116
1.1. Вычисление площадей в древности
Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.
Еще в 4 - 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, или можно заполнить плоскость без пробелов.
В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражено в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной Плотки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки. Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: площадь фигуры, составленной из непересекающихся фигур, равна сумме их площадей.
Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т.п. Для вычисления площади четырехугольника со сторонами (рис. 1.1) применялась формула
(1.1)
т.е. умножались полусуммы противоположных сторон.
116
Рис. 1.1
Эта формула явно неверна для любого четырехугольника, из нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов одинаковы. Между тем, очевидно, что у таких ромбов площади зависят от величины углов при вершинах. Данная формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь четырехугольников, у которых углы близки к прямым.
Для определения площади равнобедренного треугольника (рис. 1.2), в котором , египтяне пользовались приближенной формулой:
(1.2)
116
Рис. 1.2
Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной и высотой треугольника, иными словами, чем ближе вершина (и ) к основанию высоты из . Вот почему приближенная формула (1.2) применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.
Но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой.
Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Так, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, находят, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции - произведению полусуммы оснований на высоту.
Когда каменщикам приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число необломанных плиток - с недостатком. С уменьшением размеров клеток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее.
Одним из поздних греческих математиков - энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». В своем произведении «Диоптрика» Герон описывает разные машины и практические измерительные инструменты.
Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. О нахождении площади треугольника по его сторонам Герон пишет: « Пусть, например, одна сторона треугольника имеет в длину 13 мерных шнуров, вторая 14 и третья 15. Чтобы найти площадь, поступают вот как. Сложи 13, 14 и 15; получится 42. Половина этого будет 21. Вычти из этого три стороны одну за другой; сперва вычти 13 - останется 8, затем 14 - останется 7 и, наконец, 15 - останется 6. А теперь перемножь их: 21раз по 8 даст 168, возьми это 7 раз - получится 1176, а это еще 6 раз - получится 7056. Отсюда квадратный корень будет 84. Вот сколько мерных шнуров будет в площади треугольника».
В своем наиболее важном геометрическом произведении «Метрика» Герон излагает доказательство примененной выше формулы:
,
где _ стороны, _ полупериметр треугольника.
Эта формула носит название «формулы Герона». На самом деле она была установлена еще в 3 в. до н. э. величайшим математиком древности Архимедом.
Практические правила Герона для вычисления площадей применялись греческими, римскими и средневековыми землемерами и техниками.
1.2. Различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник», «площадь многоугольника»
1.3. Различные формулы площадей многоугольников
Площадь прямоугольника со сторонами и вычисляется по формуле (рис. 1.8)
Площадь параллелограмма вычисляется по формулам
,
,
где а - его основание, b - боковая сторона, б - угол между ними, h - высота (рис. 19)
Рис. 1.8 Рис. 1.9
Площадь многоугольника вычисляется по формулам
,
где а - одна из сторон треугольника, h - проведённая к ней высота (рис. 1.10, а);
,
где a, b - стороны треугольника, г - угол между ними (рис 1.10, а);
(формула Герона),
где а, b, с - стороны треугольника, а - полупериметр (рис. 1.10, б);
,
где р - полупериметр, r - радиус вписанной в треугольник окружности (рис. 1.10, в);
,
где a, b, c - стороны треугольника, R - радиус описанной около треугольника окружности (рис. 1.10, г);
,
где - сторона треугольника, б - противолежащий ей угол, в,г - два других угла (рис. 1.10, д);
Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле
,
где - сторона правильного треугольника (рис. 1.10, е).
а) б)
в) с)
д) е)
Рис. 1.10
Площадь трапеции вычисляется по формулам
,
где а и b - основания трапеции, h - высота (рис. 1.11, а);
,
где MN - средняя линия трапеции, h - её высота (рис. 1.11, б);
,
где d1, d2 - диагонали трапеции, б - угол между ними (рис. 1.11);
,
где с - боковая сторона трапеции, - перпендикуляр из середины другой боковой стороны на первую или её продолжение (рис. 1.11, г).
а) б)
в) г)
Рис. 1.11
Если даны диагонали e и f и угол б между ними, то площадь произвольного четырёхугольника находят по формуле
.
В частности, площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей (рис. 1.12):
.
Рис. 1.12
Площадь произвольного четырёхугольника (рис. 1.13) можно выразить через его стороны а, b, c и сумму пары противоположных углов:
,
где р - полупериметр четырёхугольника.
Рис. 1.13
Площадь вписанного в окружность четырёхугольника () (рис. 1.14, а) вычисляется по формуле Брахмагупты
,
а описанного (рис. 1.14, б) () - по формуле
Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.14, в), то формула становится совсем простой:
.
а) б)
Рис. 1.14
Площадь всякого описанного многоугольника вычисляется по формуле
,
где R - радиус круга, вписанного в многоугольник, а Р - периметр прямоугольника.
Общий метод для нахождения площади произвольного многоугольника состоит в том, что его надо разбить на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Иногда многоугольник представляют как сумму и разность треугольников. Однако простой и компактной формулы для определения площади произвольного n-угольника нет. Это неудивительно, ведь в ней неизбежно будет слишком много переменных. Чтобы задать n-угольник (его форму и размеры), нужно указать 2n - 3 его элемента: например, длины всех сторон. Кроме одной, и величины n - 2 образованных ими углов.
1.4. Вывод формул площадей многоугольников
1.5. Теорема Пифагора о сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника
Теорема. Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника .Доказательство. Пусть АВС (рис. 1.39) - прямоугольный треугольник, а BDEA, AFGE и BCKH - квадраты, построенные на его катетах и гипотенузе; требуется доказать, что сумма площадей двух первых квадратов равна площади третьего квадрата.
Рис. 1.39
Проведём ВС. Тогда квадрат BCKH разделится на два прямоугольника. Докажем, что прямоугольник BLMH равновелик квадрату BDEA, а прямоугольник LCKM равновелик квадрату AFGC.
Проведём вспомогательные прямые DC и АН. Рассмотрим треугольники DCB и ABH. Треугольник DCB, имеющий основание BD, общее с квадратом BDEA, а высоту СN, равную высоте АВ этого квадрата, равновелик половине квадрата. Треугольник АВН, имеющий основание ВН, общее с прямоугольником BLMH, и высоту АР, равную высоте BL этого прямоугольника, равновелик его половине. Сравнивая эти два треугольника между собой, находим, что у них BD = ВА и ВС = ВН (как стороны квадрата);
Сверх того, DCB = АВН, т. к. каждый из этих углов состоит из общей части - АВС и прямого угла. Значит, треугольники АВН и ВСD равны. Отсюда следует, что прямоугольник BLMN равновелик квадрату BDEA. Точно также доказывается, что прямоугольник LGKM равновелик квадрату AFGC. Отсюда следует, что квадрат ВСКН равновелик сумме квадратов BDEA и AFGC.
1.6. Равносоставленность треугольников. Теорема Больяя-Гервина
Немало формул и теорем в геометрии доказывается с помощью разрезания фигур, а затем перекладывания их частей - вспомним, например, теорему Пифагора. Если две фигуры можно разрезать на одинаковые наборы частей (т. е. между частями из таких наборов можно установить взаимнооднозначное соответствие, при котором соответственные части равны), то эти фигуры называются равносоставленными. Равносоставленные фигуры, разумеется, равновелики - они имеют равные площади. Для многоугольников верна и обратная теорема: любые два равновеликих многоугольников равносоставлены. В 1832 г. Её доказал венгерский математик Фаркаш Больяй, а годом позже, но независимо от него, немец П. Гервин. Ключ к доказательству - перекройка прямоугольника, показанная на рисунке 1.40: разрезав «низкий» прямоугольник на два треугольника и пятиугольник, сдвинув треугольники вдоль наклонной линии разреза, мы получаем другой, «высокий» прямоугольник.
Рис. 1.40
Этим способом данный прямоугольник не трудно превратить почти в любой другой равновеликий ему - надо только, чтобы новый прямоугольник был «выше» исходного, но не более, чем вдвое. Если же отношение высот прямоугольников больше двух (рис. 1.41, а), «низкий» можно «сделать повыше» с помощью простого преобразования (рис. 1.41, б), применённого нужное число раз.
а) б)
Рис. 1.41
Теперь любой многоугольник мы сумеем перекроить в прямоугольник какой-то фиксированной высоты h: разрежем его на треугольники, каждый треугольник превратим в прямоугольник (рис. 1.42), приведём полученные прямоугольники к некоторой постоянной высоте h и состыкуем вертикальными сторонами.
Рис. 1.42
Если два треугольника равновелики, то соответствующие им прямоугольники к некоторой постоянной высоте h равны. Таким образом, эти многоугольники равносоставлены с одной и той же фигурой, а отсюда уже заключаем, что они равносоставлены между собой.
1.7. Отношение площадей подобных треугольников
Теорема 1. Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся, как произведения сторон, заключающих эти углы.
Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и (рис. 1.43) углы А и равны.
Рис. 1.43
Проведя высоты и , будем иметь:
.
Треугольники и подобны ( А = А1 и D = D1 = =900), поэтому ; заменив первое отношение вторым, получим:
.
Теорема 2. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Доказательство. 1) Если и - два подобных треугольника, то углы одного равны соответственно углам другого; пусть
А = А1, В= = В1, С = С1.
Применим к ним предыдущую теорему:
. (1.14)
Но из подобия треугольников следует:
(1.15)
Поэтому в равенстве (1.14) мы можем каждое из отношений и заменить любым отношением ряда (1.15), следовательно,
.
2) Если и (рис. 1.44) - два подобных многоугольника, то их можно разложить на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников.
Рис. 1.44
Пусть эти треугольники будут:
и , и , …, и .
Согласно доказанному в первой части этой теоремы, получим пропорции:
…; .
Но из подобия многоугольников следует:
.
И поэтому
.
Значит,
,
откуда
,
Следствие. Площади правильных одноимённых многоугольников относятся как квадраты сторон, или как квадраты радиусов апофем.
1.8. Фигуры с наибольшей площадью
2.1. Тематическое планирование и особенности преподавания в классах с углубленным изучением математики
|
№ |
Содержание изучаемого материала |
Кол-во часов |
|
|
Площади многоугольников. |
26 |
||
|
1 |
Вычисление площадей в древности. |
1 |
|
|
2 |
Различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник», «площадь многоугольника». |
||
|
Понятие о площади. Свойства площади. |
1 |
||
|
Понятие о многоугольнике. |
1 |
||
|
Понятие о площади многоугольника. Дескриптивное определение. |
1 |
||
|
3 |
Различные формулы площадей многоугольников. |
1 |
|
|
4 |
Вывод формул площадей многоугольников |
|
|
|
Площадь треугольника. Формула Герона. |
2 |
||
|
Площадь прямоугольника. |
1 |
||
|
Площадь трапеции. |
1 |
||
|
Площадь четырёхугольника. |
2 |
||
|
Универсальная формула. |
1 |
||
|
Площадь n-угольника. |
3 |
||
|
Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин. |
2 |
||
|
Формула Пика. |
3 |
||
|
5 |
Теорема Пифагора. |
2 |
|
|
6 |
Равносоставленность многоугольников. Теорема Больяя-Гервина. |
1 |
|
|
7 |
Отношение площадей подобных многоугольников |
1 |
|
|
8 |
Фигуры с наибольшей площадью |
2 |
|
В углубленном изучении математики выделяются два этапа, отвечающие возрастным возможностям и потребностям и потребностям школьников и соответственно различающимся по целям.
Первый этап углубленного изучения математики является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем, чтобы по окончании IX класса он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Интерес и склонность учащегося к математике должны всемерно подкрепляться и развиваться. В случае же потери интереса, изменения его в другом направлении ученику должна быть обеспечена возможность перейти от углубленного изучения к обычному.
Углубленное изучение на втором этапе предполагает наличие у учащихся более или менее устойчивого интереса к математике и намерение выбрать после окончания школы связанную с ней профессию. Обучение на этом этапе должно подготовить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования, а также к профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.
При углубленном изучении математики учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать доказательства теорем, правильно пользоваться математической терминологией и символикой.
Следует иметь в виду, что требования к знаниям и умениям учащихся при углубленном изучении математики не должны быть завышены. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведёт, особенно на первом этапе, к угасанию интереса к математике. Поэтому требования к результатам углубленного изучения математики на первом этапе ненамного превышает требования общеобразовательной программы. Требования на втором этапе в соответствии с его целями согласуются со средним уровнем требований, предъявляемых вузами к математической подготовке абитуриентов. Заметим, что минимальный обязательный уровень подготовки, достижение которого учащимися является необходимым и достаточным условием выставления ему положительной оценки, при углубленном и обычном изучении математики один и тот же. Однако тем учащимся классов с углубленным изучением математики, успехи которых в течении длительного времени не поднимаются выше минимального обязательного уровня.
Успешность решения задач углубленного изучения математики во многом зависит от организации учебного процесса. Учителю предоставляется возможность свободного выбора методических путей и организационных форм обучения, проявления творческой инициативы. Однако при этом следует иметь в виду ряд общих положений, изложенных ниже.
- Учебно-воспитательный процесс должен строится с учётом возрастных возможностей и потребностей учащихся.
- Основной причиной отсева школьников из классов с углубленным изучением математики является перегрузка, поэтому не следует стремиться к чрезмерному насыщению программы дополнительными вопросами.
- Углубленное изучение математики предполагает прежде всего наполнение курса разнообразными, интересными и сложными задачами, овладение основным программным материалом на более высоком уровне.
- Для поддержания и развития интереса к предмету следует включать в процесс обучения занимательные задачи, сведения из истории математики. Это особенно важно на первом этапе, когда интерес учащихся ещё недостаточно устойчив.
- На втором этапе возрастает роль теоретических знаний, становятся весьма значимыми такие их качества, как системность и обобщённость. Значительное место должно быть уделено решению задач, отвечающих требованиям для поступающих в вузы, где математика является профилирующим предметом.
- В связи с тем, что в классы с углубленным изучением приходят школьники с разным уровнем подготовки, в процесс обучения на каждом этапе должны быть включены повторение и систематизация опорных знаний.
- Учебный процесс должен быть ориентирован на усвоение учащимися прежде всего основного материала; при проведении текущего и итогового контроля знаний качество усвоения этого материала проверяется в обязательном порядке.
- Значительное место в учебном процессе должно быть отведено самостоятельной математической деятельности учащихся - решению задач, проработке теоретического материала, подготовке докладов, рефератов и т. д.
- Очень важно организовать дифференцированный подход к учащимся, позволяющий избежать перегрузки и способствующий реализации возможностей каждого из них.
2.2. Методика проведения уроков
Урок 1
Тема: «Решение задач с использованием свойств площадей»
Цель: Освоение различных путей поиска решения задач с использованием свойств площадей.
Оборудование: Таблица «Свойства площадей».
С - 1 С - 2
С - 3 С - 4
С - 5 С - 6
С - 7 С - 8
Рис. 2.1
Ход урока
Сегодня мы на уроке будем решать задачи с использованием свойств площадей.
Двух учеников приглашают к доске.
I. Запишите на доске все формулы площади треугольника.
II. Запишите на доске формулы площади трапеции.
Ответы
|
I. 1). 2) 3) , где 4) 5) , r - радиус вписанной в треугольник окружности 6) |
II. 1). 2) , где MN - средняя линия трапеции 3) , где d1, d2 - диагонали трапеции, б - угол между ними 4) , где с - боковая сторона трапеции, h -перпендикуляр из середины другой боковой стороны на первую или её продолжение |
|
Пока ученики записывают формулы, спросить учеников с мест правила «Свойства площадей».
Ответ
1). Каждая фигура имеет положительную площадь.
2). Площадь квадрата со стороной равной единице длины равна единице площади.
3). Если фигура разбивается на две части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.
Рассмотрите площади треугольника, написанные на доске.
Вопрос. Какая из формул является основной?
Ответ. .
Назовите следствия из этой формулы, используя таблицу «Свойства площадей».
С-1. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не изменится.
С-2. Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).
С-3. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.
С-4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
С-5. Медиана треугольника делит его на 2 равновеликие части.
С-6. Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.
С-7. Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.
С-8. Средняя линия треугольника площади отсекает от него треугольник площади .
Решение задач
Задача 1. Дано - трапеция, и - диагонали. Пересекающиеся диагонали разбивают трапецию на 4 треугольника с вершиной в точке О. и - треугольники, которые прилегают к основаниям и треугольники и - треугольники, которые прилегают к боковым сторонам. Обозначим , , , , .
Найдите связь между площадями треугольника.
Рис. 2.2
Выразите площадь трапеции через и , т. е. через площади треугольников, прилегающих к основаниям трапеции.
Так как , то надо выразить и через и .
Вопрос. Что можно сказать про площади и ?
Ответ. =, т. к. треугольники и имеют одинаковые площади, а если от равных отнять площадь , то получим равные площади и .
Выразите через и . , .
Докажите, что и .
(2.1)
(2.2)
Перемножив (2.1) и (2.2), получим
.
.
Вопрос. Как сформулировать правило, которое мы вывели?
Ответ. Площадь треугольника, прилегающего к боковой стороне трапеции есть среднее геометрическое между площадями треугольников, прилегающих к основаниям трапеции.
Вопрос. Как вывести соотношение , используя свойства площадей?
Ответ. .
Вопрос. Какое свойство площадей здесь использовались?
Ответ. С - 3, С - 2 (ученики отвечают устно).
Вопрос. Как можно ещё вывести соотношения ?
Ответ. .
; .
Найдите площадь трапеции (рис. 2.3)
Рис. 2.3
или .
Таким соотношением связана площадь трапеции с площадями треугольников, прилегающих к её основаниям. Итак, для трапеции
.
Вопрос. Справедливо ли это соотношение для любого четырёхугольника?
Ответ. Нет, т. к. .
Основания у треугольников и одинаковые (рис. 2.4), но их вершины не на параллельных прямых.
Рис. 2.4
Вопрос. А какое соотношение между можно вывести для четырёхугольника (рис. 2.4)?
Ответ. ,
т. е. произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника равны.
Задача 2. (обратная).
Дано: выпуклый четырёхугольник
Дока жите, что этот четырёхугольник есть трапеция.
Доказательство.
С другой стороны, (рис. 2.4). , следовательно , но , (рис. 2.4), следовательно , следовательно , следовательно , следовательно и , т. е. , а это означает, что , т. е. четырёхугольник - трапеция.
Задача 3. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника проведены 3 прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на 6 частей, из которых три треугольника с площадями . Найдите площадь треугольника.
Рис. 2.5
Дано: . . . . , , .
Найдите .
Решение.
1) , следовательно 9площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия).
2) ; ; ; .
.
, отсюда .
Итог урока
Повесить таблицу «Итог урока» (сделать из достаточно плотной бумаги, с магнитами на обратной стороне, прикрепляется мгновенно на обратную доску).
Вопрос. Мысленно вернитесь ко всем задачам, которые были рассмотрены на уроке. Попытайтесь вспомнить из всех свойств площадей, какие свойства мы применяли на уроке.
Ответ. 1) Равные фигуры имеют одинаковые площади.
2) Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.
3) Если от равных отнять равные, то получим равные.
Вопрос. Какие следствия из формулы мы применяли?
Ответ. С - 1, С - 2, С - 3, С - 4, С - 5 все следствия ученики рассказывают.
Вопрос. Из множества формул для нахождения площади простых фигур какие бы вы использовали?
Ответ. ; ; ; .
Задание на дом
1. Диагонали делят трапецию на 4 треугольника. Площади двух из них равны 1 см2 и 2 см2. Какой может быть площадь трапеции?
2. Точки - середины сторон выпуклых четырёхугольников и . Докажите, что .
3. Дано: ; - середины сторон соответственно. пересекает в точке . Докажите, что (задача автора).
4. В параллелограмме точки и делят диагональ на три равные части. Точки и - середины сторон и . Найдите отношение площади четырёхугольника к площади параллелограмма (задача автора).
5. На одной стороне угла с вершиной отложены равные отрезки , и . На другой стороне - равные отрезки , и . Докажите, что и равновелики.
Домашнее задание выдаётся каждому ученику на листке.
Урок 2
Тема: «Понятие площади. Площадь квадрата»
Цели урока: 1) учащиеся должны понять практическую необходимость измерения площадей;
2) усвоить: свойства простой фигуры; формулу вычисления площади квадрата и уметь её доказывать с учётом того, каким числом измеряется длина стороны квадрата - рациональным или иррациональным.
Ход урока
1. Устный счёт
Вспомните известные ранее единицы измерения площади (1 мм2, 1 см2, 1 дм2, 1 м2, 1 км2, 1 ар, 1 га), равносильность этих единиц:
1) 1 см2 = 100 мм2;
2) 1 дм2 = 100 см2 = 10 000 мм2;
3) 1 м2 = 100 дм2 = 10 000 см2 = 1 000 000 мм2;
4) 1 ар = 100 м2;
5) 1 га = 100 ар = 10 000 м2;
6) 1 км2 = 100 га;
7) 1 см2 = 0, 01 дм2;
8) 1 м2 = 0, 000001 км2;
9) 1 дм2 = 0, 01 м2;
10) 1 ар = 0, 01 га;
11) 1 м2 = 0, 01 ар = 0, 0001 га.
2. Проверка задания на дом
Опрос по домашнему заданию, которое заключалось в следующем: узнайте из литературы, как появилась необходимость измерения площадей в древности в различных странах (Египте, Китае, Индии, России и др.); приведите примеры необходимости вычисления площадей в настоящее время.
1-й ученик. Геометрия возникла ещё в глубокой древности в связи с практическими потребностями человека. Измерения расстояний, изготовление орудий труда определённых размеров, нахождение площади земельного участка, вместимость сосудов и т. д. Слово геометрия - греческого происхождения ( гео - земля, метрио - меряю) и означает землемерие.
2-й ученик. Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Для вычисления площади произвольного четырёхугольника древние египтяне четыре тысячи лет назад использовали формулу
,
где - длины сторон четырёхугольника. Эта формула верна только для прямоугольника.
3-й ученик. Практический характер имела и древнеиндийская геометрия, развитие которой связано как с повседневными жизненными потребностями, так и с религиозными обрядами, с культом жертвоприношения. В труде «Сульва-Сутра» встечаются вопросы вычисления площадей, деления площадей прямоугольников, квадратов и трапеций с помощью прямых.
4-й ученик. В произведении «Патиганита» - руководству по арифметике и измерению фигур - предложена формула:
где - полупериметр, - стороны четырёхугольника. Эта приближённая формула верна только для вычисления площадей вписанных четырёхугольников.
5-й ученик. В древней Руси уже в XVI в. нужды землемерия, строительства, военного дела привели к созданию сочинений по геометрии. Первое дошедшее до нас сочинение такого рода, называется «О земном верстании», написано при Иване IV в 1556 г. В этой рукописи все геометрические сведения сводятся к вычислению площадей квадрата, прямоугольника, треугольника и равнобочной трапеции.
6-й ученик. Практическая необходимость измерения площадей возникает в быту и на производстве и в настоящее время. Так, например, площадь зеркала водохранилища нужно знать проектировщикам, чтобы определить, как будет испаряться вода из заполненного водохранилища.
7-й ученик. Площадь поверхности стен помещения нужно знать строителям до того, чтобы рассчитать необходимое для их покрытия количество краски, обоев и кафеля.
8-й ученик. Площадь поверхности дороги нужно знать при расчёте необходимого для её покрытия количества асфальта.
3. Объяснение нового материала
Свойства площадей
Будем рассматривать площадь многоугольника. Можно сказать, что площадь многоугольника - это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.
1 см2 - площадь квадрата со стороной 1 см;
1 м2 - площадь квадрата со стороной 1 м и т. д.
Площадь многоугольника - это положительное число, которое показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике.
На плакатах рисунки
Нецелые квадраты со стороной 1 см можно разбить на квадраты с ещё меньшей длиной стороны. Любой многоугольник можно разбить на квадраты и треугольники. Но такой способ измерения площадей неудобен. Существуют формулы для вычисления площадей, которые учитывают следующие свойства площадей.
1. Равные многоугольники имеют равные площади.
2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Докажем третье свойство.
Случай 1. Длина стороны квадрата выражается целым числом ед. Разобьём сторону квадрата на равных частей. Получим квадратиков со стороной 1 ед2. Площадь квадрата равна ед.2 = ед.2.
Случай 2. Длина стороны выражается дробным числом
,
где - натуральные числа.
Примем -ю долю линейной единицы за новую единицу длины. Тогда площадь квадратика равна , а всего квадрат разбит на малых квадратиков. Площадь квадрата равна
.
Случай 3. Дина стороны квадрата выражается иррациональным числом или бесконечной десятичной непереодической дробью, - бесконечная десятичная дробь.
Имеем:
, , ,
.
(На доске плакат с рисунком и выводом формулы.)
Будем неограниченно увеличивать число . Тогда число становится сколь угодно малым числом, значит число сколь угодно мало отличается от числа . Следовательно, число сколь угодно мало отличается от числа ;
.
4. Решение задач
(Условия задач заранее написаны на доске.)
1. (Устно.) вычислите площадь сечения дорожной трубы, изображённой на рисунке.
м2.
2. Железная проволока, сечение которой 1 мм2, разрывается под действием груза в 40 кг. Какой нагрузкой разорвётся железный стержень, поперечное сечение которого - квадрат со стороной 24 мм.
Решение. 1. Найдём площадь поперечного сечения:
24 24 = 576 (мм2).
2. Найдём массу груза, от которого разорвётся стержень:
576 40 = 23 040 (кг).
3. Стороны двух участков земли квадратной формы соответственно равны 120 м и 50 м. Определите сторону квадратного участка земли, равновеликого двум участкам.
1) 1202 = 14 400 (м2) - площадь первого участка.
2) 502 = 2500 (м2) - площадь второго участка.
3) 14 400 + 2500 = 16 900 (м2) - площадь двух участков.
4) 16 900 = 1302 - 130 - сторона квадратного участка, равновеликого первым двум участкам.
4. Площадь квадратного участка земли (масштаб 1: 10 000) равна
552, 25 м2. Найдите площадь участка в натуре.
Решение. Имеем:
552, 25 10 000 = 5 522 500 (см2) = 552, 25 (м2) - площадь участка в натуре.
5. Задание на дом
1. Определите площадь квадрата по его диагонали .
2. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза? В 1,5 раза?
Подведение итогов
1. Само возникновение геометрии говорит о практической направленности этой науки.
2. Площадь квадрата выражается формулой , где - длина стороны квадрата.
3. Понятие площади является основополагающим не только в математике, но и в окружающем нас мире.
Урок 3
Тема: «Измерение площади фигуры с помощью палетки»
Цели: Научить выполнять приближённое вычисление площадей; познакомить с вычислением площади с помощью палетки по алгоритму; повторить единицы длины и единицы измерения площади; развивать мышление, внимание и память.
Оборудование. Учебник «Математика» (4-й класс, часть 1, авт. М. И. Моро и др.), таблица алгоритма, палетки, индивидуальные карточки, экран, эпидиаскоп, плёнки с фигурами.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Сообщение темы урока
Учитель. Сегодня на уроке вы научитесь выполнять приближённое вычисление площади и познакомитесь с приспособлением для этого.
I. Знакомство с новым материалом
У. Рассмотрите фигуру на экране.
- Сколько места занимает фигура на плоскости? Другими словами, какова её площадь?
Выслушиваются ответы детей.
- Ответ на этот вопрос мы можем дать лишь приблизительно, указав границы, в которых находится площадь фигуры . Площадь фигуры больше 6 клеток, но меньше 16.
На доске:
- Как мы будем рассуждать, чтобы вычислить площадь данной фигуры? Внутри фигуры расположены 6 целых клеток, а остальные 10 клеток входят в неё частично: иногда меньшая часть клеток, а иногда - большая. Поэтому всего в фигуре содержится примерно…
На доске:
6 + 10 : 2 = 6 + 5 = 11 ед.
- Значит площадь нашей фигуры приблизительно 11 квадратных единиц.
На доске:
кв. ед.
Всё это мы смогли вычислить благодаря тому, что фигура разбита на клетки. Что делать, если таких клеток нет?
Дети. Самим расчертить фигуру на квадраты.
У. Правильно, но на это уйдёт много времени. Чтобы ускорить работу, люди придумали приспособление для определения площади фигур.
Учитель раздаёт детям прозрачные палетки, расчерченные на квадратные сантиметры и карточки с фигурами.
- Перед вами такое приспособление. Откройте учебники на странице 49 и прочитайте, как оно называется.
Д. Для приблизительного определения площади фигуры используется палетка.
Палетка - прозрачная плёнка, разделённая на одинаковые квадраты: это могут быть квадратные дециметры, квадратные сантиметры, квадратные миллиметры.
У. Посмотрите на ваши палетки. Как они разделены?
Д. На квадратные сантиметры.
У. В учебнике на странице 49 на цветные фигуры также наложена палетка, разделённая на квадратные сантиметры. Прочитайте, как находили площадь фигуры голубого цвета.
Дети читают текст, отмеченный красной чертой.
- Чему равна площадь этой фигуры?
Д. Примерно 31 квадратный сантиметр.
У. Попробуем вывести формулу, по которой приблизительно считается площадь.
Дети вместе с учителем выводят и записывают формулу.
На доске:
- целые клетки
- частичные клетки
- Найдите площадь фигур зелёного и розового цветов.
Д. Площадь зелёной фигуры приблизительно равна квадратных сантиметров.
- Площадь розовой фигуры приблизительно равна квадратных сантиметров.
У. Возьмите в руки карточки с изображёнными на них фигурами. С помощью палетки найдите их площадь.
Дети выполняют задание.
- Попробуем вывести алгоритм нахождения площади фигуры при помощи палетки.
Учитель записывает каждый шаг на доске.
На доске:
Алгоритм
1. Наложить палетку на фигуру.
2. Сосчитать число целых клеток внутри фигуры.
3. Сосчитать число клеток, входящих в фигуру частично.
4. Сосчитать приближенное значение площади.
(если число нечётное, то увеличить или уменьшить его на 1).
VI. Физкультминутка
V. Практическая работа
У. Нарисуйте на листе бумаги какую-нибудь замкнутую линию и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.
Дети выполняют задание в тетради, находят площадь, называют свои ответы.
- Начертите циркулем окружность радиусом 4 сантиметра, найдите с помощью палетки площадь получившегося круга.
Дети находят площадь.
VI. Закрепление пройденного материала
У. Найдите задание 265 на странице 50. Задание выполняем по вариантам: вариант 1 - первая часть номера, вариант 2 - вторая часть.
Дети самостоятельно выполняют задание.
- Поменяйтесь тетрадями и проверьте работу ваших соседей.
Дети делают проверку.
- Вычислите периметр и площадь многоугольника.
На доске:
Ученики выполняют задание по вариантам: вариант 1 - находят периметр, вариант 2 - находят площадь.
На доске:
дм
дм2
- Решите логическую задачу. Для каждой фигуры объясните, почему она лишняя.
На доске:
Д. сначала уберём фигуру , так как среди четырёхугольников - треугольник. Затем уберём фигуру , так как останутся фигуры с попарно равными сторонами. Уберём фигуру , так как в ней углы не прямые.
VII. Самостоятельная работа
У. Выполните упражнения 267 и 262.
Дети выполняют работу и сдают тетради.
VIII. Итог урока
У. С помощью какого инструмента вы научились находить приближённое значение площади фигуры?
Д. С помощью палетки.
У. Какой формулой вы пользовались?
Д. .
У. Кто из вас научился выполнять приближённое вычисление площади фигуры?
Дети поднимают руки.
IX. Домашнее задание
Учитель раздаёт карточки с цифрой 5.
У. Дома вычислите площадь цифры и решите задачи 261 и 263.
Урок 4
Тема: «Площадь прямоугольного треугольника»
Цели урока: 1) научить находить площадь прямоугольного треугольника; применять формулу для решения практических задач;
2) развивать познавательный интерес учащихся;
3) воспитывать ответственность за достигнутый результат.
Класс делится на четыре группы. Для работы на уроке каждой группе необходимы:
а) цветные жетоны для «светофора» («светофор» - это сигнал обратной связи, в конце урока ученики с его помощью сигнализируют учителю: красный - ничего не понял; жёлтый - понял, но не очень хорошо; зелёный - всё хорошо понял);
б) две большие одинаковые модели прямоугольного треугольника;
в) карточки с изображениями прямоугольных треугольников для самостоятельной работы;
г) конверт с деталями для практической работы;
д) доски и пластилин.
Оформление доски
Тема: «Площадь прямоугольного треугольника»
Формулы
Рисунки
а) б) с)
Таблица
|
А |
Н |
У |
Е |
Р |
Т |
|
|
9 |
12 |
6 |
20 |
10 |
18 |
|
Ход урока
1. «Стихотворение-интрига»
Жили-были два брата:
треугольник с квадратом.
Старший - квадратный -
Добродушный, приятный.
Младший - треугольник -
Вечно недовольный.
Стал расспрашивать квадрат:
«Почему ты злишься брат?»
Тот кричит ему: «Смотри,
Ты полней меня и шире.
У меня улов лишь три,
У тебя их все четыре».
Но квадрат ответил: «Брат!
Я же старше, я - квадрат».
И сказал ещё нежней:
«Незвестно, кто нужней!»
2. Постановка вопроса: так кто же нужней, кто важней?
Вспомним, что мы знаем о квадрате, прямоугольнике и прямоугольном треугольнике.
3. Опрос в форме викторины.
За правильный ответ группа получает жетон.
1. Какой четырёхугольник называется прямоугольником?
2. Какой четырёхугольник называется квадратом?
3. Какой треугольник называется прямоугольным?
4. Как называется сторона прямоугольника?
5. Как называются стороны прямоугольного треугольника?
6. Назовите катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, изображённого на доске?
7. Как называется отрезок, соединяющий противолежащие вершины прямоугольника?
8. Как быстро вырезать два равных прямоугольных треугольника?
9. Как найти площадь прямоугольника, квадрата?
10. Найдите площадь прямоугольника, квадрата, изображённых на доске.
11. Знаете ли вы, как найти площадь прямоугольного треугольника?
4. Нахождение площади прямоугольного треугольника.
Перед учениками модели двух равных прямоугольных треугольников. Как найти площадь каждого из них? (Ученики догадываются, что нужно площадь прямоугольника разделить пополам.)
5. Вывод.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: .
6. Проверяем, как ученики поняли эту формулу?
а) Найдите площадь , изображённого на доске:
(см2).
б) Найдите площадь моделей, выполнив необходимые измерения:
(см2).
в) найдите площади прямоугольных треугольников, изображённых на карточках.
Для этого нужно измерить катеты, найти их произведение и разделить его на 2.
Образец карточки
|
Найдите площадь треугольника |
|
7. Отвечаем на вопрос: Зачем нужно уметь находить площади фигур, в частности, площадь прямоугольного треугольника? (В строительстве, швейном деле и т. д.)
8. Ролевая игра. Известный художник Половинкин прославился своими работами-мозаиками.
Придумайте свой узор. С помощью пластилина на досках из различных деталей ребята составляют свою мозаику (работа в группах).
Узнайте, сколько «материала» потребуется для мозаики. Для этого найдите площади треугольников, из которых состоит мозаика.
; ;
; ;
см2 ; см2;
см2; см2.
9. а) Как же разрешить спор между квадратом и треугольником?
б) Подведение итогов. Награждение команд и отличившихся учеников вымпелами.
в) Ответный сигнал «Светофор».
2.3. Результаты опытно-экспериментальной работы
С целью практического обоснования выводов, полученных в ходе наблюдения за деятельностью учащихся двух восьмых классов нами был проведён частичный психолого-педагогический эксперимент в средней общеобразовательной школе № 10 с. Бурлацкого Благодарненского района Ставропольского края.
Работа предусматривала несколько этапов. На первом этапе проводился констатирующий эксперимент, направленный на выяснение уровня сформированности методов научного познания у учащихся восьмых классов.
На следующем этапе была проведена сери экспериментальных занятий, направленных на формирование у учащихся основ методов научного познания.
Заключительный этап исследования проводился теми же методами, что и первый. Затем следовало подведение итогов опытно-экспериментальной работы. Рассмотрим подробнее каждый из этапов.
1. Констатирующий этап эксперимента
Опытно-экспериментальная работа велась в двух восьмых классах средней общеобразовательной школы № 10 с. Бурлацкого Благодарненского района Ставропольского края. В экспериментальном классе участвовало 20 человек, а в контрольном - 18 человек, таким образом, участвовало 38 человек. В рамках данного этапа были использованы следующие методы:
1. Невключённые наблюдения;
2. Тестирование;
3. Метод математической и статистической обработки данных.
На данном этапе эксперимента нами были апробированы задания. Цель их состояла в выявлении уровня общей сформированности методов решения геометрических задач. На этом этапе принимало участие два восьмых класса, каждому из которых были предложены задания, содержащие приёмы: классификация, аналогия, анализ, обобщение.
Ход эксперимента
1. Дан равнобедренный треугольник с основанием . Где надо отметить точку , чтобы ?
2. В треугольнике см, см. Каков периметр треугольника, если у него все углы равны?
3. Начертите фигуру так, чтобы её можно было разбить на 2 равных треугольника.
4. Дан параллелограмм. Проведите два отрезка так, чтобы получилось четыре пары равных треугольников.
5. Известно, что в параллелограмме (рис. 2.6). С помощью одной линейки постройте прямой угол.
Рис. 2.6
Проанализировав работы, мы получили следующие результаты:
Таблица 1.
Результаты выполнения работы в экспериментальном классе
|
Полностью верно |
Частично верно |
Не верно |
Не приступили к выполнению задания |
|||||
|
чел. |
% |
чел. |
% |
чел. |
% |
чел. |
% |
|
|
6 |
30 |
3 |
15 |
9 |
45 |
2 |
10 |
|
Таблица 2.
Результаты выполнения заданий в контрольном классе
|
Полностью верно |
Частично верно |
Не верно |
Не приступили к выполнению задания |
|||||
|
чел. |
% |
чел. |
% |
чел. |
% |
чел. |
% |
|
|
5 |
28 |
6 |
29 |
5 |
28 |
2 |
15 |
|
Как видно из таблиц на данном этапе работы нет существенных отличий экспериментального класса и контрольного. По полученным данным можно судить, что сформированность методов решения геометрических задач находится на уровне ближе к среднему.
Анализ детских работ также показал, что наиболее сложными оказались задания №1 и №5. Остальные задания не вызвали особых затруднений.
2. Поисковый этап исследования
На данном этапе мы изучали тему теоретически и подбирали задания для работы с учащимися для получения результатов исследования.
С этой целью были проанализированы более 15 источников научной литературы по проблеме исследования, отобраны, систематизированы и дополнены задания, упражнения, игры, которые бы помогли освоить методы решения геометрических задач учащимися средней школы. Также на данном этапе эти задания проходили частичную апробацию для отбора наиболее эффективных.
3. Нормирующий этап эксперимента
Эксперимент длился с января по март 2004 года. В течение этого времени экспериментальный класс в ходе учебно-воспитательного процесса получал дополнительные задания на уроках математики на овладение методами решения геометрических задач.
Цель этого этапа заключалась в проверке эффективности подобранной системы заданий в реальной практике.
На данном этапе использовались такие методы, как и на констатирующем, то есть:
1. Невключённое наблюдение;
2. Тестирование;
3. Метод математической и статистической обработки данных.
Второй срез был проведён в начале формирующего этапа эксперимента. Участникам были предложены задания, которые были видоизменены и дополнены по сравнению с 1 срезом.
1. В некотором четырёхугольнике диагонали равны, а он не прямоугольник, диагонали взаимно перпендикулярны, а он не ромб. Что это за фигура?
2. На взаимно перпендикулярных прямых и отметьте по две точки так, чтобы полученные четыре точки стали вершинами квадрата.
3. В некотором четырёхугольнике известен один из углов. Какого вида может быть этот четырёхугольник, чтобы было возможно вычислить все остальные углы этого четырёхугольника?
4. Дан равносторонний треугольник. Что нужно знать, чтобы вычислить его сторону?
Проанализировав выполнение работы, мы получили следующие результаты.
Таблица 3. Результаты выполнения работ в экспериментальном классе
|
Полностью верно |
Частично верно |
Не верно |
Не приступили к выполнению задания |
|||||
|
чел. |
% |
чел. |
% |
чел. |
% |
чел. |
% |
|
|
7 |
35 |
12 |
60 |
1 |
5 |
0 |
0 |
|
Таблица 2.Результаты выполнения заданий в контрольном классе
|
Полностью верно |
Частично верно |
Не верно |
Не приступили к выполнению задания |
|||||
|
чел. |
% |
чел. |
% |
чел. |
% |
чел. |
% |
|
|
6 |
33 |
11 |
61 |
1 |
6 |
0 |
0 |
|
По данным таблиц 3 и 4 можно сделать вывод, что результаты проведённого II тестирования незначительно отличаются от I. Дети достаточно владеют методами решения геометрических задач, с охотой принимаются за выполнение заданий. Нужно отметить, что предложенные задания не вызвали затруднений у учащихся обоих классов, т. к. ни в экспериментальном, ни в контрольном классах не было учащихся, которые не приступили к выполнению предложенных заданий. Третий срез был проведён в конце формирующего этапа эксперимента. Целью этого среза было выявление уровня эффективности проводимой опытно-экспериментальной работы по развитию логического мышления школьников на основе овладения ими методов решения геометрических задач. Предложенные задания для 3 среза были повышенной трудности по сравнению с 1 и 2 срезами. 1. Какую часть площадь заштрихованной фигуры составляет от площади треугольника (рис. 2.7)
Рис. 2.7
2. что больше: площадь одного правильного треугольника со стороной 10 см или сумма площадей десяти правильных треугольников со стороной 1 см? После анализа детских работ нами были получены следующие показатели, которые внесены в таблицу 5.
Таблица 5.
Сравнительная таблица полученных результатов в экспериментальном и контрольном классах
|
Полностью верно |
Частично верно |
Не верно |
Не приступили к выполнению задания |
||
|
Экс., % |
85 |
15 |
0 |
0 |
|
|
Контр.,% |
44 |
30 |
22 |
0 |
|
Из таблицы видно, что в экспериментальном классе значительно больше учащихся полностью верно выполняют предложенные задания, нет учащихся, которые бы вообще не приступили к выполнению. Результаты каждого класса позволяют сделать вывод, что уровень сформированности методов решения геометрических задач увеличился в рамках собственного класса.
Таким образом, в данной главе мы исследовали на теоретическом и практическом уровнях возможности применения различных заданий на приёмы умственных действий. Нами были разработаны системы заданий на приёмы мыслительных действий.
В главе освещён вопрос о таких методах как анализ и синтез. Эти методы нами рассмотрены вместе, так как в чистом виде анализ и синтез практически не встречаются. В частности, выясним, что ведущим звеном всякой мыслительной деятельности является анализ через синтез. Это основной нерв процесса мышления. Способность к аналитико-синтетической деятельности находит своё выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и умении включать их в новые связи, увидеть их новые функции.
Также нами рассмотрен мыслительный приём обобщения, отмечена зависимость обобщения от анализа. Выделены особенности эмпирического и содержательного обобщения. В частности отметим, что результатом эмпирического обобщения являются житейские понятия в науке. А провести содержательное обобщение - значит, открыть некоторую закономерность, взаимосвязь особенных и единичных явлений с общей основой целого. Так как приём обобщения является достаточно сложным для детей школьного возраста, нами предложены дидактические задачи, используемы при обобщении знаний учащихся. Они способствуют лучшему усвоению материала и облегчают информационную нагрузку на мозг при обобщении.
Также в данной главе мы рассмотрели приём абстрагирования, который заключается в отвлечении от несущественных признаков и выведение на первый план существенных.
Полученные в результате опытно-экспериментальной работы данные позволили нам судить об эффективности применения мыслительных операций: анализа, синтеза, обобщения, сравнения и других в развитии логического мышления школьников. Несмотря на то, что сроки проведения психолого-педагогического эксперимента были ограничены, а исследуемая проблема требует более длительного изучения, как в теоретическом, так и в практическом отношении, мы смогли , мы смогли получить необходимые данные, подтверждающие гипотезу о том, что если в процессе изучения раздела геометрии обращать внимание на освоение методов решения геометрических задач, то это повысит эффективность обучения математике и будет способствовать развитию логического мышления учащихся.
| ! | Как писать дипломную работу Инструкция и советы по написанию качественной дипломной работы. |
| ! | Структура дипломной работы Сколько глав должно быть в работе, что должен содержать каждый из разделов. |
| ! | Оформление дипломных работ Требования к оформлению дипломных работ по ГОСТ. Основные методические указания. |
| ! | Источники для написания Что можно использовать в качестве источника для дипломной работы, а от чего лучше отказаться. |
| ! | Скачивание бесплатных работ Подводные камни и проблемы возникающие при сдаче бесплатно скачанной и не переработанной работы. |
| ! | Особенности дипломных проектов Чем отличается дипломный проект от дипломной работы. Описание особенностей. |
| → | по экономике Для студентов экономических специальностей. |
| → | по праву Для студентов юридических специальностей. |
| → | по педагогике Для студентов педагогических специальностей. |
| → | по психологии Для студентов специальностей связанных с психологией. |
| → | технических дипломов Для студентов технических специальностей. |
| → | выпускная работа бакалавра Требование к выпускной работе бакалавра. Как правило сдается на 4 курсе института. |
| → | магистерская диссертация Требования к магистерским диссертациям. Как правило сдается на 5,6 курсе обучения. |
| Дипломная работа | Формирование устных вычислительных навыков пятиклассников при изучении темы "Десятичные дроби" |
| Дипломная работа | Технологии работы социального педагога с многодетной семьей |
| Дипломная работа | Человеко-машинный интерфейс, разработка эргономичного интерфейса |
| Дипломная работа | Организация туристско-экскурсионной деятельности на т/к "Русский стиль" Солонешенского района Алтайского края |
| Дипломная работа | Разработка мероприятий по повышению эффективности коммерческой деятельности предприятия |
| Дипломная работа | Совершенствование системы аттестации персонала предприятия на примере офиса продаж ОАО "МТС" |
| Дипломная работа | Разработка системы менеджмента качества на предприятии |
| Дипломная работа | Организация учета и контроля на предприятиях жилищно-коммунального хозяйства |
| Дипломная работа | ЭКСПРЕСС-АНАЛИЗ ФИНАНСОВОГО СОСТОЯНИЯ ООО «АКТ «ФАРТОВ» |
| Дипломная работа | Психическая коммуникация |