Субнормальные подгруппы групп

6

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования государственный университет

имени Франциска Скорины

Конкурс научных работ студентов высших учебных заведений Республики Беларусь по естественным, техническим и гуманитарным наукам

подгруппы

СУБНОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП

Математика, прикладная математика, механика и астрономия

Сергей Николаевич,

5 курс

Владимир Николаевич,

заведующий кафедрой высшей математики,

доктор физико-математических наук,

доцент

Гомель, 2005

Реферат

содержит 32 страницы, 21 источник.

слова: конечные группы, подгруппы конечных групп, формации конечных групп, субнормальные подгруппы, -субнормальные подгруппы, -достижимые подгруппы.

и предмет исследования. Обектом исследования являются конечные группы. Предмет исследования - строение конечных групп в зависимости от свойств их обобщенно субнормальных подгрупп.

Исследования. Целью исследования является изучение строения конечных групп по заданным свойствам их обобщенно субнормальных подгрупп.

Методы исследования. Использовались методы абстрактной теории групп, методы теории формаций конечных групп.

Результаты, их новизна. В ходе исследования получены новые результаты, имеющие большой научный интерес в изучении строения конечных групп по заданным свойствам их обобщенно субнормальных подгрупп. В частности, полученные результаты приводят к обобщению известного результата английского математика Хоукса.

Внедрения. Настоящая научная работа может использоваться при чтении спецкурсов на математическом факультете.

Отзыв

На научную работу на тему СУБНОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП, студентом математического факультета Н.01.01 СЕРГЕЕМ НИКОЛАЕВИЧЕМ

В 30-е годы прошлого столетия известным немецким математиком Виландтом была построена теория субнормальных подгрупп конечных групп, которая с успехом используется многими математиками при изучении строения конечных групп.

В теории формаций конечных групп понятие субнормальной подгруппы обобщается двумя способами. Это понятие -субнормальных и -достижимых подгрупп.

Л.А. Шеметковым в монографии конечных групп была поставлена задача о построении теории -субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп. Данная задача сразу привлекла пристальное внимание многих алгебраистов как у нас в стране, так и за рубежом.

Из сказанного следует, что тема научной работы актуальна.

Целью настоящей научной работы является изучение строения конечных групп по заданным свойствам -субнормальных подгрупп. С этой задачей С.Н. Шевчук с успехом справился. Им был получен ряд результатов, несомненно представляющих интерес. В частности, из полученных результатов следует известный результат английского математика Хоукса. Результаты дипломной работы опубликованы в 5 научных работах. Соответствующие доклады были представлены на международных конференциях, проводимых в городах Иркутске, Севастополе, на IX Белорусской математической конференции в Гродно, конференции студентов и аспирантов в Гомельском государственном университете им.Ф. Скорины.

При написании работы студент С.Н. Шевчук проявил умение работать с научной литературой, самостоятельность, способность к научному исследованию.

Полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов на математическом факультете.

Руководитель дипломной работы, д. ф. - м. н., доцент, зав. кафедрой высшей математики В.Н. Семенчук

Содержание

• Субнормальные подгруппы и их свойства
• Обощенно субнормальные подгруппы и их свойства
• Обобщение теоремы хоукса
• Заключение
• Литература

Введение

Центральной задачей любой содержательной математической теории является задача о разумной классификации и конструктивном описании тех исследуемых в ней объектов, которые наиболее полезны в различных приложениях. Реализация такой задачи всегда связана с разработкой новых методов исследования, которые в конечном счете составляют основное идейное богатство данной теории. Такая тенденция ярко проявилась на примере развития теории конечных непростых групп в последние три десятилетия. Как отмечено в монографии Л.А. Шеметкова , хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых методов и систематизирующих точек зрения.

Одной из таких систематизирующих и, как оказалось, весьма перспективных точек зрения явилась идея Гашюца о том, что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцом насыщенной формацией.

Напомним, что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре, и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.

Известным немецким математиком Виландтом была построена теория субнормальных подгрупп конечных групп, которая с успехом используется многими математиками при изучении строения конечных групп. Основные свойства субнормальных подгрупп приводятся в первом разделе научной работы. В теории формаций конечных групп понятие субнормальной подгруппы обобщается двумя способами.

Естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в книге .

Пусть - непустая формация. Подгруппу группы назовем -субнормальной, если либо либо существует максимальная цепь такая, что для всех .

Если - класс всех нильпотентных групп, то в каждой разрешимой группе множество всех -субнормальных подгрупп совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп группы . Однако для произвольной группы это не так.

Наряду с понятием -субнормальности естественным обобщением субнормальности является понятие -достижимости введенное Кегелем в работе .

Назовем подгруппу -достижимой, если существует цепь подгрупп такая, что для любого либо подгруппа нормальна в , либо .

Основные свойства обобщенно субнормальных подгрупп приводятся во втором разделе работы.

Отметим, что для любой непустой формации множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы содержит множество всех субнормальных подгрупп группы и множество всех -субнормальных подгрупп группы . Если - непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для произвольной группы .

В третьем разделе изучается строение конечных групп по заданным свойствам -субнормальных подгрупп.

Результаты научной работы опубликованы в , , .

Субнормальные подгруппы и их свойства

Определение 1 Пусть - подгруппа группы . Цепь подгрупп

в которой для любого , ,..., , называется субнормальной -цепью, а число - длиной этой цепи. Наименьшее , при котором существует хотя бы одна субнормальная -цепь длины , называется дефектом подгруппы в и обозначается через .

Определение 2 Пусть - подгруппа группы . Если существует хотя бы одна субнормальная -цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается .

Лемма 3 Если субнормальна в , и субнормальна в , то субнормальна в .

Proof. субнормальна в , следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная -цепь

субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Таким образом, мы получили субнормальную -цепь

то есть субнормальна в по определению. Лемма доказана.

Теорема 4 Если подгруппа субнормальна, но не нормальна в , то существует такой элемент , что

Proof. Пусть - дефект подгруппы в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :

Из того, что не нормальна в , следует, что . не нормальна и в , иначе мы получаем противоречие с тем, что - дефект подгруппы в группе , так как в этом случае подгруппу в цепи можно было бы опустить. Поэтому существует элемент такой, что . Теперь имеем

Так как , то . С другой стороны, и , откуда получаем . Теорема доказана.

Определение 5 Пусть - субнормальная подгруппа дефекта в . Субнормальная -цепь

называется канонической, если для любой субнормальной -цепи

имеет место , , ,..., .

Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.

Теорема 6 Если субнормальна в , то существует единственная каноническая субнормальная -цепь.

Proof. Пусть - дефект подгруппы в группе . Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины . все субнормальные -цепи длины ( - второй индекс). Положим . Так как , то для любого , ,..., мы имеем

Таким образом, цепь является субнормальной -цепью длины и, следовательно, не имеет повторений. Так как при любых и , то теорема доказана.

Теорема 7 Если субнормальна в и - подгруппа , то пересечение есть субнормальная подгруппа .

Proof. Рассмотрим субнормальную -цепь минимальной длины :

Положим . Получаем цепь

Ясно, что она будет субнормальной, так как . Действительно, пусть , значит, и . Тогда для любого , так как и .

Мы получили субнормальную -цепь. Теорема доказана.

Следствие 8 Пусть и - подгруппы группы . Если субнормальна в и - подгруппа , то субнормальна в .

Proof. Пусть и цепь

является субнормальной -цепью.

Положив , получим субнормальную -цепь что и требовалось.

Теорема 9 Пусть субнормальна в и субнормальна в . Тогда пересечение есть субнормальная подгруппа в .

Proof. Пусть - наибольший из дефектов подгрупп и в группе . Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи

Положим , , ,..., . Из , следует, что нормальна в . Следовательно, цепь является субнормальной -цепью, что и доказывает теорему.

Лемма 10 Если субнормальна в , а - нормальная подгруппа группы , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .

Proof. субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Следовательно, цепь будет субнормальной.

Действительно, так как и , то . Лемма доказана.

Лемма 11 Если подгруппы и субнормальны в и , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .

Proof. Если нормальна в , то результат следует из леммы .

Предположим, что не нормальна в , то есть . Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим . Таким образом, если и субнормальны в причем и , то по индуктивному предположению субнормальна в .

Пусть - каноническая субнормальная -цепь. Так как нормализует подгруппу , то для любого цепь будет субнормальной -цепью. По свойству канонической субнормальной -цепи , а значит, для любого , ,..., (по определеделению).

Следовательно, содержится в для любого . Так как и , то по индукции субнормальна в . По следствию субнормальна в . Так как и , то . Таким образом, , , а значит, по лемме подгруппа субнормальна в . К тому же , то мы получаем . Лемма доказана.

Теорема 12 Если и - субнормальные подгруппы группы , то есть также субнормальная подгруппа .

Proof. Положим . Среди субнормальных подгрупп группы , содержащихся в , выберем подгруппу , имеющую наибольший порядок. По следствию субнормальна в . Докажем, что нормальна в . Предположим противное, то есть что не нормальна в . Тогда по теореме найдется такой элемент , что , и . Так как субнормальна в и , то субнормальна в . Получается следующая ситуация: и субнормальны в , . По лемме субнормальна в . Ввиду выбора отсюда следует , что противоречит .

Итак, нормальна в , а значит, и нормализуют подгруппу . По лемме и субнормальны в . Так как и , то ввиду выбора получаем . Следовательно, , откуда вытекает, что . Теорема доказана.

Объединяя теоремы и , получим классический результат Виландта.

Теорема Виландт 13 Множество всех субнормальных подгрупп группы образует подрешетку решетки .

Отметим одно часто используемое приложение теорем и .

Теорема 14 Пусть - некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы , удовлетворяющее следующим условиям:

1) если и , то ;

2) если , , , , то .

Тогда для любой подгруппы .

Proof. Возьмем произвольную подгруппу из . Если не нормальна в , то по теореме найдется такой элемент , что , , . По условиям 1) и 2) , . Если не нормальна в , то найдется такой, что , , . Тогда и . Если не нормальна, то описанную процедуру применяем к . Так как конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы , представимой в виде , где - некоторые элементы из . Очевидно, , и теорема доказана.

Следствие 15 Если - непустой радикальный класс, то содержит все субнормальные -подгруппы группы .

Proof. Пусть - множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы легко заметить, что удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы .

Следствие 16 Для любой субнормальной подгруппы группы справедливы следующие утверждения:

1) если - -группа, то ;

2) если нильпотентна, то ;

3) если -нильпотентна, то ;

4) если разрешима, то .

Обощенно субнормальные подгруппы и их свойства

Определение 17 Пусть - некоторая непустая формация. Следуя Л.А. Шеметкову, подгруппа группы называется:

1) -субнормальной, если существует максимальная цепь

такая, что для любого подгруппа -нормальна в ;

2) -абнормальной, если для любой максимальной цепи

подгруппа -абнормальна в для любого .

В настоящем разделе изучаются группы, у которых любая неединичная собственная подгруппа либо -абнормальна, либо -субнормальна.

Полученные результаты о строении таких групп нашли успешное применение в работе ряда математиков (см., например, ).

Лемма 18 Пусть - непустая наследственная формация. Если - -субнормальная подгруппа, то - субнормальная подгруппа.

Proof. Пусть - -субнормальная подгруппа группы . Если , то лемма очевидна. Пусть . Тогда содержится в максимальной -нормальной подгруппе группы . По индукции - субнормальная подгруппа из . Так как и - наследственная формация, то . Отсюда . А это значит, что . Так как - нормальная подгруппа группы , то - субнормальная подгруппа . Лемма доказана.

В следующих леммах приведены известные свойства -субнормальных подгрупп.

Лемма 19 Пусть - непустая наследственная формация. Тогда:

1) если - подгруппа группы и , то -субнормальна в ;

2) если -субнормальна в , - подгруппа группы , то -субнормальна в ;

3) если и -субнормальные подгруппы , то - -субнормальная подгруппа ;

4) если -субнормальна в , а -субнормальна в , то -субнормальна в ;

5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы является -субнормальной;

6) если - -субнормальная подгруппа группы , то -субнормальна в для любых .

Лемма 20 Пусть - непустая формация, - подгруппа группы , - нормальная подгруппа из . Тогда:

1) если -субнормальна в , то -субнормальна в и -субнормальна в ;

2) если , то -субнормальна в тогда и только тогда, когда -субнормальна в .

Лемма 21 Пусть - локальная формация, - группа, каждая неединичная собственная подгруппа которой либо -абнормальна, либо -субнормальна. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если , то ;

2) если , то - -разрешимая группа такая, что , где , .

Proof. Пусть . Очевидно, что любая максимальная подгруппа из -субнормальна в , а значит -нормальна в . Так как - локальная формация, то .

Пусть . Покажем, что - -разрешимая группа. Пусть - любое простое число из такое, что . Очевидно, что любая собственная подгруппа из -абнормальна в . Ввиду того, что получаем . Отсюда следует -разрешимость группы .

Рассмотрим подгруппу , где - любое простое число из . Выше мы показали, что . По теореме 15.1 из - -проектор группы . По теореме 15.7 из -проекторы группы сопряжены. А это значит, что , где , . Лемма доказана.

Лемма 22 Пусть - локальная наследственная формация. Если каждая неединичная собственная подгруппа группы -абнормальна, либо -субнормальна, то справедливы следующие утверждения:

1) каждая -субнормальная подгруппа из принадлежит ;

2) подгруппа из тогда и только тогда является -проектором группы , когда - добавление к в ;

3) если , то .

Proof.1) Пусть - -субнормальная подгруппа из , - максимальная подгруппа из . Очевидно, что - -субнормальная подгруппа группы . Из леммы получаем, что -нормальна в . Так как - локальная формация, то .

2) Пусть - -проектор группы . Отсюда . Пусть , . Согласно условию -абнормальна в , либо -субнормальна в . Если -субнормальна в , то , где - -нормальная максимальная подгруппа из . Учитывая, что , получаем . Противоречие. Следовательно, и является добавлением к в .

Пусть - добавление к в . Тогда по лемме 11.1 из цепь

Как и выше легко показать, что -абнормальна в . Кроме того,

Так как и - локальная формация, то . По теореме 15.1 из получаем, что - -проектор группы .

3) Не ограничивая общности, можно считать, что . В этом случае равна прямому произведению некоторого числа минимальных нормальных подгрупп из . Пусть - одна из них. Так как , то в найдется максимальная подгруппа такая, что . Если -нормальна, то из пункта 1) следует, что . Отсюда по теореме 15.10 из следует, что . Противоречие. Итак, -абнормальна в . Отсюда по теореме 8.1 из получаем, что - -эксцентральный главный фактор группы . Нетрудно заметить, что . А это значит, что . Лемма доказана.

Обозначим через - класс всех конечных групп, у которых любая собственная неединичная подгруппа -субнормальна, либо -абнормальна.

Лемма 23 Пусть , где - локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) группа монолитична с монолитом

2) - -группа для некоторого простого ;

3) - -эксцентральный главный фактор ;

4) ;

5) если группа неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;

6) если абелева, то она элементарна;

7) если , то - экспонента ; при экспонента не превышает 4;

8) для любой -абнормальной максимальной подгруппы из имеет место

9) любые две -абнормальные максимальные подгруппы группы сопряжены в ;

10) если и подгруппа содержит , то для любого полного локального экрана формации ;

11) если - -абнормальная максимальная подгруппа группы и - некоторый полный локальный экран , то - минимальная не -группа и либо , либо .

Лемма 24 Пусть - локальная наследственная формация. Тогда .

Proof. Пусть . Из леммы следует, что - главный фактор группы . Пусть - неединичная собственная подгруппа из . Если , то - максимальная подгруппа группы . Ясно, что -абнормальна в . Если , то по лемме -субнормальна в . Очевидно, что . А это значит, что -субнормальна в . Следовательно, - -субнормальная подгруппа группы . Итак, . Лемма доказана.

Напомним, что , где - пробегает все простые числа.

Лемма 25 Пусть - разрешимая группа и . Тогда либо , либо - силовская подгруппа в .

Proof. Если примарна, то лемма очевидна. Пусть непримарна и является -группой для некоторого простого числа . Так как и в нет нормальных -подгрупп, то - силовская -подгруппа в . Лемма доказана.

Лемма 26 Пусть - локальная наследственная формация, - разрешимая группа, и . Тогда и только тогда , когда справедливы следующие утверждения:

1) , , - -проектор ;

2) каждая собственная -субнормальная подгруппа из принадлежит .

Proof. Необходимость. Пусть , причем и . Покажем, что - холловская подгруппа из . Пусть и - --минимальная нормальная -подгруппа группы , содержащаяся в . Ясно, что

По индукции - холловская подгруппа из . Если делится на , то . Пусть , то

Противоречие. Итак, и - холловская подгруппа из . Пусть не делится на . По обобщенной лемме Фраттини

Ясно, что - холловская подгруппа из . Если , то по индукции - холловская подгруппа из . Отсюда и - холловская подгруппа. Если , то . Итак, . Так как , то, учитывая лемму , рассмотрим следующие два случая:

1) имеет нормальную силовскую подгруппу . Если , то . По лемме . Итак, . Пусть , где . Ясно, что и . По индукции - холловская подгруппа из . По лемме 1.2 из . По лемме . Следовательно, - холловская подгруппа из ;

2) . Пусть и - минимальные нормальные подгруппы из , причем - -группа - -группа . Если , то . Отсюда . По индукции - холловская подгруппа из . Следовательно, - холловская подгруппа из . Пусть и . По индукции и - холловские подгруппы из и соответственно. Пусть . Если , то . Отсюда делится на . Пусть . Тогда и делится на . Итак, - холловская подгруппа группы . Следовательно,

По лемме - проектор . Утверждение 2) следует из леммы .

Достаточность. Пусть - собственная неединичная подгруппа . Тогда , где , . Если , то по теореме 15.1 из , а значит и , -абнормальна в . По условию . Отсюда -субнормальна в , а значит, и в . Итак, . Лемма доказана.

Лемма 27 Пусть - формация всех сверхразрешимых групп, - несверхразрешимая группа из . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) , , - -проектор , - дисперсивная группа;

2) - либо группа Миллера-Морено, либо примарная абелева группа.

Proof. В начале докажем дисперсивность группы . Согласно лемме - сверхразрешима. Отсюда следует, что группа разрешима. Пусть - наибольший простой делитель . Ясно, что нормальна в . Если , то по лемме сверхразрешима. Отсюда нормальна в . Очевидно, что . По индукции диспресивна. А это значит, что дисперсивна. Пусть . Покажем, что . Предположим, что . Пусть - силовская -подгруппа из . По лемме сверхразрешима, а значит, нормальна в . Так как , то нетрудно заметить, что -абнормальна в . По теореме 15.1 из - -проектор . По лемме - добавление к в . Следовательно,

По лемме Фраттини

Если , то это противоречит тому, что . Следовательно, нормальна в . Отсюда , т.е. . С учетом индукции получаем дисперсивность группы . Ясно, что . По лемме , где - -проектор и . Докажем утверждение 2). Не ограничивая общности, считаем, что . Покажем, что . Действительно, нормален в , причем . Поэтому - нормальная подгруппа из . Отсюда , где - максимальная -нормальная подгруппа из . По лемме . Следовательно, . Противоречие. Итак,

Пусть . Учитывая лемму 1.4 6, получаем сверхразрешимость . Отсюда нильпотентен. Так как , то нетрудно показать, что , поэтому абелева. Если абелева, то ввиду леммы 1.4 6 и следствия 4.8 2 из примарна. Лемма доказана.

Наряду с понятием -субнормальности естественным обобщением субнормальности является понятие -достижимости введенное Кегелем в работе .

Определение 28 Назовем подгруппу -достижимой, если существует цепь подгрупп такая, что для любого либо подгруппа нормальна в , либо .

Отметим, что для любой непустой формации множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы содержит множество всех субнормальных подгрупп группы и множество всех -субнормальных подгрупп группы . Если - непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для произвольной группы .

Развивая, отмеченный выше классический результат Виландта, Кегель в работе установил, что множество всех -достижимых подгрупп в любой конечной группе образует решетку, если - наследственная, замкнутая относительно расширений формация. В этой же работе Кегель поставил задачу отыскать новые классы групп , обладающие тем свойством, что множество всех -достижимых подгрупп в любой конечной группе образуют решетку.

Определение 29 Пусть - непустой класс Фиттинга. Подгруппа группы называется -инъектором в , если для любой субнормальной подгруппы группы пересечения является -максимальной подгруппой в . Непустой класс Фиттинга называется нормальным в классе групп (), если любая -группа обладает нормальным -инъектором. Очевидно, тогда и только тогда непустой класс Фиттинга является нормальным в классе , когда является -инъектором в для любой -группы .

Лемма 30 Пусть - непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если - подгруппа и , то - -достижимая подгруппа группы ;

2) если - -достижимая подгруппа группы , то - -достижимая подгруппа для любой подгруппы группы ;

3) если - -достижимая подгруппа и -достижимая подгруппа группы , то - -достижимая подгруппа группы ;

4) если и - -достижимые подгруппы группы , то - -достижимая подгруппа группы .

Proof.

1) Пусть - подгруппа группы , содержащая . Согласно лемме - -субнормальная подгруппа группы . А так как любая -субнормальная подгруппа группы является -достижимой в , то - -достижимая подгруппа группы .

2) Пусть - -достижимая подгруппа группы . Тогда, по определению, существует цепь подгрупп

такая, что для любого либо подгруппа нормальна в , либо .

Пусть - некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп:

Если подгруппа нормальна в , то подгруппа нормальна в . Пусть . Так как формация наследственна, то из следует, что

Теперь ввиду изоморфизма имеем

Значит,

Так как , то . Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в , либо . Отсюда, по определению, - -достижимая подгруппа группы .

Утверждение 3) следует непосредственно из определения -достижимости.

Утверждение 4) следует теперь из утверждения 2) и 3). Лемма доказана.