Положительные и ограниченные полукольца

2

Выпускная квалификационная работа

Положительные и ограниченные полукольца

Содержание

Введение 3

Глава 1. Основные понятия теории полуколец 4

1.1. Определение полукольца. Примеры. 4

1.2. Дистрибутивные решетки 5

1.3. Идеалы полуколец 6

Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца. 7

2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец 7

2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец 7

Библиографический список 16

Введение

Теория полуколец - это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.

Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.

Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая - основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.

Глава I. «Основные понятия теории полуколец»

1.1. Определение полукольца. Примеры

Определение полукольца: Непустое множество S с бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (S,+) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

· Ассоциативность: ;

· Коммутативность: ;

· Существование нейтрального элемента: .

2. (S,·) - полугруппа:

· Ассоциативность: ;

3. Умножение дистрибутивно относительно сложения:

· левая дистрибутивность: а(в+с)=ав+ас;

· правая дистрибутивность: (а+в)с=ас+вс.

4. Мультипликативное свойство 0:

· .

Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.

Полукольцо S называется коммутативным, если операция в нем коммутативна: .

Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):

Примеры полуколец:

1. <N,+,·>, где N - множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;

2. <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;

3. Двухэлементные полукольца:<Z₂ ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);

4. Множество матриц с элементами из полукольца N и операциями + и ;

5. Множества N, Z, Q⁺, Q, R⁺, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум и минимум двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.

Полукольцо с импликацией называется мультипликативно (аддитивно) сократимым.

Полукольцо, в котором выполняется равенство , называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным.

1.2. Дистрибутивные решетки.

Пусть L - произвольное множество. Введем на L отношение положив,

.

Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным множеством.

Отношение на множестве L является отношением порядка.

Пусть M - непустое подмножество частично упорядоченного множества L . Нижней гранью множества M называется такой элемент , что для любого . Нижняя грань m множества M называется точной нижней гранью, если , где n - произвольная нижняя грань множества M. Двойственным образом определяется точная верхняя грань.

Частично упорядоченное множество L называется решеткой, если любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани; решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивные законы:

Кроме этого определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система L с двумя бинарными операциями сложения + и умножения • называется решеткой, если (L, +) и (L,•) являются идемпотентными коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения

,;

Решетка называется дистрибутивной, если для любых , ограниченной, если она имеет 0 и 1.

1.3. Идеалы полуколец.

Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца S, если для любых элементов a, bI, sS элементы a+b и sa (as) принадлежат I.

Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца S называется собственным. Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S, называется главным (главным левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS, односторонние Sa и aS - левый и правый соответственно. Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так .

Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом, если влечет M=A или A=S для каждого идеала A .

Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:

1. {0} - нулевой идеал;

2. S - идеал, совпадающий со всем полукольцом;

3. Идеал на полукольце : ;

4. Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a: .

Глава II «Положительные и ограниченные полукольца»

2.1. Определение, примеры и основные свойства

Полукольцо S с 1 называется положительным, если для любого элемента а S элемент а+1 обратим в S, т.е..

Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:

1. ограниченные дистрибутивные решетки;

2. полукольца непрерывных R⁺ - значных функций;

3. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

Полукольцо S называется ограниченым, если для любого выполняется . Ограниченное полукольцо - частный случай положительного полукольца.

Примеры ограниченных полуколец:

1. ограниченные дистрибутивные решетки;

2. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:

I. Для полукольца S следующие условия равносильны:

1. S - положительное полукольцо;

2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b S

(a+b M) (a M & b M).

Доказательство:

12. Пусть для произвольных и максимального правого идеала M. Предположим, что , тогда и для некоторых и . Имеем:

.

В левой части последнего равенства - элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.

21. Пусть выполнено 2 и с - произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т.к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.

II. В положительном полукольце S справедливы импликации:

Доказательство. Пусть . Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый , такой что . Тогда

,т.к.. Получили y=1 и значит .

Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,

Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.

Поскольку выполняется для , то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на x и получим необходимое равенство.

III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента и любого обратимого элемента элемент обратим.

Доказательство.

Полукольцо положительно, следовательно, элемент - обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.

и - обратимы, тогда их произведение также обратимо , значит обратим.

IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S - дистрибутивная решетка.

2.

Доказательство.

. Очевидно.

. По свойству 2 следует , тогда:

и .

Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.

V. В ограниченном полукольце единица 1 - единственный обратимый элемент.

Доказательство.

Пусть есть некоторый обратимый элемент u,

и

VI. Пусть a - фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:

1. a+1=1;

2.

3.

Доказательство.

. Докажем методом математической индукции по числу n.

I. База. к=1. (выполняется по условию).

II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т.е.

Рассмотрим для k=n

и a+1=1

Из I и II Следует .

. .

Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.

Примером того , что условие 3 не влечет условие 1 является полукольцо матриц . Зафиксируем элемент , где . Для n=2

верно, но совсем неверно.

VII. Если S - полукольцо с мультипликативным сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства равносильны.

Доказательство.

Осталось доказать .

Имеем . Добавим к правой и левой части выражения равные элементы :

В силу аддитивной идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед . В соответствии с биномом Ньютона, подберем коэффициенты и получим:

Используя мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 - 3.

VIII. Пусть S - ограниченное полукольцо, и существует такое , что для всех . Тогда:

1. для всех ;

2. - коммутативное ограниченное полукольцо с 1, где I - множество всех мультипликативных идемпотентов из S, а операцияопределяется так:

.

Доказательство.

1. Возьмем .

Тогда , т.к. .

Для доказательства понадобится

Лемма: В ограниченном полукольце

.

Доказательство: ММИ по числу n в .

I. База. n=1. Из условия ограниченности

II. И.П. n=i-1.

Из условия II и ограниченности:

.

По ИП:

Из условий I,II получили, что данное равенство верно для , лемма доказана.

Рассмотрим :

Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо (1 группа), либо (2 группа), и только так.

Среди слагаемых 1 группы имеется член . Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии и лемме 1. из группы 1 останется только элемент

Аналогично с элементами группы 2, в которой имеется элемент , который и останется. Получаем

2 .Прежде всего проверим замкнутость операций и + на множестве I.

(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.

(2) Докажем, что - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1:

a). Ассоциативность:

Рассмотрим элемент

Элемент X состоит из таких слагаемых, которые получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1, или со всеми с. Элемент имеется в качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е.

С другой стороны

Таким образом, правые части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана.

b). 1 - нейтральный элемент:

с). Коммутативность:

,

1.

2.

Из 1 и 2 следует , по причине равенств правых частей каждого, а значит следует равенство . Коммутативность доказана. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.

(3) Дистрибутивность:

(4)

Все аксиомы полукольца доказаны, а значит - коммутативное полукольцо и его элементы - элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо - ограничено.

IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство

,

то S - аддитивно идемпотентно.

Доказательство.

Рассмотрим t>1

Рассмотрим t=1,

…

т.к. полукольцо положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.

X. В положительном полукольце S справедливо следующее тождество:

Доказательство.

Домножим на обратный к :

Получим:

Что и требовалось доказать.

Библиографический список

1. Чермных, В.В. Полукольца [Текст] / В.В. Чермных - Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - ст.7 - 87.

2. Вечтомов, Е.М. Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов - Киров: Издательство ВГ ПУ, 2000. - ст.5 - 30.