Элективный курс "Многогранники"

2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА информатики и теории преподавания математики

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

по специальности 050201.65 Математика-Физика 050203.65

Тема работы:

Элективный курс «Многогранники»

Выполнила: студентка 5 курса

физико-математического факультета

специальности математика-физика

Чеснокова Ирина Леонидовна

Научный руководитель: кандидат пед. наук,

доц. каф. информатики и методики

преподавания математики

Бондаренко Татьяна Евгеньевна

Воронеж-2008

Содержание

Введение 3

Глава I. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования 5

1.1 Аспекты организации профильного обучения 5

1.1.1 Цели профильного обучения 5

1.1.2 Общественный запрос на профилизацию школы 6

1.1.3 Зарубежный опыт профильного обучения 8

1.1.4 Отечественный опыт профильного обучения 10

1.2 Содержательные аспекты профильного обучения 12

1.2.1 Возможные направления профилизации и структуры профилей 12

1.2.2 Возможные формы организации профильного обучения 14

1.2.3 Этапы введения профильного обучения 17

1.2.4 Примерные учебные планы для некоторых возможных профилей 18

Глава II. Элективный курс «Многогранники» 22

2.1 Структура элективного курса 22

2.1.1 Пояснительная записка 22

2.1.2 Учебно-тематический план элективного курса «Многогранники» 22

2.2 Содержание элективного курса 23

Заключение 76

Литература 77

Введение

Одно из направлений модернизации российского образования связано с переводом старшей школы на профильное обучение. В соответствии с «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов: базовых, профильных, элективных.

Базовые общеобразовательные курсы отражают обязательную для всех школьников инвариантную часть образования и направлены на завершение общеобразовательной подготовки обучающихся.

Профильные курсы обеспечивают углубленное изучение отдельных предметов и ориентированы на подготовку выпускников школы к последующему профессиональному образованию.

Элективные курсы (курсы по выбору) связаны с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Они являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ.

По назначению можно выделить несколько типов элективных курсов, одни из них являются как бы "надстройкой" профильных курсов и обеспечивают для наиболее способных школьников повышенный уровень изучения предмета. Другие - обеспечивают межпредметные связи и дают возможность изучать смежные учебные предметы на профильном уровне. Третий тип элективных курсов призван помочь школьнику, обучающемуся в профильном базовом уровне, подготовиться к сдаче ЕГЭ по этому предмету на повышенном уровне.

В связи с выше сказанным, актуальна проблема обеспечения учителя комплектом элективных курсов по математике.

Цель настоящей работы состояла в создании элективного курса для учащихся профильного уровня обучения математике.

В качестве темы элективного курса выбрана тема «Многогранники», содержащая богатые возможности для решения образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения.

Выбор темы элективного курса определялся задействованностью понятия многогранники.

Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

-- изучить нормативные документы, регламентирующие введение профильного обучения;

проанализировать литературу по выбранной теме "Многогранники";

-- отобрать содержание элективного курса, разработать его структуру и методические рекомендации по использованию.

Объектом нашего исследования был выбран процесс обучения математике на профильном уровне, а его предметом -- элективные курсы в системе профильного обучения.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе рассматривается концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Во второй главе приводится содержание элективного курса " Многогранники ". В ней дано содержание девяти занятий элективного курса «Многогранники», в каждое из которых включены следующие вопросы: основной теоретический материал, вопросы для учащихся, задачи для решения на занятии, домашнее задание (общее для всей группы и индивидуальное), список литературы для самостоятельного изучения учащимися.

Разработанный элективный курс может быть полезен для учителей математики профильного уровня обучения, а также для студентов математических специальностей педагогических вузов.

Глава I. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования

1.1 Аспекты организации профильного обучения

1.1.1 Цели профильного обучения

В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2001г. № 1756-р об одобрении Концепции модернизации российского образования на период до 2010г. на старшей ступени общеобразовательной школы предусматривается профильное обучение, ставится задача создания "системы специализированной подготовки профильного обучения в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда <...> отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования ".

Прежде всего, следует разграничить понятия "профильное обучение" и "профильная школа".

Профильное обучение - средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Профильная школа есть институциональная форма реализации этой цели. Это основная форма, однако, перспективными в отдельных случаях могут стать иные формы организации профильного обучения, в том числе выводящие реализацию соответствующих образовательных стандартов и программ за стены отдельного общеобразовательного учреждения.

Профильное обучение направлено на реализацию личностно ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательной траектории.

Переход к профильному обучению преследует следующие основные цели:

-- обеспечить углубленное изучение отдельных предметов программы полного общего образования;

создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;

-- расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

1.1.2 Общественный запрос на профилизацию школы

Основная идея обновления старшей ступени общего образования состоит в том, что образование здесь должно стать более индивидуализированным, функциональным и эффективным.

Многолетняя практика убедительно показала, что, как минимум, начиная с позднего подросткового возраста, примерно с 15 лет, в системе образования должны быть созданы условия для реализации обучающимися своих интересов, способностей и дальнейших (послешкольных) жизненных планов.

Социологические исследования доказывают, что большинство старшеклассников (более 70%) отдают предпочтение тому, чтобы "знать основы главных предметов, а углубленно изучать только те, которые выбираются, чтобы в них специализироваться". Иначе говоря, профилизация обучения в старших классах соответствует структуре образовательных и жизненных установок большинства старшеклассников. При этом традиционную позицию "как можно глубже и полнее знать все изучаемые в школе предметы (химию, физику, литературу, историю и т. д.)" поддерживают около четверти старшеклассников.

К 15-16 годам у большинства учащихся складывается ориентация на сферу будущей профессиональной деятельности. Так, по данным социологических опросов, проведенных в 2002 году Центром социологических исследований Мин. образования России, "профессиональное самоопределение тех, кто в дальнейшем намерен учиться в ПТУ или техникуме (колледже) начинается уже в 8-м классе и достигает своего пика в 9-м, а профессиональное самоопределение тех, кто намерен продолжить учебу в вузе, в основном складывается в 9-м классе". При этом примерно 70-75 % учащихся в конце 9-го класса уже определились в выборе возможной сферы профессиональной деятельности.

В настоящее время в высшей школе сформировалось устойчивое мнение о необходимости дополнительной специализированной подготовки старшеклассников для прохождения вступительных испытаний и дальнейшего образования в вузах. Традиционная непрофильная подготовка старшеклассников в общеобразовательных учреждениях привела к нарушению преемственности между школой и вузом, породила многочисленные подготовительные отделения вузов, репетиторство, платные курсы и др.

Большинство старшеклассников считают, что существующее ныне общее образование не дает возможностей для успешного обучения в вузе и построения дальнейшей профессиональной карьеры. В этом отношении нынешний уровень и характер полного среднего образования считают приемлемым менее 12% опрошенных учащихся старших классов (данные Всероссийского центра изучения общественного мнения).

1.1.3 Зарубежный опыт профильного обучения

Реформы образования происходят сейчас в большинстве развитых стран мира. При этом особое место в них отводится проблеме профильной дифференциации обучения.

В большинстве стран Европы (Франция, Голландия, Шотландия, Англия, Швеция, Финляндия, Норвегия, Дания и др.) все учащиеся до 6-го года обучения в основной общеобразовательной школе формально получают одинаковую подготовку. К 7-му году обучения ученик должен определиться в выборе своего дальнейшего пути. Каждому ученику предлагаются два варианта продолжения образования в основной школе: "академический", который в дальнейшем открывает путь к высшему образованию, и "профессиональный", в котором обучаются по упрощенному учебному плану, содержащему преимущественно прикладные и профильные дисциплины. При этом многие ученые-педагоги европейских стран считают нецелесообразной раннюю профилизацию (в основной школе).

В США профильное обучение существует на последних двух или трех годах обучения в школе. Учащиеся могут выбрать три варианта профиля: академический, общий и профессиональный, в котором дается предпрофессиональная подготовка. Вариативность образовательных услуг в них осуществляется за счет расширения спектра различных учебных курсов по выбору. При этом прежде всего учитываются запросы и пожелания родителей, планирующих профиль для своих детей.

Анализ зарубежного опыта позволяет выделить следующие общие для всех изученных стран черты организации обучения на старшей ступени общего образования:

Общее образование на старшей ступени во всех развитых странах является профильным.

Как правило, профильное обучение охватывает три, реже два последних года обучения в школе.

Доля учащихся, продолжающих обучение в профильной школе, неуклонно возрастает во всех странах и составляет в настоящее время не менее 70%.

Количество направлений дифференциации, которые можно считать аналогичными профилей, невелико. Например, два в англоязычных странах (академический и неакадемический), три во Франции (естественно научный, филологический, социально-экономический) и три в Германии ("язык - литература - искусство", "социальные науки", "математика - точные науки - технология").

Организация профильной подготовки различается по способу формирования индивидуального учебного плана обучающегося: от достаточно жестко фиксированного перечня обязательных учебных курсов (Франция, Германия) до возможности набора из множества курсов, предлагаемых за весь период обучения (Англия, Шотландия, США и др.). Как правило, школьники должны выбрать не менее 15 и не более 25 учебных курсов продолжительностью до одного семестра. Аналогами таких курсов в России можно было бы считать учебные модули, из которых возможно строить множество самостоятельных курсов.

Количество обязательных учебных предметов (курсов) на старшей ступени по сравнению с основной существенно меньше. Среди них присутствуют в обязательном порядке естественные науки, иностранные языки, математика, родная словесность, физическая культура.

Как правило, старшая профильная школа выделяется как самостоятельный вид образовательного учреждения: лицей - во Франции, гимназия - в Германии, "высшая" школа - в США.

Дипломы (свидетельства) об окончании старшей (профильной) школы обычно дают право прямого зачисления в высшие учебные заведения за некоторыми исключениями, например, во Франции прием в медицинские и военные вузы проходит на основе вступительных экзаменов.

Весь послевоенный период количество профилей и учебных курсов на старшей ступени школы за рубежом постоянно сокращалось, одновременно росло число обязательных предметов и курсов. При этом все более отчетливо проявлялись влияние и возрастающая ответственность центральной власти за организацию и результаты образования. Это отражается на всех этапах проведения экзаменов, в разработке национальных образовательных стандартов, уменьшении разнообразия учебников и др.

1.1.4 Отечественный опыт профильного обучения

Российская школа накопила немалый опыт по дифференцированному обучению учащихся. Первая попытка осуществления дифференциации обучения в школе относится к 1864 г. Соответствующий указ предусматривал организацию семиклассных гимназий двух типов: классическая (цель - подготовка в университет) и реальная (цель - подготовка к практической деятельности и к поступлению в специализированные учебные заведения).

Новый импульс идея профильного обучения получила в процессе подготовки в 1915-1916 годах реформы образования, осуществлявшейся под руководством министра просвещения П. Н. Игнатьева. По предложенной структуре 4 - 7-е классы гимназии разделялись на три ветви: новогуманитарную, гуманитарно-классическую, реальную.

В 1918 г. состоялся первый Всероссийский съезд работников просвещения, и было разработано Положение о единой трудовой школе, предусматривающее профилизацию содержания обучения на старшей ступени школы. В старших классах средней школы выделялись три направления: гуманитарное, естественно-математическое и техническое.

В 1934 г. ЦК ВКП(б) и Совет народных комиссаров СССР принимают постановление "О структуре начальной и средней школы в СССР", предусматривающее единый учебный план и единые учебные программы. Однако введение на всей территории СССР единой школы со временем высветило серьезную проблему: отсутствие преемственности между единой средней школой и глубоко специализированными высшими учебными заведениями, что заставило ученых-педагогов в который раз обратиться к проблеме профильной дифференциации на старших ступенях обучения.

Академия педагогических наук в 1957 г. выступила инициатором проведения эксперимента, в котором предполагалось провести дифференциацию по трем направлениям: физико-математическому и техническому; биолого-агрономическому; социально-экономическому и гуманитарному. С целью дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы в 1966 г. были введены две формы дифференциации содержания образования по интересам школьников: факультативные занятия в 8 - 10-х классах и школы (классы) с углубленным изучением предметов, которые, постоянно развиваясь, сохранились вплоть до настоящего времени.

В конце 80-х - начале 90-х годов в стране появились новые виды общеобразовательных учреждений (лицеи, гимназии), ориентированные на углубленное обучение школьников по избираемым ими образовательным областям с целью дальнейшего обучения в вузе. Также многие годы успешно существовали и развивались специализированные (в известной мере, профильные) художественные, спортивные, музыкальные и др. школы. Этому процессу способствовал Закон Российской Федерации 1992 года "Об образовании", закрепивший вариативность и многообразие типов и видов образовательных учреждений и образовательных программ.

Таким образом, направление развития профильного обучения в российской школе в основном соответствует мировым тенденциям развития образования.

Вместе с тем сеть общеобразовательных учреждений с углубленным изучением предметов (гимназии, лицеи и др.) пока развита недостаточно. Для большинства школьников они малодоступны. Это ведет к таким негативным явлениям, как массовое репетиторство, платные подготовительные курсы при вузах и т.п. Профилизация обучения в старших классах школы должна внести позитивный вклад в разрешение подобных проблем.

1.2 Содержательные аспекты профильного обучения

1.2.1 Возможные направления профилизации и структуры профилей

Важнейшим вопросом организации профильного обучения является определение структуры и направлений профилизации, а также модели организации профильного обучения. При этом следует учитывать, с одной стороны, стремление наиболее полно учесть индивидуальные интересы, способности, склонности старшеклассников (это ведет к созданию большого числа различных профилей), с другой - ряд факторов, сдерживающих процессы такой во многом стихийной дифференциации образования: введение единого государственного экзамена, утверждение стандарта общего образования, необходимость стабилизации федерального перечня учебников, обеспечение профильного обучения соответствующими педагогическими кадрами и др.

Очевидно, что любая форма профилизации обучения ведет к сокращению инвариантного компонента. В отличие от привычных моделей школ с углубленным изучением отдельных предметов, когда один-два предмета изучаются по углубленным программам, а остальные- на базовом уровне, реализация профильного обучения возможна только при условии относительного сокращения учебного материала непрофильных предметов, изучаемых с целью завершения базовой общеобразовательной подготовки учащихся.

Модель общеобразовательного учреждения с профильным обучением на старшей ступени предусматривает возможность разнообразных комбинаций учебных предметов, что и будет обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система должна включать в себя следующие типы учебных предметов: базовые общеобразовательные, профильные и элективные.

Базовые общеобразовательные предметы являются обязательными для всех учащихся во всех профилях обучения. Предлагается следующий набор обязательных общеобразовательных предметов: математика, история, русский и иностранные языки, физическая культура, а также интегрированные курсы обществоведения (для естественно-математического, технологического и иных возможных профилей), естествознания (для гуманитарного, социально-экономического и иных возможных профилей).

Профильные общеобразовательные предметы - предметы повышенного уровня, определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения. Например, физика, химия, биология- профильные предметы в естественно-научном профиле; литература, русский и иностранные языки - в гуманитарном профиле; история, право, экономика и др.- в социально-экономическом профиле и т. д. Профильные учебные предметы являются обязательными для учащихся, выбравших данный профиль обучения.

Содержание указанных двух типов учебных предметов составляет федеральный компонент государственного стандарта общего образования.

Достижение выпускниками уровня требований государственного образовательного стандарта по базовым общеобразовательным и профильным предметам определяется по результатам единого государственного экзамена.

Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента учебного плана и выполняют две функции. Одни из них могут «поддерживать» изучение основных профильных предметов на заданном профильным стандартом уровне. Например, элективный курс «Математическая статистика» поддерживает изучение профильного предмета экономики. Другие элективные курсы служат для внутри профильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий. Например, курсы «Информационный бизнес», «Основы менеджмента» и др. в социально-гуманитарном профиле; курсы «Химические технологии», «Экология» и др. в естественно-научном профиле. Количество элективных курсов, предлагаемых в составе профиля, должно быть избыточно по сравнению с числом курсов, которое обязан выбрать учащийся. По элективным курсам единый государственный экзамен не проводится.

При этом примерное соотношение объемов базовых общеобразовательных, профильных общеобразовательных предметов и элективных курсов определяется пропорцией 50:30:20.

Предлагаемая система не ограничивает общеобразовательное учреждение в организации того или иного профиля обучения (или нескольких профилей одновременно), а школьника в выборе различных наборов базовых общеобразовательных, профильных предметов и элективных курсов, которые в совокупности и составят его индивидуальную образовательную траекторию. Во многих случаях это потребует реализации нетрадиционных форм обучения, создания новых моделей общего образования. В приложении в качестве примера реализации одной из моделей профильного обучения предлагаются варианты учебных планов для четырех возможных профилей: естественно-математический, социально-экономический, гуманитарный, технологический. Следует отметить, что возможно такое построение образовательного процесса, когда комбинации общеобразовательных и профильных предметов дадут самые различные формы профилизации: для общеобразовательного учреждения, для отдельных классов, для групп учащихся.

1.2.2 Возможные формы организации профильного обучения

Предлагаемая концепция профильного обучения исходит из многообразия форм его реализации.

Возможна такая организация образовательных учреждений различных уровней, при которой не только реализуется содержание выбранного профиля, но и предоставляется возможность учащимся осваивать интересное и важное для каждого из них содержание из других профильных предметов. Такая возможность может быть реализована как посредством разнообразных форм организации образовательного процесса (дистанционные курсы, факультативы, экстернат), так и за счет кооперации (объединения образовательных ресурсов) различных образовательных учреждений (общеобразовательные учреждения, учреждения

дополнительного, начального и среднего профессионального образования и др.). Это позволит старшекласснику одного общеобразовательного учреждения при необходимости воспользоваться образовательными услугами других учреждений общего, начального и среднего профессионального образования, обеспечивающих наиболее полную реализацию интересов и образовательных потребностей учащихся.

Таким образом, можно выделить несколько вариантов (моделей) организации профильного обучения.

1) Модель внутришкольной профилизации Общеобразовательное учреждение может быть однопрофильным (реализовывать только один избранный профиль) и многопрофильным (организовать несколько профилей обучения).

Общеобразовательное учреждение может быть в целом не ориентировано на конкретные профили, но за счет значительного увеличения числа элективных курсов предоставлять школьникам (в том числе в форме многообразных учебных межклассных групп) возможность в полной мере осуществлять свои индивидуальные профильные образовательные программы, включая в них те или иные профильные и элективные курсы.

2) Модель сетевой организации

В подобной модели профильного обучения учащихся конкретной школы осуществляется за счет целенаправленного и организованного привлечения образовательных ресурсов иных образовательных учреждений. Оно может строиться в двух основных вариантах.

Первый вариант связан с объединением нескольких общеобразовательных учреждений вокруг наиболее сильного общеобразовательного учреждения, обладающего достаточным материальным и кадровым потенциалом, которое выполняет роль "ресурсного центра". В этом случае каждое общеобразовательное учреждение данной группы обеспечивает преподавание в полном объеме базовых общеобразовательных предметов и ту часть профильного обучения (профильные предметы и элективные курсы), которую оно способно реализовать в рамках своих возможностей. Остальную профильную подготовку берет на себя "ресурсный центр".

Второй вариант основан на кооперации общеобразовательного учреждения с учреждениями дополнительного, высшего, среднего и начального профессионального образования и привлечении дополнительных образовательных ресурсов. В этом случае учащимся предоставляется право выбора получения профильного обучения не только там, где они учатся, но и в кооперированных с общеобразовательным учреждением образовательных структурах (дистанционные курсы, заочные школы, учреждения профессионального образования и др.).

Предложенный подход не исключает возможности существования и дальнейшего развития универсальных (непрофильных) школ и классов, не ориентированных на профильное обучение, и различного рода специализированных общеобразовательных учреждений (хореографические, музыкальные, художественные, спортивные школы, школы-интернаты при крупных вузах и др.).

Решение об организации профильного обучения в конкретном образовательном учреждении принимает его учредитель по представлению администрации образовательного учреждения и органов его общественного самоуправления.

Взаимосвязь профильного обучения со стандартами общего образования и единым государственным экзаменом

Важна связь профильного обучения на старшей ступени с общей установкой на введение государственного стандарта общего образования. Если модернизация образования предусматривает введение института единого государственного экзамена, если речь идет о становлении общенациональной системы контроля качества образования, то, очевидно, объективность и реализуемость подобной системы может быть обеспечена только введением соответствующих образовательных стандартов не только для базовых общеобразовательных, но и для профильных общеобразовательных предметов.

В связи с этим профилизация обучения в старшей школе должна быть прямо соотнесена с вводимым единым государственным экзаменом.

1.2.3 Этапы введения профильного обучения

При планировании введения профильного обучения следует принять во внимание объективную необходимость подготовительной работы по обновлению содержания образования и его обеспечения (стандарты, учебные планы, примерные программы, учебники и методические пособия, переподготовка кадров и проч.). Следует также учитывать необходимость соотнесения планируемых действий с рядом осуществляемых общесистемных нововведений в образовании. В частности, введение единого государственного экзамена. С учетом реально складывающейся ситуации предлагаются следующие этапы перехода на профильное обучение в среднесрочной перспективе.

Предварительным этапом введения профильного обучения является начало перехода на предпрофильное обучение в последнем классе основной ступени.

При содействии муниципальных и региональных органов управления образованием необходимо организовать повышение квалификации учителей и администрации общеобразовательных учреждений, принять меры по обеспечению школ учебными пособиями и при необходимости учебниками, отвечающими задачам профильного обучения.

Перед введением профильного обучения в общеобразовательных учреждениях должен быть проведен значительный объем работ по обеспечению предстоящего выбора учащимися профилей обучения (анкетирование, беседы с родителями и др.).

Параллельно должна быть осуществлена разработка процедуры приема выпускников предпрофильных классов в профильные школы (классы, группы). Органам управления образованием различных уровней целесообразно разработать предложения по сетевому взаимодействию образовательных учреждений, обеспечивающему наиболее сбалансированный спектр возможностей получения старшеклассниками полного среднего образования на профильном уровне, а также в непрофильных (общеобразовательных) школах, классах и группах.

На основе примерных нормативов и расчетов субъекты Российской Федерации должны представить предложения в проекты территориальных бюджетов с целью дополнительного бюджетного финансирования работы старших классов общеобразовательных учреждений, планирующих переход на профильное обучение.

На следующем этапе должна быть продолжена работа по созданию нового поколения учебной литературы, уточнению базисных учебных планов, разработке и принятию примерных учебных планов профилей и ежегодному расширению числа школ и обучающихся, переходящих на профильное обучения на основе соответствующих региональных программ.

1.2.4 Примерные учебные планы для некоторых возможных профилей

Таблица. Естественно-математический профиль

Таблица. Социально-экономический профиль

Таблица. Гуманитарный профиль

Таблица. Технологический профиль (специализация - информационные технологии)

Таблица. ПРИМЕРНЫЙ УЧЕБНЫЙ ПЛАН для универсального обучения (непрофильные школы и классы)

Глава II. Элективный курс «Многогранники»

2.1 Структура элективного курса

2.1.1 Пояснительная записка

Элективный курс для профильной подготовки учащихся посвящен систематическому изложению учебного материала, показана связь теории многогранников с современными разделами математики: топологией, теорией графов.

Для курса характерна практическая направленность. Введены элементы истории и практических приложений. Изложение практических приемов решения сопровождается необходимыми теоретическими сведениями.

Элективный курс "Многогранники" способствует воспитанию чувства красоты математики посредством широкого использования многогранников в архитектуре, живописи, декоративно-прикладном искусстве. Изготовление моделей правильных, полуправильных и правильных звёздчатых многогранников служит развитию пространственного воображения и конструктивных навыков учащихся.

Таким образом, основная роль элективного курса «Многогранники» состоит в совершенствовании подготовки учащихся старших классов физико-математического профиля.

2.1.2 Учебно-тематический план элективного курса «Многогранники»

2.2 Содержание элективного курса

ЗАНЯТИЕ №1. Многогранники. Основные определения.

Будем использовать определение многогранника как тела, граница которого состоит из конечного числа многоугольников. При этом понятия тела и границы тела нуждаются в уточнении. Хотя они имеют довольно наглядный смысл, их строгое определение является сложным и использует такие начальные понятия топологии, как внутренняя и граничная точки, внутренность, граница, связность, ограниченность.

Определение: Точка х0 пространственной фигуры Ф называется внутренней, если вблизи этой точки нет точек, не принадлежащих фигуре Ф, т.е. существует шар с центром в точке х0, целиком лежащий в фигуре Ф.

Определение: Точка х0 в пространстве называется граничной точкой фигуры Ф, если сколько угодно близко от точки х0 имеются как точки, принадлежащие фигуре Ф, так точки, не принадлежащие фигуре Ф, т.е. любой шар с центром в точке х0 содержит как точки, принадлежащие фигуре Ф, так и точки, не принадлежащие фигуре Ф. Например, центр О куба со стороной 1 является внутренней точкой куба, так как шар с центром в точке О и радиусом целиком содержится в кубе. Точка А является граничной точкой этого куба, поскольку любой шар с центром в точке а содержит точки, принадлежащие кубу (например, точка А), и точки не принадлежащие кубу (например, точка Е).

Определение: Внутренностью фигуры Ф называется фигура Ф° , состоящая из всех ее внутренних точек. Фигура Ф называется открытой, если Ф = Ф°.

Определение: Границей фигуры Ф называется фигура Г(Ф), состоящая из всех ее граничных точек фигуры Ф. Фигура Ф называется замкнутой если она содержит свою границу, т.е. Г(Ф)Ф. Например, куб является замкнутой фигурой, и граница куба состоит из шести квадратов.

Определение: Фигура Ф называется связной, если любые две ее точки можно соединить содержащейся в ней ломаной и даже отрезком.

Определение: Открытая пространственная фигура называется пространственной областью.

Определение: Фигура Ф называется ограниченной, если существует шар, целиком содержащий фигуру Ф.

Определение: Телом называется ограниченная пространственная область вместе со своей границей.

Определение: Связные фигуры, у которых вместе с любыми двумя их точками им принадлежит и отрезок, соединяющий эти точки, называются выпуклыми.

Определение: Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой.

Теорема. Пусть А- внутренняя точка фигуры Ф; В- точка, не принадлежащая фигуре Ф. Тогда отрезок, соединяющий точки А и В, содержит хотя бы одну граничную точку фигуры Ф.

Доказательство:

Разделим отрезок АВ пополам и рассмотрим его середину С1. Она либо принадлежит, либо не принадлежит фигуре Ф. В первом случае возьмем правую половину отрезка АВ, а во втором - его левую половину. В том и другом случае у взятого отрезка левый конец принадлежит фигуре Ф, а правый конец -не принадлежит фигуре Ф.

Разделим полученный отрезок пополам точкой С2 и, повторив выше описанную процедуру, опять получим отрезок, левый конец которого принадлежит фигуре Ф, а правый - не принадлежит Ф. Повторяя деление отрезков пополам, получим последовательность вложенных отрезков, левый концы которых принадлежат Ф, а правые- не принадлежат Ф.

Обозначим через С точку, являющуюся пересечением этих отрезков, тогда сколь угодно близко от нее имеются точки, принадлежащие фигуре Ф (левые концы отрезков) и сколь угодно близко от нее имеются точки, не принадлежащие фигуре Ф (правые концы отрезков). Следовательно, С- искомая граничная точка фигуры Ф.

Задачи:

Для перечисленных ниже пространственных фигур Ф указать точки, которые являются граничными, и точки, которые не являются граничными: а) Ф-шар; б) Ф-сфера; в) Ф- плоскость; г) Ф- пространство; д) Ф- фигура, состоящая из точек пространства с рациональными координатами.

Из перечисленных в задаче 1 фигур указать те, для которых Ф = Ф°, и те, для которых Ф Ф°.

Указать, какие фигуры, рассмотренные в задаче 1, являются ограниченными, не являются ограниченными.

Доказать, что объединение двух ограниченных фигур является ограниченной фигурой .

Указать, какие фигуры, рассмотренные в задаче 1, являются замкнутыми.

Указать какие фигуры, рассмотренные в задаче 1, являются связными, а какие - несвязными. Привести пример связной фигуры, в которой не все пары точек можно соединить отрезком.

Указать какие фигуры, рассмотренные в задаче 1, являются телом, а какие нет, и почему.

Указать какие фигуры, изображенные на рисунке 1, являются многогранниками, а какие нет, и почему.

Всегда ли является многогранником: а) объединение двух многогранников; б) пересечение двух многогранников?

Многогранник разделили плоскостью на две части. Является ли каждая из них многогранником?

Задание на дом

Общее задание

Задачи:

Для перечисленных ниже пространственных фигур Ф указать внутренние и граничные точки: а) Ф- тетраэдр; б) Ф- прямая; в) Ф- полупространство; г) Ф- фигура, состоящая из точек куба с рациональными координатами.

Будет ли фигура ограниченной, если она содержится в тетраэдре?

Доказать, что пересечение связных фигур связно. Верно ли это для объединения?

Индивидуальное задание. Сообщение по статье: Савин А. Кое-что о выпуклости // Квант, 1979, №1. С.42, 43.

ЗАНЯТИЕ №2. Выпуклые многогранники и их свойства

Целью данного занятия является: ознакомить учащихся с понятиями выпуклости, выпуклого многогранника; рассмотреть примеры выпуклых многогранников, отличных от выпуклых призм и выпуклых пирамид, и некоторые свойства выпуклых многогранников.

Выше было определено понятие связной фигуры. Выделим связные фигуры, у которых вместе с любыми двумя их точками им принадлежит отрезок, соединяющий эти точки. Такие фигуры называются выпуклыми.

Среди свойств выпуклых фигур выделим следующее.

Пусть х0- внутренняя точка выпуклой фигуры Ф, тогда для любой точки х1є Ф отрезок х0 х1, за исключением, может быть, самой точки х1 состоит из внутренних точек.

Действительно пусть - такое положительное число, что

и , .

Рассмотрим

;

тогда и, следовательно, х- внутренняя точка Ф.

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой.

Задачи:

Доказать, что пересечение двух (или даже нескольких) выпуклых фигур будет выпуклой фигурой.

Является ли выпуклая фигура связной? Связная - выпуклой? Привести примеры.

Определить многогранники, которые являются выпуклыми и не выпуклыми пространственными фигурами, на рисунке 2.

Свойства выпуклых многогранников

Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Доказательство

Пусть М-выпуклый многогранник и - его произвольная грань, -плоскость, в которой лежит многоугольник. Пусть х0 -произвольная внутренняя точка М и х1 - произвольная точка М. Тогда полуинтервал состоит из внутренних точек и, следовательно, не пересекается с , т.е. х1 лежит по ту же сторону от , что и х0.

Если выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, то он выпуклый.

Доказательство

Пусть М- многогранник, лежащий по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Из этого следует, что М есть пересечение полупространств. Действительно, ясно, что М содержится в пересечении полупространств. Покажем, что верно и обратное включение. Предположим противное, т.е. что существует точка X1, не принадлежащая многограннику М и не принадлежащая пересечению полупространств.

Рассмотрим какую-нибудь внутреннюю точку Х0 многогранника М. Тогда отрезок, соединяющий точки Х0 и X1, пересекается с границей М и, следовательно, с некоторой гранью М. Рассмотрим плоскость, проходящую через эту грань. Тогда точки Х0 и X1 лежат по разные стороны от этой плоскости, это противоречит предположению о том, что многогранник М лежит по одну сторону от каждой своей грани, чем и завершается доказательство того, что М является пересечением полупространств. Так как полупространство является выпуклой фигурой (задача 5), и пересечение выпуклых фигур является выпуклой фигурой (задача 1), получаем, что М является выпуклой фигурой.

Заметим также, что из свойств I и II следует, что многогранник выпуклый тогда и только тогда, когда он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Этим свойством часто определяют выпуклый многогранник.

Литература

Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М.,Л.: Гостехиздат, 1950. С.13-29.

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 9 - 10-х классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1984. С.157, 158, 189-192, 224-227.

Болтянский В.Г., Яглом И.М. Выпуклые фигуры. Н.Л.: Гостехиздат, I95I-. С. 13-29.

Болтянский В.Г., Яглом И.М. Выпуклые многоугольники и многогранники // Математика в школе, 1966, I» 3. C.I2-25.

Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. M.JJI.: Гостехиздат, 1956.

Савин А. Кое-что о выпуклости // Квант, 1979, * I. С.42-44.

Задание на дом.

Общее задание.

Задачи:

1. На рис. 3 указать, какие многогранники являются выпуклыми и какие не являются выпуклыми.

2. Доказать, что каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.

3. Доказать, что пирамида является выпуклым многогранником тогда и только тогда, когда ее основание - выпуклый многоугольник.

4. Доказать, что любой выпуклый многогранник можно разбить на конечное число тетраэдров.

Индивидуальное задание. Сообщение по статье: Мышкис А., Садовский Л. Прикладная математика // Квант, 1979, № 6. с.41-48.

ЗАНЯТИЕ № 3. Теорема Эйлера.

На данном занятии рассматривается еще одно интересное свойство выпуклых многогранников, связанное с числом граней, вершин и ребер выпуклого многогранника.

Сначала с учащимися рассматриваются модели многогранников и заполняется следующая таблица (где Г - число граней, В - число вершин, Р - число ребер рассматриваемого многогранника):

После заполнения таблицы убеждаемся, что для всех выбранных многогранников

.

Оказывается, это соотношение справедливо не только для всех этих многогранников, но и для - произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство было доказано Л.Эйлером в 1752 г. и получило название теоремы Эйлера.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение

(*)

где Г - число граней, В - число вершин, Р - число ребер данного многогранника.

Доказательство:

Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность "растянем" на плоскость. Тогда на плоскости получается сетка (рис. 4), содержащая областей (которые по-прежнему назовем гранями), вершин и ребер (которые могут искривляться).

Рис. 4

Для данной сетки нужно доказать соотношение

= ,(**)

тогда для многогранника будет справедливо соотношение (*).

Докажем, что соотношение (**) не меняется, если в сетке провести какую-нибудь диагональ. Действительно, после проведения некоторой диагонали в сетке будет граней, вершин и ребер, т.е.

=

Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие ее на треугольники, и докажем соотношение (**) методом математической индукции по числу n треугольников в сетке.

Пусть n=1, т.е. сетка состоит из одного треугольника. Тогда , , , и выполняется соотношение (**). Пусть теперь соотношение (**) имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней еще один треугольник. Его можно присоединить двумя способами (рис. 12):

а) как АВС. Тогда сетка состоит из граней, вершин и ребер и, следовательно,

б) как MNL. Тогда сетка состоит из граней, вершин и ребер и, следовательно,

.

Таким образом, в обоих случаях, т.е. при любом присоединении (n+1)-го треугольника, выражение (**) не меняется, и если оно равнялось 1 для сетки из n треугольников, то оно равняется 1 и для сетки из (n+1) треугольника. Итак, соотношение (**) имеет место для любой сетки из треугольников, значит, для любой сетки вообще. Следовательно, для данного многогранника справедливо соотношение (*).

Замечание. Теорема Эйлера доказана для выпуклых многогранников. Во времена Эйлера не существовало понятия невыпуклого многогранника. Позже многие ученые обращались к доказательству этого красивого факта. Было замечено, что равенство Эйлера справедливо не только для выпуклых многогранников, но и для некоторых невыпуклых многогранников, например для призмы, изображенной на рис. 5, а. Для нее ,, т.е. . Это многогранники так называемого нулевого рода. Наглядно их поверхность, сделанную из эластичного материала, можно натянуть на сферу. Все выпуклые многогранники относятся к многогранникам нулевого рода. Их поверхность не имеет "дыр" в отличие от многогранников с одной "дырой" (рис. 5, б), c двумя дырами (рис. 5, в),…, с р "дырами". Многогранник с одной "дырой" называется многогранником первого рода, с двумя "дырами" - второго рода,…,с р "дырами" - многогранником p-го рода.

Для произвольного многогранника p-го рода доказана обобщенная теорема Эйлера.

Обобщенная теорема Эйлера. Для произвольного многогранника рода р справедливо следующее соотношение:

.

Задачи:

Как изменится число вершин, граней и ребер выпуклого многогранника, если: а) к одной из его граней пристроить пирамиду, основанием которой является эта грань; б) отсечь от него такую пирамиду?

Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет:

а) 12 ребер; б) 15 ребер? Нарисуйте эти многогранники.

3. Из каждой вершины выпуклого многогранника исходят три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если у него: а)12 ребер;

б) 15 ребер?

Литература по доказательству теоремы Эйлера

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 9-Ю. М.: Просвещение, 1984. С.230-233.

Бескин Л.Н. Стереометрия. М.: Просвещение, 1971. С.195,196.

Делоне Б.Н. Леонард Эйлер // Квант, 1974, № 5. С.27-35.

Ермолаев Н.К. О правильных многогранниках на занятиях кружка // Математика в школе, 1979, № 3. С.73, 74.

Методика преподавания геометрии. /Под ред. А.И. Фетисова. М.: Просвещение, 1967. С.70,71.

Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. С.343-349.

Литература о жизни и деятельности Л.Эйлера

Гиндикин С.Г. Леонард Эйлер // Квант, 1983, № 10. C.I7-24; №2. С.17-23.

Рюдигер Тиле. Леонард Эйлер. Киев: Вища школа, 1983. 192 с.

Юшкевич А.П. Леонард Эйлер и математическое просвещение в Росси. // Математика в школе, 1983, № 5. С.71-74.

Яковлев А.Я. Леонард Эйлер / Из серии "Люди науки". М.: Просвещение, 1983. 80 с.

Задание на дом.

Общее задание.

Задачи:

Внутри выпуклого многогранника возьмите точку и разбейте этот многогранник на пирамиды, вершины которых находятся в этой точке, а основаниями служат грани данного многогранника. Как изменится число , и , если из данного многогранника удалить одну из таких пирамид? Изменится ли для получившегося многогранника формула из теоремы Эйлера? Не возникает ли у вас идея еще одного доказательства теоремы Эйлера?

Докажите, что не существует многогранник с семью ребрами.

Выпуклый многогранник имеет своими гранями только четырехугольники. Сколько он имеет вершин и граней, если:

а) ребер12;

б) ребер 15?

Нарисуйте такие многогранники.

Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если:

а) ребер 12;

б) ребер 20?

Нарисуйте такие многогранники.

Докажите, что в любом выпуклом многограннике имеется треугольная грань или трехгранный угол.

Индивидуальное задание. Сообщение на тему "Проблема четырех красок" /Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М.: Наука, 1982. С.74-76 /Библиотечка Квант, вып. 21; Беве Л. Любая карта на плоскости может быть раскрашена в четыре цвета // Квант, 1977, № I. С.60; Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971. С.440-450.

ЗАНЯТИЕ № 4. Применение теоремы Эйлера к решению некоторых задач.

Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - раздела математики, который занимается изучением свойств фигур, тел и поверхностей, не меняющихся при деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия без разрывов. Такие свойства называются топологическими. Соотношение Эйлера для выпуклых многогранников является как раз таким топологическим свойством. При доказательстве теоремы поверхность многогранника "натягивают на плоскость". При этом грани, ребра деформируются, но их число, а следовательно, и соотношение Эйлера не меняются. Заметим, что на плоскости образуется сетка, состоящая из точек и отрезков, которые их соединяют. Такое множество точек и множество отрезков (или даже дуг), оба конца которых принадлежат заданному множеству точек на плоскости, называется графом. Точки называются вершинами графа, отрезки (или дуги) - ребрами графа. Граф, соответствующий выпуклому многограннику, называется плоским графом (у него никакие два ребра не имеют других общих точек, кроме их общей вершины). Итак, для плоского графа также справедливо соотношение Эйлера. Гранью плоского графа называется часть плоскости, ограниченная последовательностью ребер, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину, никакое ребро не встречается более одного раза, начальная и конечная вершины совпадают. Таким образом, подмечена связь между тремя важными разделами математики:

Примерами графов могут служить схемы метрополитена, железных и шоссейных дорог, планы выставок, структурные формулы молекул и т.д., другими словами, схемы, планы, карты без указания масштабов, показывающие лишь связь между принадлежащими им объектами.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача 1. О трех домиках и трех колодцах.

Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу?

Решение:

Предположим, что это можно сделать. Отметим домики точками D1, D2, D3, а колодцы точками K1, K2, K3. Каждую точку-домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять отрезков, которые попарно не пересекаются (рис.6).

Всякие две точки, изображающие домики или колодцы, будут соединены цепочкой отрезков и, в силу теоремы Эйлера, эти девять отрезков разделят плоскость на пять граней, так как В = 6, Р = 9. Каждая из пяти граней ограничена, по крайней мере, четырьмя отрезками, поскольку по условию задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Поэтому число отрезков должно быть не меньше - , и, следовательно, наше предположение неверно.

Задача 2.

Доказать, что на всякой карте найдется страна, граничащая не более чем с пятью странами (любую карту можно рассматривать как граф, а страны на ней - как грани графа).

Решение.

Если число стран на карте не превосходит шести, то утверждение задачи очевидно. Докажем, что на карте, имеющей больше шести стран, найдутся даже четыре страны, каждая из которых граничит не более чем с пятью странами. Окрасим вершины и ребра исходной карты в черный цвет, а красной краской отметим в каждой стране по одной точке. Всякие две отмеченные точки, лежащие в соседних странах (странах, имеющих общую граничную точку), соединим внутри этих стран красным ребром так, чтобы красные ребра попарно пересекались. Тогда всякие две красные точки будут соединены цепочкой ребер, а поскольку никакие два ребра не будут соединять одни и те же точки, то каждая страна на карте, состоящей из точек и ребер красного цвета, будет ограничена не менее чем тремя ребрами. Если какая-нибудь страна на карте ограничена более чем тремя ребрами, то на ее границе можно выбрать две вершины, не соединенные ребрами, и соединить их красным ребром внутри этой страны. Повторяя несколько раз эту операцию, получим красную карту, на которой каждая страна ограничена ровно тремя ребрами. Так как, кроме того, на этой карте никакие две дуги не соединяют одни и те же вершины и число вершин больше трех, то из каждой вершины выходит не менее трех ребер. Обозначим: Р - число ребер, Г - число стран и, В - число вершин красной карты, А - число вершин, из которых выходит менее чем шесть ребер. Тогда (‹); (‹‹). Из соотношения (‹) и теоремы Эйлера, примененной к красной карте, следует: ; , что показывает . Остается заметить, что если некоторая страна на черной карте имеет больше пяти соседей, то из отмеченной в этой стране красной точки выходит больше пяти ребер, и поэтому, в силу неравенства , на черной карте найдутся четыре страны, каждая из которых имеет не больше пяти соседей.

Задача 3. Задача Эйлера о кенигсбергских мостах.

Во времена Эйлера в г. Кенигсберге (ныне г. Калининград) было семь мостов через реку Прегель (рис.7, где Л - левый берег; П - правый берег; А, Б - острова). Задача заключается в следующем: можно ли, прогуливаясь по городу, пройти через каждый мост точно по одному разу?

Широко известна старая головоломка - обвести контур некоторой фигуры, не отрывая карандаша от бумаги и не обводя ни одной линии контура дважды, т.е. "нарисовать одним росчерком". Такие контуры образуют так называемые уникурсальные графы.

Граф называется уникурсальным, если его можно пройти весь непрерывным движением, не проходя одно и то же ребро дважды. С уникурсальными графами тесно связана и данная задача. Сопоставим с планом города некоторый граф (рис.8).

Для решения задачи понадобятся следующие данные:

Понятие "индекс вершины" - число ребер графа, сходящихся в данной вершине.

Граф уникурсален тогда и только тогда, когда он содержит не более двух вершин нечетного индекса. (Действительно, если граф уникурсален и начало не совпадает с концом, то начало и конец являются единственными точками с нечетным индексом, остальные точки - с четным индексом, так как в каждую точку мы входим и выходим из нее. Если начало совпадает с концом, то точки с нечетным индексом нет. Обратно: пусть граф имеет две точки А и В нечетного индекса. Соединим их ломаной и выбросим эту ломаную из графа. Останутся точки только четного индекса. В этом случае можно начать из любой точки и в нее же вернуться. Выбросив образованный таким образом граф из основного графа, получим граф с четными вершинами и меньшим их количеством. Повторяя эту процедуру, мы обойдем весь граф. Таким образом, граф уникурсален. Значит, имеет не более двух нечетных вершин.)

Решение.

Определим четность всех вершин на графе, изображенном на рис.16, соответствующем плану города. Вершина А имеет четность 5, Б- 3, П- 3, Л-3. Таким образом, граф имеет более двух вершин нечетного индекса и, следовательно, не является уникурсальным. Отсюда следует, что нельзя пройти во время прогулки по городу по всем семи мостам, проходя по каждому только один раз.

Литература

Бекламов Б.В. Применение теоремы Эйлера к некоторым, задачам // Квант, 1974, № 10. C.I7-I9.

Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. Н.: Наука, 1982, C.I7 /Библиотечка «Квант», вып.21.

Болтянский В.Г. Топология графов // Квант, 1981, № 6. C.5-I0.

Болтянский В.Г. Плоские графы // Квант, 1981, № 7.C. 11-I6.

Березина Л.Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1979. С.28-41.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981. C.I3I-I34 /Библиотечка «Квант» вып. 8.

Задание на дом.

Общее задание.

Задачи.

1. Дан выпуклый многогранник, все грани которого имеют 5, 6 или 7 ребер, а все многогранные углы - трехгранные. Доказать, что число пятиугольных граней на 12 больше числа семиугольных.

2. Сможет ли экскурсовод провести посетителей по выставке так, чтобы они побывали в каждом зале только один раз. Соответствующий граф приведен на рис.9. Вершины графа - это вход, выход, двери, соединяющие залы, перекрестки, а ребра - залы и коридоры. Где на выставке следовало бы сделать вход и выход, чтобы можно было провести экскурсию по всем залам, побывав в каждом из них в точности один раз?

3. На рис.10 изображен план подземелья, в одной из комнат которого скрыты богатства рыцаря. После смерти рыцаря его наследники нашли завещание, в котором было сказано, что для отыскания сокровищ достаточно войти, в одну из крайних комнат подземелья, пройти через все двери, причем в точности по одному разу через каждую; сокровища скрыты за той дверью, которая будет пройдена последней. В какой комнате были скрыты сокровища?

Индивидуальное задание. Сообщение на тему "История правильных многогранников" / Глейзер Г. И. История математики в школе. IX - X классы. М.: Просвещение, 1983. С.171,172.

ЗАНЯТИЕ № 5. Правильные многогранники

Правильные многогранники с давних времен привлекали внимание людей. Им посвящена ХШ книга "Начал" Евклида. Древнегреческий философ-идеалист Платон считал, что основные элементы природы - атомы имеют форму правильных многогранников, отсюда и название - Платоновы тела. И.Кеплер построил на основе правильных многогранников модель Солнечной системы. Необычайно высок был интерес к правильным многогранникам в средние века, особенно в кругах художников, скульпторов, архитекторов» Ими занимались знаменитые Леонардо да Винчи и к. Дюрер.

На данном занятии учащиеся знакомятся с историей развития представлений о правильных многогранниках. С помощью теоремы Эйлера доказывается, что существует только пять типов правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, гексаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Таким образом, рассматривается еще одно, важное значение теоремы Эйлера, которая служит основой для строгого построения теории правильных многогранников.

В начале занятия дается определение правильного многогранника. Учащимся демонстрируются модели всех правильных многогранников, а также некоторых полуправильных и правильных звездчатых многогранников и предлагается выявить все свойства правильных многогранников, а именно:

все ребра равны;

все плоские углы равны;

все грани- равные правильные многоугольники;

все двугранные углы равны;

все многогранные углы равны;

все многогранные углы имеют одно и то же число граней.

Чтобы выбрать из перечисленных свойств те, которые должны войти в определение правильного многогранника, обратимся к аналогу правильного многогранника - правильному многоугольнику. Рассмотрим его определение.

Определение 1. Многоугольник называется правильным, если:

все стороны равны;

все углы равны.

Проведем аналогию между элементами многоугольника на плоскости и многогранника в пространстве:

Отсюда определение правильного многогранника.

Определение 2. Многогранник называется правильным, если:

все его грани- равные правильные многоугольники;

все двугранные углы равны.

Отсюда следует, что все ребра, плоские и многогранные углы правильных многогранников равны.

Далее внимание учащихся обращается на то, что типов правильных многоугольников существует бесконечно много, а правильных многогранников - только пять. Это можно доказать с помощью теоремы Эйлера.

Теорема.

Существует не более пяти типов правильных многогранников.

Доказательство:

Пусть имеется правильный многогранник. Все его грани правильные n-угольники. В каждой вершине сходится m ребер. При этом и .

Пусть Г - число граней, В - число вершин, Р - число ребер правильного многогранника. Тогда . По теореме Эйлера . Подставляя данное соотношение в выражения для Г и В, имеем: , так как и . Итак, необходимо найти значения для n и m.

Рассмотрим n. Известно, что и . Пусть m=3. Тогда . Отсюда . Аналогично можно показать, что .

Рассмотрим все возможные значения для n и m. Для этого заполним следующую таблицу:

1) n=3, m=3. Проверим условие - верное неравенство;

2) Проверим: - верное неравенство;

и т.д. Для n=5, например, и m=5 неравенство - неверно, следовательно, многогранник не существует.

Итак, показано, что существует не более пяти типов правильных многогранников. Чтобы доказать существование каждого правильного многогранника, необходимо его построить.

Построение правильных многогранников

В некоторой плоскости строим квадрата ABCD. Через его вершины проводим перпендикуляры к данной плоскости, равные стороне квадрата. Получим точки A1, B1, C1, D1.. Многогранник ABCD A1B1C1D1- куб (у него все грани - равные квадраты, все двугранные углы - прямые).

Интересно, что из данного куба можно получить все остальные правильные многогранники следующим образом.

Возьмем произвольную вершину куба, например D1 (рис. 11,а). Затем возьмем три вершины куба, которые лежат в трех плоскостях, сходящихся в данной точке и лежащих с D1 на одной диагонали. Это вершины B1, A и C . Многогранник D1B1AC - тетраэдр. (Можно предложить доказать это утверждение самим учащимся)

Заметим, что необходимо называть рассматриваемые многогранники "правильный тетраэдр", "правильный октаэдр" и т.д. В данном занятии слово "правильный" опущено, поскольку речь идет только о правильных многогранниках.

Центры граней данного куба являются вершинами правильного многогранника - октаэдра (рис. 11,6).

Через каждое ребро куба проведем плоскость, не имеющую с поверхностью куба других общих точек, кроме точек этого ребра. Получим 12 плоскостей, которые образует некоторый двенадцатигранник. При определенном выборе наклона этих плоскостей к граням куба двенадцатигранник будет правильным додекаэдром (рис. 11,в).

Построив додекаэдр, легко построить икосаэдр. Центры граней додекаэдра служат вершинами икосаэдра (рис. 11,г). На гравюре Эшера “Четыре тела» (рис.12), он изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Из рассмотренного способа построения правильных многогранников вытекает интересное свойство двойственности.

Свойство двойственности правильных многогранников

Рассмотрим таблицу, в которой приведено количество граней, вершин и ребер правильных многогранников.

Анализ таблицы показывает, что у куба и октаэдра одно и то же число ребер, но у куба столько вершин, сколько у октаэдра граней, и наоборот, у куба столько граней, сколько у октаэдра вершин. Аналогичные соотношения имеют место для додекаэдра и икосаэдра. Если центры граней октаэдра принять за вершины другого многогранника, то последний будет кубом. Куб и октаэдр называются взаимно двойственными многогранниками. Взаимно двойственными многогранниками будут также додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр двойствен самому себе.

Теорема. Около всякого правильного многогранника можно описать сферу. Во всякий правильный многогранник можно вписать сферу. Центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы.

Другими словами, внутри всякого правильного многогранника имеется точка, равноудаленная как от всех вершин, так и от всех его граней; точка эта называется центром правильного многогранника.

Доказательство.

Если провести в правильном многограннике перпендикуляры к двум смежным его граням, например F1 и F2 (рис.13), через их центры O1 и О2, то эти перпендикуляры лежат в плоскости линейного угла двугранного угла (В- середина отрезка A1A2), образуемого, этими гранями, и пересекаются в одной точке. Пусть это будет точка O. Эта точка отстоит на одно и то же расстояние от всех вершин взятых граней, а также на одно и то же расстояние от плоскостей граней, в чем можно убедиться из равенства соответствующих треугольников, а именно:

а) ?ОA1В1 = ?ОA2В1 (треугольники прямоугольные, A1В1= A2В1: ОВ1 - общая), следовательно ОA1= ОA2;

б) ?OO1B1 = ? OO2B1; (треугольники прямоугольные, O1B1 =O2B1; ОB1- общая ), следовательно OO1 = OO2.

Если соединить точку О с серединой третьей смежной грани, то на основании равенства соответствующих треугольников обнаружится, что полученный отрезок перпендикулярен и к этой третьей грани и точка О отстоит от вершин этой третьей грани на такое же расстояние, как и от вершин двух первых граней, и т.д.

Заметим, что отрезки, соединяющие точку О с серединами ребер правильного многогранника, равны, причем каждый из них перпендикулярен соответствующему ребру. Поэтому сфера радиуса OB1, и с центром в точке О касается всех ребер многогранника в их серединах.

Задачи.

Почему не существует платонова тела с гранью в виде правильного шестиугольника?

В правильном тетраэдре попарно соединены середины всех его шести ребер. Какое при этом получится тело?

Ребро правильного октаэдра равно a. Определить расстояние между двумя противоположными вершинами октаэдра (ось октаэдра).

Ребро куба равно а. Вычислить поверхность вписанного в него правильного октаэдра. Найти ее отношение к поверхности вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.

Зная длину ребра а правильного тетраэдра и куба, найти радиусы описанной и вписанной в них сфер.

Литература

Березин В.Н. Правильные многогранники // Квант, 1973, № 5. С.26, 27.

Болтянский В.Г. Транзитивные множества и правильные многогранники // Квант, I960, № 7, С.4-9.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981. С.98-102 /Библиотечка «Квант» вып. 8.

Ермолаев Н.К. О правильных многогранниках на занятиях кружка// Математика в школе, 1979, № 3. С.73, 74.

Задание на дом

Общее задание.

Задачи:

Почему гранью правильного многогранника не может быть восьмиугольник?

На рис.14 изображена пространственная фигура, составленная из семи кубов (трехмерный крест). Почему такая фигура не может быть названа правильной? Сколько квадратов ограничивают ее поверхность? Сколько ребер, вершин и трехгранных углов у этой фигуры?

Доказать, что в правильном октаэдре:

противоположные ребра параллельны;

грани попарно параллельны.

Найти двугранные углы каждого из пяти правильных многогранников.

Индивидуальное задание. Сообщение на тему “История открытий полуправильных многогранников - тел Архимеда и правильных звездчатых многогранников - тел Кеплера - Пуансо”/

Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1983. С.175, 176; Савченко В. Полуправильные многогранники// Квант, 1976, №1. С.,2, 3.

ЗАНЯТИЕ № 6. Полуправильные и звездчатые многогранники

Вслед за Евклидом изучением правильных многогранников занимался другой великий математик древности - Архимед. Убедившись в том, что нельзя построить шестой правильный многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, у них сходится одно и тоже число ребер. Это так называемые равноугольно полуправильные многогранники. До нас дошла работа ученого "О многогранниках", в которой подробно описаны 13 таких многогранников, которые позже были названы телами Архимеда.

Равноугольно полуправильные многогранники

Если в определении правильного многогранника оставить без изменения условие 2 (двугранные углы многогранника равны), но ослабить первое условие - рассматривать не все одноименные равные правильные многоугольники в качестве граней, а правильные многоугольники разных типов, то получим равноугольно полуправильные многогранники. Итак,

Определение. Многогранник называется равноугольно полуправильным, если: 1) грани - правильные многоугольники разных типов;

2) все двугранные углы равны.

Рассмотрим все возможные типы таких многогранников. Во-первых, это 13 многогранников, открытых Архимедом,- тела Архимеда. Перечислим их. Первые пять многогранников очень просто получить из пяти правильных многогранников операцией "усечения", которая состоит в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы правильного тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получится усеченный тетраэдр, который имеет восемь граней, из них четыре - правильные шестиугольники и четыре - правильные треугольники, вершин - 12. Многогранник выпуклый, в каждой вершине сходится три ребра. Многогранник называется усеченным тетраэдром (рис.15, а).

Если указанным образом срезать вершины правильных октаэдра и икосаэдра, получим усеченный октаэдр (рис.15, б) и усеченный икосаэдр (рис.15,в).

Из куба и правильного додекаэдра тоже можно получить усеченный куб и усеченный додекаэдр, только их плоскости проходят -не через треть ребра. Усеченный куб (рис. 15, г), усеченный додекаэдр

(рис. 15, д).

Задача 1. Найти длину ребра усеченного куба и усеченного додекаэдра, если длина ребра соответствующих куба и додекаэдра равна а.

Если теперь в кубе провести плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины, получим еще один - шестой равноугольно полуправильный многогранник - кубооктаэдр (рис.16, а). Его гранями являются шесть квадратов и восемь правильных треугольников, т.е. грани куба и октаэдра, отсюда и название многогранника.

Аналогично, если в додекаэдре провести плоскости через середины его ребер, выходящих из одной вершины, получим многогранник, который называется икосододекаэдр. У него 12 граней - правильные пятиугольники и 20 - правильные треугольники, т.е. все грани додекаэдра и икосаэдра (рис.16, б).

К этим двум последним многогранникам также можно применять операцию "усечения" вершин, получим усеченный кубооктаэдр (рис.16, в) и усеченный икосододекаэдр (рис.16, г).

Задача 2. Сколько вершин, граней и ребер и какие грани имеют усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр?

Затем идут более сложные многогранники. Перечислим их:

ромбокубооктаэдр; он состоит из 26 граней, из них 18 квадратов и 6 правильных треугольников;

ромбоикосододекаэдр; всего 62 грани, из них 30 квадратов; 20 правильных треугольников, 12 правильных пятиугольников;

"плосконосый" (иногда называют "курносый") куб; всего 38 граней, из них 6 квадратов и 32 правильных треугольника;

плосконосый (или "курносый") додекаэдр; всего 92 грани, из них 12 правильных пятиугольников и 80 правильных треугольников.

Изображение этих многогранников можно найти, например, в книге; Веннинджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974.

Интересно отметить, что на протяжении более 2 тысяч лет со времен Архимеда считалось, что таких многогранников - 13. Но совсем недавно, в середине нашего столетия, был открыт еще один равноугольно полуправильный многогранник. Он получается из ромбокубооктаэдра (рис.17, а) поворотом верхней "восьмиугольной чаши" на 45° (рис. 17, б). Новый многогранник получил название псевдоархимедова тела. Иногда его называют "многогранник Ашкинузе", в честь одного из первооткрывателей этого нового типа многогранника - советского ученого Б.Г.Ашкинузе.

Кроме представленных 14 многогранников равноугольно полуправильными являются также правильные n -угольные призмы, все ребра которых равны, т.е. боковые грани которых являются квадратами.

Задача 3. Доказать, что правильная n-угольная призма (n = 3, 4, 5,...) с квадратными боковыми гранями является равноугольно полуправильным многогранником.

Итак, правильные n-угольные призмы с равными ребрами образуют бесконечную серию равноугольно полуправильных многогранников.

Существует еще одна бесконечная серия рассматриваемых многогранников - так называемые антипризмы, например: два правильных шестиугольника, расположенных в параллельных плоскостях, причем один из них повернут вокруг центра относительно другого на 30°. Каждая вершина нижнего и каждая вершина верхнего основания соединена с двумя ближайшими вершинами другого. Расстояние между шестиугольниками подбирается так, чтобы боковые грани были правильными треугольниками (рис. 18). В данном случае это расстояние равно , где (a-длина ребра правильного шестиугольника).

Задача 4. Доказать, что расстояние между основаниями шестиугольной антипризмы равно , где a - длина ребра шестиугольника.

Итак, перечислены все возможные виды равноугольно полуправильных многогранников.

Равногранно полуправильные многогранники

Двойственным понятием к понятию равноугольно полуправильного многогранника является понятие равногранно полуправильного многогранника. Центры граней равноугольно полуправильных многогранников служат вершинами равногранно полуправильных многогранников, у которых все грани равны, а двугранные углы разных типов. Таким образом, можно указать 14 типов равногранно полуправильных многогранников, двойственных 14 равноугольно полуправильным многогранникам, а также две бесконечные серии многогранников, двойственных к правильным n-угольным призмам с равными ребрами и n-угольным антипризмам. Изображение всех типов таких многогранников можно найти, например, в Энциклопедии элементарной математики / Геометрия. 1У. М., 1963. С.438, 439.

Задача 5. Изобразить многогранник, двойственный:

пятиугольной правильной призме с равными ребрами;

четырехугольной антипризме;

кубооктаэдру.

Правильные звездчатые многогранники

Такие многогранники можно получить из правильных многогранников. Заметим, что на плоскости правильные невыпуклые или звездчатые многоугольники можно подучить из правильных выпуклых многоугольников путем продолжения их сторон до самопересечения, например в случае пятиугольника (рис.19, а) или шестиугольника (рис. 19,б).

Поступим также и в случае с многогранниками, т.е. возьмем правильные многогранники, продолжим их ребра или несмежные грани до самопересечения. Естественно, не приведет к цели продолжение ребер треугольных граней и параллельных ребер и граней.

Таким образом, из тетраэдра, у которого все грани треугольные и смежные, октаэдра - у него все грани треугольные, несмежные грани параллельны, куба - у него все несмежные грани и ребра параллельны, не получится звёздчатых правильных многогранников.

Рассмотрим додекаэдр. Продолжение его ребер приведет к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником (рис. 20). Получим многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром.

При продолжении граней правильного додекаэдра (каждая грань продолжается до пересечения с пятью несмежными и непараллельными ей гранями) возникают две возможности. Во-первых, при этом можно рассматривать правильные выпуклые пятиугольники. Получим многогранник, которым называется большой додекаэдр. Во-вторых, в качестве граней можно рассматривать звездчатые пятиугольники, получим многогранник, который называется большой звездчатый додекаэдр.

Итак, правильный додекаэдр имеет три типа правильных звездчатых многогранника.

Рассмотрим теперь правильный икосаэдр. Так как гранями правильного икосаэдра являются треугольники, то продолжение ребер не даст нового многогранника. При продолжении граней правильного икосаэдра имеется один случай, приводящий к многограннику, который называется большим икосаэдром. При этом каждая грань правильного икосаэдра продолжается до пересечения с тремя гранями, смежными с параллельной ей гранью (рис. 21).

Таким образом, существуют четыре правильных звездчатых многогранника, называемых также телами Кеплера - Пуансо, так как два первых (малый и большой звездчатые многогранники) были открыты И.Кеплером, а два других - Л. Пуансо.

Задача 6. Определить число граней, ребер и вершин каждого правильного звездчатого многогранника.

Литература

Савченко В. Полуправильные многогранники // Квант, 1976, №1 С.2-7.

Квант, 1977, № 2(4-я стр. обл.).

Березин В.Н. Правильные многогранники// Квант, 1973, № 5. С.26, 27.

Сложный многогранник // Квант, 1979, № I. C.27. Задание на дом

Общее задание.

Задачи:

На рис. 22 изображены пять многогранников. Многогранники, расположенные в углах рисунка, получены из куба одной и той же операцией, только применяется она в различных случаях по-разному. Что это за операция? Как она применяется в каждом случае? Как называются все изображенные многогранники? Вычислить длины ребер, если длина ребра куба равна а.

На рис. 23 изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром или Stеllа Кеплера. Является ли он правильным звездчатым многогранником? Почему? Как получить этот многогранник с помощью куба?

Индивидуальное задание. Сообщение на тему "Что изучает топология" /Александров А.Д. и др. Геометрия 9-10: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1984, С.466, 467; Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология, М.: Наука, 1982. С.З /Библиотечка ”Квант”, вып. 21.

ЗАНЯТИЕ № 7. Модели многогранников

На предыдущих занятиях мы познакомились с красивыми правильными, полуправильными и звездчатыми многогранниками. Модели этих многогранников являются хорошим украшением и домашнего рабочего уголка, и кабинета математики в школе. Их можно изготовить самим, для этого необходимо иметь набор многоугольников, которые служат гранями некоторого многогранника, и знать, какие их стороны следует вклеивать между собой.

Развертки многогранников

Совокупность многоугольников, соответственно равных граням некоторого многогранника, вместе с указанием того, как их нужно склеивать (какие их стороны и вершины представляют собой одни и те же ребра и вершины многогранника), называется разверткой этого многогранника. Заметим, что изучение разверток представляет собой вопрос геометрия не только в теории многогранников, но и в топологии.

Ясно, что, имея многогранник, всегда можно построить его развертку. Гораздо менее ясно, можно ли, задав заранее набор многоугольников и схему их склеивания, быть уверенным в том, что тем самым определен некоторый многогранник.

Рассмотрим следующие задачи:

Какие фигуры, изображенные на рис.24 можно считать развертками правильного тетраэдра? Почему?

На рис.25 указать фигуры, которые являются развертками куба.

Развертка, какого многогранника изображена на рис.26?

Модели многогранников из разверток (из бумаги и картона) Основные виды работы:

Начертить развертку многогранника (с клапанами для склеивания).

Вырезать развертку.

Согнуть по линиям сгиба (предварительно по линиям сгиба аккуратно по линейке провести лезвием).

Склеить.

Произвести окантовку ребер или окрашивание граней, наклейку на грани многогранника тонкой цветной бумаги и т.д.

Интересной представляется задача окраски граней правильных многогранников так, чтобы число цветов было минимальным и соседние грани имели разный цвет. При этом окрашиваются:

тетраэдр - в четыре цветам

октаэдр - в четыре цвета;

куб - в три цветам

додекаэдр - в четыре цвета;

икосаэдр - в пять цветов.

Существует и другой способ изготовления моделей многогранников. Рассмотрим его.

Модели многогранников из конструктора.

Конструктор состоит из следующих компонентов:

1)Граней будущих многогранников, у которых обрезаны уголки и добавлены отгибающиеся клапаны. На рис.27 показаны грани - правильные многоугольники; 2) Резиновых колечек- основной крепежной детали конструктора.

Когда необходимое количество граней и резиновых колечек готово, можно перейти к непосредственной сборке нужного многогранника. С помощью клапанов и резинок грани легко соединяются друг с другом. Получающиеся модели, конечно, не так прочны, как клееные, однако их проще собрать, а также возможность разборки моделей и повторного их использования окупает этот недостаток.

Демонстрация изготовленных моделей многогранников из разверток и конструктора

Изготовление модели малого додекаэдра.

Модель малого додекаэдра очень просто изготовить из модели правильного додекаэдра. Достаточно изготовить 12 правильных пятиугольных пирамидок с длиной ребра, равной длине ребра правильного додекаэдра, и наклеить их на все грани правильного додекаэдра.

Таким образом, сначала необходимо изготовить модель правильного додекаэдра. Ее можно склеить из развертки (см. рис.26) или воспользоваться другим, очень интересным, способом изготовления, который заключается в следующем: развертку правильного додекаэдра (см. рис.26) разделить на звезды и наложить их одна на другую так, чтобы вышла десятиугольная звезда. Эту звезду следует обвязать резинкой, обходя, ею углы поочередно сверху и снизу и прижимая модель свободной рукой к столу. Спустив теперь руку, увидим, что раскрывшаяся звезда превратится в пространственную модель правильного додекаэдра. Затем строится модель правильной пирамиды, развертка которой показана на рис.28.

Необходимо изготовить 12 таких пирамид по числу граней правильного додекаэдра и наклеить их на грани. Модель малого додекаэдра готова.

Обычно модели многогранников конструируют из разверток. Но есть и другой способ. Математики давно уже доказали возможность построения трехмерных объектов из ленты. На рис.29 показано, как получить тетраэдр, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.

Аналогичным способом можно свернуть куб (рис.30). Его грани также выстраиваются в цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразования, достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата (задача на построение куба из ленты публиковалась в журнале "Наука и жизнь" № 10, 1972 г.).

Так, ничем на первый взгляд не примечательная бумажная лента при нанесении на ее поверхность узора превращается в заготовку для построения самых разнообразных многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные многогранники, кроме додекаэдра. Это объясняется отсутствием у плоских узоров осей симметрии 5-го, 7-го и высших порядков - иначе говоря, сплошной узор из пятиугольников построить невозможно.

Построение октаэдра и икосаэдра осуществляется на основе узора из правильных треугольников (рис. 31 и рис. 32). Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра - из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем сворачивать такие же кольца.

Узоры наших лент - это частный случай сетей симметрии Шубникова - Лавеса (см. рис. 33). Треугольные ячейки получаются наложением двух пар зеркальных гексагональных решеток, развернутых друг относительно друга на 90°, а квадратные - совмещением квадратных решеток под углом 45° друг к другу. С этих позиций процесс образования многогранников из фокуса превращается в теоретически обоснованное и закономерное явление.

Литература

Матиясевич Ю. Модели многогранников // Квант, 1978, № 1. С.8- 17.

Веннинджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974. С.24-50.

Гамаюнов В. Модели звездчатых многогранников // Квант, 1981, №1. С.39.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981. С.99-101 / Библиотечка «Квант» вып. 8.

Задание на дом.

Общее задание.

Изготовить модель многогранника (по усмотрению учителя).

ЗАНЯТИЕ №8 Равновеликость и равносоставленность

Сначала рассмотрим вопрос равновеликости и равносоставленности на плоскости. Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны. Два многоугольника навиваются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многоугольников.

Ясно, что если два многоугольника равносоставлены, то они и равновелики. Два многоугольника, равносоставленные с третьим, равносоставлены и между собой.

Действительно, пусть два многоугольника Р и Q равносоставлены порознь третьему многоугольник R. В многоугольнике R проведем все разрезы, разбивающие его на части, из которых складывается Р, и все разрезы, разбивающие его на части, из которых складывается Q. Все эти разрезы вместе разобьют многоугольник на части, из которых можно сложить как Р, так и Q. Отсюда следует, что многоугольники Р и Q равносоставлены. Это свойство называется свойством транзитивности.

Из равносоставленности следует равновеликость. Интересно, верно ли обратное для плоских многоугольников?

Теорема. Равновеликие многоугольники всегда также и равносоставлены.

Доказательство

Разобьем доказательство на три части.

1. Равновеликие параллелограммы всегда равносоставлены.

Рассмотрим сначала два параллелограмма с равными основаниями. По условию они равновелики, значит, имеют равные высоты. Проведем внутри каждого параллелограмма параллельные сторонам другого параллелограмма прямые. Тогда оба параллелограмма разобьются на одинаковое число попарно равных треугольников (рис.29). Если же параллелограммы не имеют равных сторон, строим третий параллелограмм, имеющий с первым одинаковые основание и высоту. Поскольку при этом другую сторону третьего параллелограмма можно выбирать произвольно, сделаем ее равной одной из сторон второго параллелограмма. Тогда третий параллелограмм равновелик и с первым, и со вторым, и с каждым параллелограммом имеет по равной стороне. Следовательно, он равносоставлен и с первым, и со вторым параллелограммом. Отсюда, по свойству транзитивности, первый и второй параллелограммы равносоставлены.

2. Равновеликие треугольники всегда равносоставлены.

Каждый треугольник проведением средней линии преобразуется в равносоставленный параллелограмм (рис. 30).

Тогда два равновеликих треугольника преобразуем в два равновеликих между собой параллелограмма. Согласно доказанному, полученные параллелограммы равносоставлены между собой к с одним из данных треугольников. В силу свойства транзитивности равносоставлены и равновеликие треугольники.

3. Равновеликие многоугольники всегда равносоставлены.

Возьмем один из данных многоугольников и, перенеся одну из его вершин параллельно диагонали на продолжение одной из сторон, этим самым преобразуем многоугольник в равновеликий (с числом сторон на единицу меньшим). Имея в виду, что при этом мы один треугольник заменили другим - равновеликим, а остальная часть многоугольников осталась неизменной, получим, что прежний многоугольник будет равносоставлен с новым. Продолжая этот процесс, мы превратим данный многоугольник в равносоставленный с ним треугольник. Это же преобразование проделаем и с другим многоугольником, который также преобразуется в равносоставленный ему треугольник. Так как первоначальные многоугольники были равновелики, равновеликими будут и полученные треугольники. Но равновеликие треугольники, как доказано выше, равносоставлены. Следовательно, пользуясь свойством транзитивности для равносоставленных фигур, получим, что равно составленными будут и первоначальные многоугольники.

Итак, для многоугольников понятия равновеликости и равносоставленности совпадают.

Задачи:

Данный параллелограмм разрезать на такие части, из которых можно сложить другой параллелограмм о такими же основанием и высотой.

Данный треугольник разрезать на такие части, из которых можно сложить другой данный треугольник о такими же основанием и высотой.

Как перекроить крест в квадрат (рис. 31).

На сторонах произвольного прямоугольного треугольника построены квадраты. Разрезать квадраты, построенные на катетах, так, чтобы ив полученных частей можно было сложить квадрат, построенный на гипотенузе (доказательство теоремы Пифагора).

К задачам на разрезание и складывание фигур примыкают интересные задачи покрытия плоскости многоугольниками. С такими покрытиями мы часто встречаемся в повседневной жизни: полы в комнатах застилают паркетом, стены комнат покрывают плитками, стены зданий украшают орнаментами.

Паркетом называется разбиение плоскости на многоугольники, при котором каждые Два многоугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо имеют общую сторону. Паркет называется правильным, если все многоугольники разбиения правильные, и любую вершину паркета можно перевести в любую другую его вершину некоторым перемещением, отображающим весь паркет на себя. Задача состоит в том, чтобы найти все возможные правильные паркеты. Наметим путь ее решения.

Поскольку вокруг всех вершин паркета многоугольники расположены одним и тем же способом, прежде всего, необходимо исследовать возможные расположения многоугольников вокруг некоторой вершины -назовем ее А. К вершине А не может примыкать менее трех многоугольников, а потому угол многоугольника с наименьшим числом сторон n1, который является и наименьшим углом, примыкающим к вершине А, не может быть более 120° (360°: 3 = 120°). Существуют лишь четыре правильных многоугольника, углы которых не превышают 120°, а именно: равносторонний треугольник, = 60°, n1 = 3; квадрат, = 90°,

n1 = 4; правильный пятиугольник, = 108°, n1 = 5; правильный шестиугольник, = 120°, n1 = 6. Поэтому разобьем все правильные паркеты на четыре группы: в 1-ю отнесем паркеты, в которых многоугольником с наименьшим числом сторон будет правильный шестиугольник, во 2-ю - правильный пятиугольник, в 3-ю- квадрат и в 4-ю - равносторонний треугольник.

В первую группу попадает одно покрытие, состоящее из правильных шестиугольников. Поскольку = 120°, сумма всех остальных углов, примыкающих к вершине А, равна 360°- 120°=240° Так как об, - минимальный угол, то каждый из остальных углов- не менее 120°, т.е. этих углов два по 120° каждый. Такой паркет изображен на рис.32.

= 108°, n1 = 5, тогда сумма остальных углов, примыкающих к вершине А, равна 360°- 108°= 252°. Число этих углов равно двум, так как каждый из них должен быть не меньше 108°. Пусть один из этих углов , а другой . Число сторон соответствующих многоугольников равно n2 и n3. Обозначим стороны правильного пятиугольника в порядке их обхода а1, а2, а3, а4, а5.

Если к стороне а1 примыкает n2-угольник, то к соседней стороне а2 примыкает n3-угольник, а к стороне а3 опять n2-угольник и т.д. Вокруг вершины, общей для сторон а1 и а5 , таким образом, располагаются углы , , и . Значит, выполняется равенство . Тогда , т.е. ==126°. Но правильных многоугольников с углом 126° не существует. Таким образом, во второй группе нет ни одного паркета.

= 90°, n1 = 4. Остальных углов, примыкающих к той же вершине, или три (тогда все они равны 90°), или два. В первом случае ====90°; n1= n2 = n3= n4= 4. Получим паркет, состоящий только из квадратов (рис.33).

Во втором случае меньший из остальных углов должен быть, не менее 90° и не более (360° - 90°): 2 = 135°, т.е. может иметь одно из следующих значений 90, 106, 120, 108°. Соответственно число сторон многоугольника n2, равно 4, 5, 6, 7, 8. Так как , получим пять следующих комбинаций:

=90°,=90°,=180°. Эта комбинация невозможна, потому что не существует правильного многоугольника с углом в 180°.

=90°,=108°,=162°. Такая комбинация также невозможна, поскольку многоугольник с углом 108° есть пятиугольник и рассуждения, проведенные при рассмотрении второй группы паркетов (см. рис. 41), приводят к выводу, что =, а это противоречит полученным числовым значениям.

=90°,=120°,=150°. Эта комбинация дает паркет, состоящий из квадратов (= 90°, n1 = 4), шестиугольников (= 120°, n2 = 6) и двенадцатиугольников (= 150°, n3 = 12) (рис. 34). =90°,,- паркета не существует, потому что не существует травильного многоугольника с углом .

=90°,=135°,=135°- эта комбинация дает паркет, состоящий из квадратов ( = 90°, n1 = 4) и восьмиугольников (==135°, n2 = n3 = 8) (рис.35).

= 60°, n1 = 3 сумма остальных углов равна 360° - 60° = 300°, а их число может быть равно двум, трем, четырем или пяти. Если их пять, то ; каждый из них равен 60°, и получится паркет, состоящий из од их треугольников (рис.36).

Предлагается в домашнем задании закончить дальнейшие рассуждения и описать все правильные паркеты. (Заметим, что всего должно получиться 11 правильных паркетов).

Перейдем к вопросам равновеликости и равносоставленности в пространстве. Свойство равновеликости и равносоставленности многоугольников не имеет себе аналогии в пространстве.

Два многогранника называются равновеликими, если их объемы равны. Два многогранника назывался равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многогранников. Ясно, что два равносоставленных многогранника будут и равновеликими. А вот обратное, вообще говоря, неверно: не всякие два равновеликих многогранника будут равносоставленными. Это было доказано немецким ученым М. Деном в 1901 г. Доказательство было сложным, и через два года русскому математику В.Ф.Кагану удалось упростить доказательство. Из результатов Дека - Кагана вытекает, что при выводе формул объемов многогранников недостаточно пользоваться методом разложения или методом дополнения; в частности, оказывается, что правильный тетраэдр и равновеликий ему куб неравносоставлены, и в то же время их нельзя дополнить до равных или хотя бы равносоставленных многогранников. Именно поэтому при выводе формулы объема пирамиды в курсе средней школы приходится прибегать к теории пределов. Так была решена третья проблема Гильберта. Отсюда следует, что равносоставленность равновеликих многогранников является исключением; как правило, два равновеликих многогранника не будут равносоставлены. Приведем примеры некоторых равновеликих многогранников, которые являются и равносоставленными.

Задачи:

Доказать, что равновеликие прямоугольные параллелепипеды равносоставлены.

Доказать, что равновеликие призмы равносоставлены.

Аналогично с задачами на плоскости и в пространстве можно рассмотреть задачи на разрезание:

Разрезать куб на три равные пирамиды.

Как разрезать параллелепипед на шесть равновеликих пирамид? На три равновеликие пирамиды?

Аналогично тому, как плоскость покрывается многоугольниками, пространство заполняется многогранниками. Из всех многоугольников только треугольники, квадраты и шестиугольники покрывают плоскость. Интересно, какие из правильных многогранников заполняют пространство? Итак, переходим к следующей задаче.

Задача. Какими равными одноименными правильными многогранниками можно заполнить пространство?

Решение. Этот вопрос можно решить экспериментально, взяв набор одинакового размера моделей правильных многогранников и, прикладывая их одна к другой, убедиться, какие из них вплотную прилегают друг к другу. Конечно, интересно решить задачу и теоретически. Пусть - величина двугранного угла правильного многогранника; n - число правильных многогранников, имеющих общее ребро. Тогда n·=360°. Ясно, что данное равенство может выполняться только для одного правильного многогранника - куба, у которого = 90°. (Задача о величине двугранного угла каждого правильного многогранника рассматривалась на занятии № 5). Итак, из правильных многогранников все пространство можно заполнить только кубами.

Однако пространство можно заполнять и другими многогранниками, например усеченными октаэдрами, ромбододекаэдрами или комбинировать многогранники, например тетраэдры и октаэдры; усеченные октаэдры, кубы и ромбокубооктаэдры; ромбокубооктаэдры, усеченные кубы и усеченные тетраэдры (Квант, 1976, № 9. С.25, 1-я стр. обл.).

Литература

Болтянский В.Г. Третья проблема Гильберта. М.: Наука, 1977.

Гамаюнов В. Полуоктаэдры и драпировка потолков//Квант, 1981, № 1. С.18.

Гольцева Р. Заполнение пространства // Квант, 1976, № 9. С.25.

Колмогоров А.Я. Паркеты из правильных многоугольников// Квант, 1986, № 8. С.З, 4, 7.

Михайлов О. Одиннадцать правильных паркетов//Квант, 1979, №2. С.9-14.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981. С.44-50, 94-97 / Библиотечка “Квант” вып. 8.

Задание на дом

Общее задание.

Закончить перечисление правильных паркетов. Сделать рисунки всех 11 правильных паркетов.

Доказать, что правильными тетраэдрами и октаэдрами можно заполнить все пространство.

Задачи:

1) данный прямоугольник разрезать на такие части, из которых можно было бы составить равновеликий квадрат;

2) данный треугольник разрезать на такие части, из которых можно было бы сложить равновеликий квадрат;

3) разрезать данную прямую треугольную призму на три равновеликих тетраэдра.

Индивидуальные задания.

1. Сообщение на тему "Симметрия в природе, искусстве и науке" (Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. С.35-37; Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов. М.: Наука, 1978, С.39-48; Узоры симметрии. М.: Мир, I960. С.13-30).

2. Сообщение на тему "Что изучает теория групп" (Колмогоров А.Н. Группы преобразований // Квант, 1976, № 10. С.2-5; Садовский Л., Аршинов М. Группы // Квант, 1976, № 10. С. 6-12).

3. Жизнь и творчество ведающегося русского математика и кристаллографа Е.С.Федорова (1853 - 1919) (Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов.)

ЗАНЯТИЕ № 9 Симметрия многогранников

Многие многогранники, прежде всего правильные, полуправильные, правильные звездчатые и другие, формы которых принимают и природные многогранники - кристаллы, снежинки, имеют очень красивые формы. Эти многогранники, по образному выражению выдающегося русского математика и кристаллографа Е.С.Федорова, "буквально блещут симметрией".

Определение: Симметрией фигуры, в частности многогранника, называется свойство, состоящее в том, что существует его перемещение, совмещающее многогранник с самим собой.

Такое перемещение называется преобразованием симметрии многогранника, или его элементом симметрии. Рассмотрим возможные элементы симметрии многогранников центр симметрии, плоскости симметрии и оси симметрии.

Центр симметрии

Точки А и A1 симметричны относительно точки О .

Точка О называется центром симметрии многогранника, если каждая точка X многогранника симметрична относительно точки О некоторой точке Х1 этого же многогранника. Точка О -центр куба (рис.37, а); многогранника, форму которого может принимать кристалл горного хрусталя (рис.37, б).

Плоскость симметрии многогранника

Точки А и А1 симметричны относительно плоскости (рис. 38).

Плоскость называется плоскостыо симметрии многогранника, если каждая точка X многогранника симметрична относительно данной плоскости некоторой точке X1 этого же многогранника. На рис. 39, а изображена одна из плоскостей симметрии куба, на рис. 39, б - плоскость симметрии кристалла горного хрусталя.

Ось симметрии

Точки А и А1 симметричны относительно оси l (pиc.40).

Прямая называется осью симметрии многогранника, если каждая точка Х многогранника симметрична относительно оси l некоторой точке X1 этого же многогранника. На рис.41, а изображена одна из осей симметрии куба, на рис.41, б - ось симметрии кристалла горного хрусталя.

Оси симметрии высших порядков

Поворот вокруг прямой. Представление о повороте в пространстве дает любой вращающийся предмет, например дверь, пропеллер, вал турбины, ворот колодца и т.д. Поворот задается осью, углом и направлением поворота. Поворотом фигуры вокруг прямой l на угол называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой l, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой l на один и тот же угол в одном и том же направлении. Прямая l называется осью поворота, а угол - углом поворота.

Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180°. При повороте вокруг прямой l на 180° каждая точка А переходит в такую точку А1 , что и AO=OA1. Таким образом, поворот на 180° вокруг прямой является также симметрией относительно этой прямой.

Следовательно, если многогранник имеет ось симметрии, то он совмещается с самим собой при повороте вокруг этой оси на 180°. Такая ось симметрии называется осью симметрии 2-го порядка, так как при полном обороте вокруг этой оси многогранник будет дважды в процессе поворота принимать положение, совпадающее с исходным. Возможны случаи, когда многогранник приходит в совмещение с исходным положением после поворота вокруг некоторой оси на угол, меньший 180°. Таким образом, когда многогранник сделает полный оборот вокруг этой оси, он несколько раз совместится со своим исходным положением. Такая ось называется осью симметрии высшего порядка. Порядком оси симметрии называется число положений многогранника, совпадающих с его исходным. Например, на рис. 41, а изображена ось симметрии куба 4-го порядка, на рис. 41, б - ось симметрии 6-го порядка.

Зеркальный поворот. Если многогранник переходит сам в себя в результате композиции, т.е. последовательного выполнения двух преобразований- поворота вокруг оси l на угол и отражения относительно плоскости , перпендикулярной оси поворота, то говорят, что многогранник обладает симметрией поворотного отражения, а прямую l называют зеркально-поворотной осью n-го порядка.

Интересным примером многогранника, который совмещается сам с собой при зеркальном повороте, является антипризма (об этом многограннике говорилось на занятии № 6. Антипризма, у которой все ребра равны, является примером равноугольно полуправильных многогранников).

Задачи:

В результате каких перемещений переходит в себя правильная пирамида:

а) четырехугольная;

б) n-угольная?

В результате каких перемещений переходит в себя правильная бипирамида:

а) четырехугольная;

б) n-угольная?

В правильном тетраэдре закрасили одну грань. В результате каких перемещений он самосовместится?

Симметрия правильных многогранников

Правильные многогранники характеризуются тем, что они самые симметричные из всех многогранников. Это означает, что если на таком многограннике взять какую-нибудь вершину А, подходящее к ней ребро а и грань , подходящую к этому ребру, и еще любой такой же набор А?, а?, ?, то существует такое самосовмещение многогранника, которое вершину А отображает на А?, ребро а- на ребро а?, грань - на грань ?. Действительно, так как две грани правильного многогранника равны, то существует перемещение, которое одну из них переводит в другую. В результате, поскольку и двугранные углы правильного многогранника равны, многогранник самосовместится или перейдет в многогранник, симметричный исходному относительно второй взятой грани. В этом случае необходимо рассмотреть отражение от этой плоскости.

Рассмотрим элементы симметрии правильных многогранников.

Тетраэдр

Шесть плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро и середину противоположного ребра (рис. 42, а).

Четыре оси 3-го передка, проходящие через вершины и центры противоположных им граней (рис. 42, б).

Три зеркальные оси 4-го порядка, проходящие через середины противоположных ребер (рис. 42, в).

Куб

Центр симметрии - центр куба.

Плоскости симметрии - три плоскости симметрии, перпендикулярные ребрам в их серединах (рис.43, а); шесть плоскостей симметрии, проходящие через противоположные ребра (рис. 43, б).

Оси симметрии - три оси симметрии 4-го порядка, проходящие через центры граней (рис. 44, а); шесть осей симметрии 2-го порядка, проходящие через середины противоположных ребер (рис. 44, б);

четыре зеркальные оси 6-го порядка, проходящие через противоположные вершины (рис.45, а).

Последний вид симметрии можно представить следующим образом. Сечение куба плоскостью, перпендикулярной диагонали куба, и проходящей через его центр, представляет собой шестиугольник, вершины которого лежат в серединах шести ребер (рис.45, б). При повороте куба на 60° этот шестиугольник отображается на себя, а куб в целом нужно еще отразить в плоскости этого шестиугольника.

Октаэдр

Октаэдр двойственен кубу, поэтому у него те же элементы симметрии с той лишь разницей, что плоскости и оси симметрии, проходящие у куба через вершины и центры граней, у октаэдра проходят наоборот - черва центры граней и вершины. Икосаэдр

Центр симметрии - центр икосаэдра.

Оси симметрии - шесть осей симметрии 5-го порядка, проходящие через противоположные вершины (рис.46, а); 10 осей симметрии 3-го порядка, проходящие через центры противоположных граней икосаэдра (рис.46, 6); 15 осей симметрии 2-го порядка, проходящие через середины каждых двух противоположных ребер, симметричных относительно центра икосаэдра (рис.46, в).

Плоскости симметрии - 15 плоскостей симметрии, перпендикулярные осям симметрии 2-го порядка и проходящие через центр многогранника.

Зеркально-поворотные оси - каждая ось 5-го порядка является и осью симметрии 10-го порядка, плоскость отражения перпендикулярна соответствующей оси симметрии 5-го порядка и проходит через центр многогранника. Таким образом, икосаэдр имеет шесть зеркально-поворотных осей 10-го порядка.

Далее, каждая ось симметрии 3-го порядка является также зеркально-поворотной осью 6-го порядка, Плоскость отражения перпендикулярна соответствующей оси симметрии 3-го порядка и проходит через центр многогранника. Таким образом, икосаэдр имеет еще десять зеркально-поворотных осей 6-го порядка.

Додекаэдр

Додекаэдр двойственен икосаэдру, поэтому у него те же элементы симметрии, только, как и в случае рассмотрения двойственных многогранников - куба и октаэдра - плоскости и оси симметрии, проходящие у икосаэдра через вершины и центры граней, у додекаэдра проходят, наоборот - через центры граней и вершины.

Задачи.

В результате каких перемещений переходит сам в себя куб, у которого окрашена одним цветом: одна грань? Две грани?

В результате каких перемещений переходит сам в себя - куб, у которого срезаны по углам равные правильные треугольные пирамиды: с одного угла, с двух углов?

Группа симметрии

Перемещения фигуры, совмещающие ее саму с собой, называются преобразованиями симметрии. Совокупность всех преобразований симметрии фигуры, в частности многогранника, включал и тождественное преобразование, называется его группой симметрии. При этом композиция, т.е. последовательное выполнение двух преобразований симметрии, и обратное данному преобразованию симметрии, тоже являются преобразованиями симметрии. Рассмотрим и докажем этот факт.

Теорема. Если перемещения совмещают фигуру саму с собой, то их композиция также совмещает эту фигуру саму с собой. Если, какое-либо перемещение совмещает фигуру саму с собой, то обратное перемещение тоже совмещает ее саму с собой.

Доказательство:

Пусть f и g два перемещения, по отдельности совмещающие многогранник М сам собой. Тогда при перемещении f многогранник М совместится сам с собой. Поэтому, применяя к нему перемещение g, получим, что g опять совместит М с самим собой.

Таким образом, композиция g?f совмещает многогранник М с самим собой. Композиция перемещений есть перемещение. Поэтому g?f есть перемещение, совмещающее М с самим собой.

Покажем это и для обратного перемещения. Пусть f совмещает М с самим собой. Произведем перемещение f , а потом обратное перемещение . Оно производится с тем же многогранником М, так как f совместило его с самим собой. Вместе с тем, поскольку - обратное отображение, то оно вернет М в прежнее положение. Таким образом, совместит М с самим собой.

Итак, композиция двух преобразований симметрии многогранника и преобразование, обратное данному преобразованию симметрии многогранника, являются преобразованиями симметрии данного многогранника.

Задачи:

Может ли множество самосовмещений некоторого многогранника содержать ровно три перемещения?

У четырехугольной пирамиды все боковые ребра равны и противоположные плоские углы при вершине равны. Какова группа симметрии этой пирамиды?

Образует ли группу симметрии куба все отображающие его на себя осевые симметрии?

Симметрия кристаллов

Природные формы кристаллов правильны и симметричны, это правильные многогранники, призмы, пирамиды, параллелепипеды, полуправильные и звездчатые многогранники. Внешняя форма кристаллов обусловлена их внутренним строением. Основной характерной особенностью структуры кристаллов является свойство симметрии. Основными элементами симметрии кристаллов, как и многогранников, являются: плоскости симметрии, оси симметрии и центр симметрии. Кроме основных элементов симметрии возможны и другие, получающиеся композицией основных симметрии. Полный набор всех элементов симметрии образует группу, которая называется группой симметрии данного кристалла. Каждый кристалл характеризуется своей группой симметрии.

Основной вклад в изучение симметрии кристаллов внес выдающийся русский математик и кристаллограф Е.С.Федоров, который строго математически в 1890 г. вывел все возможные группы симметрии кристаллов. Это было за 10 лет до открытия рентгеновских лучей, когда само существование атома ставилось под сомнение. Только через 27 лет с их помощью на опыте было доказано существование кристаллической структуры и тем самым подтверждено блестящее предвидение Е.С.Федорова. Ученым было выведено 230 групп симметрии кристаллов. Таким образом, была проведена полная классификация всех кристаллов.

Литература

Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.

Колмогоров А. Группы преобразований // Квант, 1976, № 10. С.2-5.

Кузнецова Л.И. Группы самосовмещения тетраэдров // Математика в школе, 1977, № 3. С.68, 69.

Окунев А.К. Симметрия правильных многогранников // Математика в школе, 1976, № 6. С.54-58.

Садовский Л., Аршинов М. Группы // Квант, 1976, №10. С.6-12.

Узоры симметрии. М.: Мир, 1980.

Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов. М.: Наука, 1978. С.39-71.

Задание на дом.

Общее задание. Задачи:

Назвать элементы симметрии правильных октаэдра и додекаэдра.

Может ли многогранник иметь два центра симметрии?

В правильном тетраэдре закрасили две грани одним цветом. В результате каких перемещений он самосовместится?

Образует ли группу симметрии тетраэдра все отображающие его на себя осевые симметрии? Образует ли группу симметрии куба все отображающие его на себя зеркальные симметрии?

Индивидуальные задания.

Кристаллы на уроках физики (6, 7, 9-е классы).

Кристаллы на уроках химии (7, 8, 9-е классы).

Применение кристаллов в технике и медицине / Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов. М.: Наука, 1978. С.135, 144-157.

Заключение

В Концепции профильного обучения на старшей ступени образования предусмотрены элективные курсы -- обязательные для посещения курсы по выбору, входящие в состав профиля обучения.

В работе представлен элективный курс "Многогранники", который посвящен систематическому изложению учебного материала, связанного с понятием многогранника. На этих занятиях, помимо углубленного изучения программного материала, большое внимание было уделено историческим и методологическим вопросам развития теории многогранников, зародившейся в глубокой древности и связанной с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Кеплера, Л. Эйлера и других ученых.

Была показана связь теории многогранников с современными разделами математики: топологией, теорией графов.

Для курса характерна практическая направленность. Введены элементы истории и практических приложений. Изложение практических приемов решения сопровождается необходимыми теоретическими сведениями.

Элективный курс "Многогранники" способствует воспитанию чувства красоты математики посредством широкого использования многогранников в архитектуре, живописи, декоративно-прикладном искусстве. Изготовление моделей правильных, полуправильных и правильных звёздчатых многогранников служит развитию пространственного воображения и конструктивных навыков учащихся. Изучение свойств многогранников позволяет успешно справиться с заданиями единого государственного экзамена.

Литература

1. Александров, А. Д. Выпуклые многогранники / А. Д. Александров. - М.; Л.: Гостехиздат, 1950. - 428 с.

2. Базылев, В. Т., Дуничев, К. И. Геометрия: Часть 2. - М.: Просвещение, 1975. С. 193-234, 276-304.

3. Гамаюнов, В. Н. Модели звездчатых многогранников // Квант, 1981, №2. С. 39-43.

4. Гамаюнов, В. Н. Тайна геометрических чертежей // Квант, 1976, №1. С. 9-11.

5. История математики. Том 3. Математика 18 столетия / Под ред.

6. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1972. С. 201-205.

7. Математика: Школьная энциклопедия / Гл. ред. С.М. Никольский. - М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996. - 527 с.

8. Математический энциклопедический словарь / Советская Энциклопедия, 1988.

9. Минковский, Г. Общие теоремы о выпуклых многогранниках // Успехи математических наук, 1936, вып. 2. С. 56-71.

10. Многогранники. Факультативный курс: Методические разработки - И. М. Смирнова. - М.: МГПИ, 1988. 95 с.

11. Правильные многогранники. - (kvant. mccme. ru)

12. Советская Энциклопедия. - М. - 1979.

13. Узоры симметрии / Под ред. М. Сенешаль и Дж. Флерка. Пер. с англ. Ю. А. Данилова под ред. Акад. Н. В. Белова и проф. Н. Н. Шефталя. - М.: Мир, 1980. - 271 с.

14. Федоров, Е. С. Симметрия и структура кристаллов: Основные работы / Ред. А. В. Шубникова, И. И. Шафрановского. Симметрия правильных систем точек. - М.: АН СССР, 1949. - 378 с.

15. Черенков, А., Храмов, В. Многогранники из ленты // «Наука и жизнь», 1989, №16. С. 5-17.

16. Энциклопедия элементарной математики. IV - Геометрия. - М.: Гос. Изд-во физ-матем. литературы, 1963. - 472 с.