Расширение кольца с помощью полутела

3

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Расширение кольца с помощью полутела

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Лукин Михаил Александрович

_____________________

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии

Вечтомов Евгений Михайлович

_____________________

Рецензент:

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии

Чермных Василий Владимирович

_____________________

Допущен к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров - 2005Содержание

Введение 3

§1. Допустимые кольца и решетки 6

§2. Допустимые полутела 10

§3. О единственности расширения 12

Заключение 14

Библиографический список 15

Введение

Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.

Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0-1 расширения).

В работе исследуется следующий вопрос. Для каких кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L?

Полукольцом называется такая алгебраическая структура S; +, , 0, что S; +, 0 - коммутативный моноид с нулем 0, S, - полугруппа и в S выполняются тождества a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc и a0=0a=0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру S; +, , которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом. Полукольцо с квазитождеством a+b=0 a=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a+a=a называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a+b=a+c b=c называется сократимым.

Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца K с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция , что K[0] - изоморфно нулевому ядру - и S/T. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца K, возможно без нуля, с помощью полукольца T, если на S существует конгруэнция , для которой K[1] - изоморфно единичному ядру - и S/T. В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).

Для произвольного полукольца S обозначим через R(S) множество всех аддитивно обратимых элементов в S, а через U(S) - множество всех обратимых элементов в S в случае, когда S обладает 1. Очевидно, что R(S) является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т.е. a+bR(S) a, bR(S)).

Пусть S/R(S) - фактор-полукольцо полукольца S по конгруэнции Берна, соответствующей идеалу R(S): s конгруэнтно t s+a=t+b для некоторых a, bR(S). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp-полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида a+1, aS, обратимы, а его регулярность означает разрешимость в S каждого уравнения axa=a.

Справедливы следующие утверждения.

1. Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного R(S), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]

2. Полукольцо S с 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал R(S) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S [1].

3. Полукольцо S служит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал R(S) полульца S простой (т.е. abR(S) влечет aR(S) или bR(S)).

4. Для полукольца S с 1 фактор-полукольцо S/R(S) является полутелом с нулем тогда и только, когда R(S) есть максимальный односторонний идеал в S.

В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в [3].

5. Для существования 1-расширения полукольца K, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца T необходимо и достаточно, чтобы K имело 1, а T было идемпотентным полукольцом с 1.

6. Любое arp-полукольцо S является 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S/, где - конгруэнция на S, такая, что ab означает aU(S)=bU(S). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. См. [2].

7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [4].

Полукольцо S с 1 назовем 0-1-расширением полукольца K и полукольца без нуля L с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция , что [0]_сK, [1]L и S/T.

Пусть для кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L. Соответствующую тройку <R ,P ,L> будем называть допустимой.

§1. Допустимые кольца и решётки

Речь в главе пойдёт о решётке и кольце, состоящих в допустимой тройке.

Обозначим через D двухэлементную цепь.

Пусть имеется полукольцо S с конгруэнцией , для которой [0]R, [1]P, F/D. Такое полукольцо S назовем дизъюнктным объединением кольца R и полутела P, и обозначим PR. Ясно, что pP,rR,prR,p+rP.

С другой стороны, если любой элемент полукольца S с 1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то S будет дизъюнктным объединением кольца R(S) и полутела U(S). При этом разбиение {R(S), U(S)} индуцирует искомую конгруэнцию на S.

Предложение. В UR справедливы следующие утверждения а) аддитивная группа R делимая абелева группа. б) результат умножения определён единственным образом.

Доказательство. а) Пусть , тогда , ч.т.д.

б) Пусть мультипликативная операция задана. Если , то . Умножив равенство на справа, получим , значит . Рассмотрим результат умножения , пусть . Тогда , поэтому есть элемент, складывая который раз получим . Из ранее доказанного следует, что такой элемент единственен, что завершает доказательство. есть решение уравнения в кольце .

Теорема 1. Для произвольного кольца R эквивалентны следующие условия:

1) существует допустимая тройка R, U, L, где L - любая дистрибутивная решетка с 10;

2) существует полукольцо, являющееся дизъюнктным объединением кольца R и полутела U;

3) R - радикальное по Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого есть делимая группа без кручения.

Доказательство.

12. Для данной тройки рассмотрим подходящие полукольцо S и конгруэнцию . Поскольку D - подрешетка дистрибутивной решетки L с 0 и 1, в качестве дизъюнктного объединения можно взять подполукольцо [1][0] в S.

21. Любая дистрибутивная решетка L обладает простым идеалом I, более того LI - дуальный идеал.

Поэтому в качестве полукольца S можно взять множество пар (i,r),iI,rR(l,p),lL/I,pP с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простоты I операции заданы корректно, аксиомы полукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты, как аксиомы решётки и для правой координаты, что следует из существования F, [0]R, [1]P, F/L₂. Если в качестве конгруэнции выбрать отношение равенства первых координат, то [0]R, [1]P, S/L₂, что завершает доказательство.

Лемма. Пусть в кольце R r r tR,(r+rr+r)t=0,(r+rr+r)t=0, тогда r r ,r+rr+r=0r+rr+r=0.

Доказательство. Пусть выполнено условие леммы, тогда, положим r=-r-rr. Имеем

r+rr+r = r+(- r - rr)r - r - rr = (r+rr+r)(-r)=0

r+rr+r = r+r (- r - rr) - r - rr = (r+rr+r)(-r)=0.

Кольцо R называется радикальным по Джекобсону, если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона (см., например, [5]). Это означает, что операция «круговой композиции» rs = r+s+rs в R является групповой, с нейтральным элементом 0. Другими словами, в кольце R для любого элемента r существует единственный элемент s, такой, что r+s+rs=0.

2)3). P содержит Q⁺, иначе 1+1=1, умножив равенство на ненулевой элемент кольца r, имеем r+r=rr=0 - противоречие. Таким образом, R - полумодуль над Q⁺ и, значит, модуль над Q. Поэтому <R,+> - делимая абелева группа без кручения (подробно см. также предложение).

Множество T= Q⁺+R является подполутелом в U, поскольку

q₁+r₁+q₂+r₂ = (q₁+q₂)+(r₁+r₂);

(q₁+r₁)(q₂+r₂) = (q₁q₂+q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂) = q₁q₂+(q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂);

t=q+r1=qt ^-1+rt ^-1t ^-1=q ^-1- q ^-1r t ^-1 Q⁺ + R.

Следовательно, для любого элемента 1+r,rR найдётся, 1+r,rR что (1+r)(1+r) = (1+r)(1+r) = 1. Из дистрибутивности следует, что 1+r+rr+r = 1+r+rr+r = 1. Умножая последнее равенство на любое tR, имеем (r+rr+r)t=0(r+rr+r)t=0, значит, в виду леммы, R радикально по Джекобсону.

3)2). Поскольку R радикально по Джекобсону, алгебра Q⁺R с операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂)

является полутелом с единичным элементом (1,0). А множество S(Q⁺{0})R с теми же операциями совпадает с (Q⁺R)({0}R) = (Q⁺R)R.

Примеры. 1. Любое ниль-кольцо радикально по Джекобсону. В частности таково кольцо с нулевым умножением.

Ещё одним частным случаем является нильпотентное кольцо R, порождённое одним элементом .

Пусть - образующий. Поскольку в качестве элементов R выступают p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1, p_iQ, n - наименьшая нулевая степень , T R - в точности совпадает с одним из двух полуколец.

(q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^n-1,p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1)qQ⁺,q_i,p_iQ или

(q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^n-2,p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1)qQ⁺,q_i,p_iQ

c операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂).

2. Радикальным по Джекобсону будет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R(0). Это коммутативное кольцо без делителей нуля. a(0), a+x+ax = 0x = (-a)/(1+a)(0)

Моделью представленного полукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q[x]: многочленов с неотрицательным свободным членом и многочленов с положительным свободным членом. Множество пар, вида (q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^l,p₁ + p₂² + … + p_n-1^m)qQ⁺,q_i,p_i

Соответственно частному функций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берётся не всё множество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).

Этот пример легко обобщается для многочленов от произвольного множества переменных.

§2. Допустимые полутела

Дальнейший ряд предложений направлен на отыскание всевозможных полутел P , что PR.

Замечания. 1. Пусть дано допустимое кольцо R, тогда множество элементов M = {mR, rR|r•m = m•r =0} образует в нём подкольцо.

2. Множество элементов E = {R,1+=1} образует в M и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.

3. Множество Q⁺Ч(R/I) является полутелом с операциями (q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂), где I - произвольный идеал с делимой аддитивной группой кольца R.

Теорема 2. Пусть R, U, D - допустимая тройка и R ненулевое. Тогда множество Q⁺+R есть подполутело U, изоморфное ((R/I)Q⁺), где I некоторый идеал аннулятора с делимой аддитивной группой. И существует канонический гомоморфизм полутела U в кольцо R-модульных эндоморфизмов End _RR, образ которого содержит Q⁺. Если правый аннулятор кольца R нулевой, то полутело Im содержит подполутело, изоморфное ((R/I)Q⁺).

Доказательство. Пусть T, R - из допустимой тройки. Любой элемент T представим в виде q+r,qQ⁺,rR. Два элемента q+r₁ и q+r₂ равны тогда и только тогда, когда 1+r₁-r₂=1. С другой стороны, если 1+r = 1, то 1+r₁+r=1+r₁. Поэтому все элементы вида q+r+, 1+=1 сливаются в классы qЧ(R/I), где I - множество всех .

Отображение _u: RuR, uU ввиду дистрибутивности и ассоциативности в UR является R - модульным эндоморфизмом. Пусть _u+_v:R(u+v)R и _uv:RuvR, тогда отображение : U End _RR, сопоставляющее каждому элементу uU эндоморфизм _u - канонический гомоморфизм.

Пусть правый аннулятор R нулевой, тогда для двух элементов q₁+r₁, q₂+r₂, считая без ограничения общности, q₁=q₂+q₃ (q₃ может равняться нулю), r, (q₁+r₁)r=(q₂+r₂)r(q₃+r₁-r₂)r=0q₃=0,r₁=r₂. Элементы q₁+r₁ и q₂+r₂ одинаково действуют на R только в случае равенства. Поэтому - мономорфизм и Im содержит подполутело, изоморфное ((R/I)Q⁺).

Замечание. Система (Q⁺Ч(R/I))({0}ЧR) с операциями (q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂) и произвольным идеалом аннулятора с делимой аддитивной группой I является дизъюнктным объединением. Сложение класса (R/I) с элементом кольца определяется как сложение любого элемента этого класса с элементом кольца.

§3. О единственности расширения

При изучении структуры дизъюнктных объединений кольца и полутела возникает вопрос о единственности UR для данных U и R. Ниже приведём пример существования несовпадающих дизъюнктных объединений при заданных U и R.

Пусть для данных полутела U и кольца R существует коммутативное U R и пусть tR не лежит в AnnR, но trAnnRrR (примером такого дизъюнктного объединения с элементом t служит

(q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^n-1,p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1)qQ⁺,q_i,p_iQ из примера 1).

Определим новые операции на UR следующим образом: Умножение оставим неизменным, а сложение элементов rR и uU сложение зададим законом ur=u+r+rt. Поскольку операции внутри полутела и кольца при этом не меняются, достаточно проверить выполнение законов:

1. Ассоциативность сложения:

(u₁u₂)r=u₁(u₂r)u₁+u₂+r+rt= u₁+u₂+r+rt

(ur₁)r₂=u(r₁r₂)u+r₁+r₁t+r₂+r₂t=u+r₁+r₂+(r₁+r₂)t.

2. Дистрибутивность:

u₁(ru₂)=u₁ru₁u₂u₁(r+u₂+rt)=u₁u₂+u₁r+u₁rt

r₁(ur₂)=r₁ur₁r₂r₁u+r₁r₂+r₁r₂t=r₁u+r₁r₂.

Таким образом, UR с новыми операциями является дизъюнктным объединением. Однако, два имеющихся полукольца изоморфны между собой, поскольку существует изоморфизм f:uuuU:

r(1+t)^-1rrR. Причём f_t :r(1+t)^-1rrR - автоморфизм R.

Доказательство. Имеем f_t - автоморфизм R, поскольку для каждого элемента r имеется свой праобраз (1+t)r. И выполняются тождества

r₁,r₂, f_t(r₁+r₂)=(1+t)^-1(r₁+r₂)= (1+t)^-1r₁+(1+t)^-1r₂=f_t(r₁)+ f_t(r₂)

r₁,r₂,(1+t)^-1(r₁•r₂)=(1+t)^-1(1+t)^-1(r₁•r₂),

поскольку (1+t)r₁r₂=r₁r₂. Поэтому в виду коммутативности полукольца f_t(r₁•r₂)= f_t(r₁)f_t (r₂).

Поскольку при отображении f кольцо и полутело автоморфно переходят в себя, изоморфизм полуколец вытекает из следующих тождеств:

uU, rR f(u+r)=u+r= u+r+(1+t)^-1r f(u)f(r)

uU, rR f(ur)=(1+t)^-1ur=u(1+t)^-1r=f(u) f(r).

Вопрос о том, единственным ли является дизъюнктное объединение с точностью до изоморфизма остаётся открытым.

Заключение

В дипломной работе представлено описание 0-1-расширений кольца R и полутела U с помощью решетки L. Установлены, следующие факты:

существование 0-1-расширения не зависит от строения дистрибутивной решётки L (теорема 1);

кольцо R состоит в какой либо допустимой тройке тогда и только тогда, когда оно радикально по Джекобсону (теорема 1);

строение полутела U существенно зависит от строения R (теорема 2).

Не решённым остаётся вопрос о единственности с точностью до изоморфизма UR. В работе устанавливается взаимосвязь между значимыми математическими структурами - кольцами и полутелами. Подобные взаимосвязи могут существовать и между другими объектами алгебры, существенным может оказаться изучение и обобщение таких взаимосвязей.

Библиографический список

1. Вечтомов Е.М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули: сб. статей / Под ред. А.В. Михалева. Вып. 15. -Томск: ТГУ, 2000. - С. 17-23.

2. Вечтомов Е.М., Михалев А.В., Чермных В.В. Абелево-регурярные положительные полукольца // Труды семинара им. И.Г. Петровского. - 2000. - Т 20. - С. 282-309.

3. Golan J.S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science // Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. - 1992. - S. 93-98.

4. Семенов А.Н. О строении полутел // Вестник ВятГГУ. - 2003. - № 8. - С. 105-107.

5. Херстейн И. Некоммутативные кольца. - М.: Мир, 1972. - 200 с.