 11) ¦ - ---= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0--- (1. 3. 12) 7ч 0z 7 ч 0t 7 0 ¦ 7 ч 0z 7 4 7 ч 0t ¦
7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 ¦ 7 ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f --- - ---=- 7mm 40 0--- (1. 2. 13) ¦ --- - ---= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0---(1. 3. 14) 7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t ¦ 7 ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t ¦
1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 0 ¦ 7 01 7ч 0(rH 7f 0) 7 0 7ч 0E 4z - ------=- 7mm 40 0--- (1. 3. 15) ¦ - ------= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0--- (1. 3. 16) r 7ч 0r 7ч 0t ¦ 7 0r 7ч 0r 7 0 7ч 0t Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы: ш1. 0
1 7 ч 0(rH 7f 0) 7 ч 0E 4z 0 7) 0 ¦ 1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 7 ) - ------= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0--- (а) 72 0 ¦ - ------=- 7mm 40 0--- 7 2 r 7 0 7ч 0r 7 ч 0t 72 0 ¦ r 7ч 0r 7ч 0t 7 2 72 0 ¦ 7 2
7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 72 0 ¦ 7ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f 2 --- - ---=- 7mm 40 0--- (б) 78 0(1)¦ --- - ---= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0--- 7 8 0(2) 7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t 72 0 ¦ 7ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t 7 2 72 0 ¦ 7 2
7чHf 0 7 4 7ч 0Er 72 0 ¦ 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4r 7 2 - ---= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0--- (в) 72 0 ¦ - --- =- 7mm 40 0--- 7 2 7ч 0z 7 0 7 4 7ч 0t 70 0 ¦ 7ч 0z 7 ч 0t 7 0 ¦
С компонентами E 4z 0, H 7f 0, E 4r 0 эта сис-¦С компонентами H 4z 0, E 7f 0, H 4r 0 эта система описывает скин-эффект. ¦тема описывает вихревые токи.
Будем рассматривать только первую систему, описывающую скин-эффект. Очевидно, что если в каком либо месте проводника поле периодически меняется во времени, то оно будет периодически меняться и во всех остальных точках проводника. При отыскании периодических решений системы (1) вместо синуса или косинуса удобно пользоваться комплексной показательной функцией, а затем с помощью известной формулы Эйлера: 4i 7ф e 4 = 0cos 7a 0+isin 7a 0; (1. 3. 17) перейти к вещественной форме решения.
Кроме того отметим, что уравнения в системе (1) линейны и однородны и следовательно для них выполняется принцип суперпозиции:
сумма произвольного числа решений уравнения сама является решением того же уравнения. Ищем решение системы (1) в виде: i 7w 0t 7 ч ) E 4z 0=E 4z 0(r)e --=i 7w 2 i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 2 0 (1. 3. 18) H 7f 0=H 7f 0(r)e 7 - ч 2 i 7w 0t => --=-ik 4z 7 2 E 4r 0=E 4r 0(r)e 7 ч 0z 7 0
Положим k 4z 0=0 так , как мы ищем колебательное решения , а не
волновое. Кроме того считаем , что 7 s > e 40 7ew 0 поэтому 7 e 0=0. Тогда: ¦ ik 4z 0H 7f 0= 7s 0E 4r 0 => E 4r 0=0 (1. 3. 19) ¦ ¦ ¦ 7s 0 7 ч 0E 4z
7ч 0E 4z 7я 0 ¦ H 7f 0 = -------- ----- (1. 3. 22) ----- = i 7mm 40 7w 0H 7f 0 (1. 3. 20) ¦ i 7mm 40 7ws 0 7ч 0r 7ч 0r ¦ ¦ 7ч 0H 7f 0 1 ¦ --- + - H 7f 0 = 7 s 0E 4z 0 (1. 2. 21) ¦ 7ч 0r r 7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z
---- + - --- 4 0- i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1. 3. 23) 7ч 0r 52 0 r 7ч 0r Рассмотрим 2 возможных случая: _Снаружи проводника . ( 7s 0=0) - ¬
7ч 52 0E 4z 0 7 01 7 ч 0E 4z 0 1 7 ч 0 ¦ 7ч 0E 4z 0 ¦ 7 ч 0E 4z ---- + - --- = 0 => - --¦ r--- ¦ = 0 => r--- = const 41 7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r r 7 ч 0r¦ 7 0 7ч 0r ¦ 7 ч 0r L 7ч 0E 4z 0 const 41 7 ! 0 const 41
--- 4 0= ------ => E 4z 0= 72 0 ------ dr (1. 3. 24) 7ч 0r 7к 0 r 7 1 0 r E 4z 0=const 41 0ln(r)+const 42 0 (1. 3. 25)
Т. к. при r 76$ 0 поле не может бесконечно возрастать => const 41 0=0, следовательно E=const 42 0 т. е. не зависит от пространственных координат вокруг проводника. 2) _ Внутри проводника 7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z
---- + - --- 4 0-i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1. 3. 26) 7ч 0r 52 0 r 7ч 0r Очевидны граничные условия: I
E 4z 0¦ =E 4z 0¦ и H 7f 0¦ =H 7f 0¦ = -- ¦r=R ¦r=R ¦r=R ¦r=R 2 7p 0R (1. 3. 27) Таким образом мы получили уравнение: 7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z ---- + - --- 4 0+ k 52 0E 4z 0 = 0 (1. 3. 28) 7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r где k 52 0=-i 7mm 40 7ws 7ы 0 - 1 ¬ 7ч 0E 4z H 7f 0=¦ ----- ¦ --- (1. 3. 29) L i 7mm 40 7w 0 - 7ч 0r
Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана (или Вебера )[8, 18]: E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr)+BN 40 0(k 41 0r) (1. 3. 30)
Однако N 40 0(x) 76$ 0при x 76 00 , поэтому мы вынуждены отбросить это решение и окончательно записать: E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr) (1. 3. 31) Или общее решение: i 7w 0t E(r, z, t)=AJ(kr)e (1. 3. 32)
7|\ 0 1-i 7|\\\\\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|\\\\ т. к. 7? 0-i=----; k= 7? mm 40 7ws 5 ---- 0; k= - ----; 7d 0=1/ 7? mm 40 7ws 7|\ |\ |\ 7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02 7d 0 - глубина проникновения.
Как известно, расчет значений функции Бесселя комплексного аргумента представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной степенью наглядности. Вместе с тем хорошо известно , что уравнение вида: 7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z ---- + - --- 4 0- i 7l 52 0E 4z 0 = 0 (1. 3. 33) 7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r 7l 52 0= 7mm 40 7ws 0 ; 7 l 0=1/ 7d имеет решение в виде комбинации функций Кельвина:
E 4z 0=A[ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)]+B[ker 40 0( 7l 0r)+kei 40 0( 7l 0r)] (1. 3. 34)
Причем функции ker 40 0( 7l 0r) и kei 40 0( 7l 0r) мы должны отбросить по тем же соображениям , что и функции Неймана в предыдущем решении. Это же легко подтвердить из следующих соображений: 7|\ 0 -i 7p 0/4 (1-i)/ 7? 02 7 0=e (1. 3. 35) Тогда согласно [8] получим: -i 7p 0/4
ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)=I 40 0( 7l 0re ) (1. 3. 36)
Очевидно , что : ber 40 0( 7l 0r)=Re{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1. 3. 37) bei 40 0( 7l 0r)=Jm{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1. 3. 38) Очевидно , что общее решение будет иметь вид : i 7w 0t
E 4z 0(r, t, z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}e (1. 3. 39) Преобразуем последнее выражение :
E 4z 0(r, t, z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}{cos( 7w 0t-k 4z 0z)+isin( 7w 0t)}= - ¬
=A¦{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)-ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}¦+ L - ¬
+i¦{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)+ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}¦= L - 7 |\\\\\\\\\\
=A¦((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 7 0cos( 7w 0t+ 7f 0)+ L 7|\\\\\\\\\\ 0 ¬
+i((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0 sin( 7w 0t+ 7f 0)¦; (1. 3. 40) bei 40 0(r/ 7d 0) где tg 7f 0=---------- ber 40 0(r/ 7d 0) 7|\\\\\\\\\\
E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0{cos( 7w 0t+ 7f 0)+isin( 7w 0t+ 7f 0)} (1. 3. 41)
Далее необходимо перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл. Как было показано выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным решениям. 7|\\\\\\\\\\
E 4z1 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1. 3. 42) 7|\\\\\\\\\\
E 4z2 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0sin( 7w 0t+ 7f 0) (1. 3. 43) 7|\\\\ где 7 f 0 - определяется выше , а 7d 0=1/ 7? mm 40 7ws
Оба решения одинаковы так как от функции синуса всегда можно перейти к косинусу путем изменения начала отсчета времени. Окончательно получим: