47
Факультет прикладной математики - процессов управления
Кафедра математического моделирования
энергетических систем
Карпова
Наталия
Анатольевна
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Зав. Кафедрой,
профессор, доктор физ.-мат. наук Захаров В. В.
Научный руководитель,
доцент, кандидат физ.-мат. наук Свиркин М. В.
Рецензент,
доцент, кандидат физ.-мат. наук Корников В. В.
Санкт Петербург
2003
Оглавление.
Глава 2. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей.
§ 1. Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева…...23
§ 2. Обобщение метода Грамма - Шарлье………………...…………….33
§ 3. Весовые функции и кривые распределения вероятностей…….….36
Глава 3. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.
§ 1. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей……..40
§ 2. Алгоритм вычислений...................................……...……...………...46
Заключение……………………………………………………………………..47
Математическая статистика является наукой, которая изучает соотношения, столь глубоко проникающие в суть вещей, что их можно встретить при самых различных обстоятельствах. Результаты исследований, полученные с помощью аппарата математической статистики, используются в самых различных областях науки и техники, таких как биология, медицина, анатомия, геология, экология, экономика, и т.д.
Данная дипломная работа посвящена рассмотрению двух основных задач математической статистики:
1. получению кривой распределения вероятностей по имеющейся выборке;
2. нахождению зависимости между двумя случайными величинами, заданными своими выборками.
Для решения первой задачи используются различные методы. В данной работе рассмотрен метод Карла Пирсона, представителя английской школы статистики. Им было получено дифференциальное уравнение
,
а так же введен критерий ж (каппа Пирсона), с помощью которого Пирсон классифицировал решения этого дифференциального уравнения и представил их в виде двенадцати типов.
Позже в своих теоретических исследованиях Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения данной задачи используется метод Пирсона нахождения кривой распределения.
Для решения второй задачи используется метод П.Л. Чебышева, создателя Санкт - Петербургской математической школы. В статистике имя знаменитого русского математика П. Л. Чебышева (1821-1894) известно главным образом по так называемому неравенству Чебышева, которое он предложил для распределения вероятностей, и которое имеет силу для любого статистического распределения численностей.
Однако за последнее время в статистике всё большее значение приобретают ортогональные полиномы Чебышева, которые имеют особое значение при определении множественной и криволинейной регрессии и при вычислении коэффициентов обобщённой функции нормального распределения вероятностей.
Чебышев предложил общую интерполяционную формулу, при которой возможно интерполирование в самых разнообразных случаях. Эта интерполяционная формула удовлетворяет условиям метода наименьших квадратов и выражена при помощи его ортогональных полиномов. Общая интерполяционная формула, или, иначе ряд Чебышева, предложен Чебышевым в 1855 году. Она имеет вид
.
Таким образом в дипломной работе рассматриваются два метода:
ь метод Пирсона нахождения кривых распределения вероятностей,
ь метод Чебышева получения ортогональных полиномов,
которые были положены в основу обобщенного метода Грамма - Шарлье нахождения кривой распределения вероятностей.
Глава 1. Система кривых Пирсона.
В данной главе ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде. Для ее решения рассматривается подход К. Пирсона, который является выдающимся представителем английской статистической школы.
§ 1. Дифференциальное уравнение Пирсона.
Рассмотрим случайную величину, заданную своей выборкой , таким образом, можем записать - статистической распределение. Ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде.
Метод Пирсона заключается в том, что мы рассматриваем дифференциальное уравнение Пирсона:
(1)
и исследуем, какие решения можно получить при различных значениях параметров уравнения (1).
Общий интеграл этого уравнения представим в виде:
где
.
Значение этого неопределенного интеграла зависит от корней уравнения
(2),
следовательно, от его дискриминанта
который можно написать в виде
,
вводя параметр
ж.
Или иначе, величину ж можно представить в виде:
ж,
где величины представимы через центральные моменты статистических распределений к-го порядка, которые определяются по формуле
,
где есть
.
Тогда
, .
Через величины можно представить и величины следующим образом [5]:
Величина ж называется критерием Пирсона (каппа Пирсона) и раз-личные значения ее дают нам следующие выводы о корнях уравнения:
А. Если ж, то и уравнение (1) имеет вещественные корни различных знаков.
В. Если 0< ж<1, то и уравнение (1) имеет комплексные корни.
С. Если ж>1, то и уравнение (1) имеет вещественные корни одного знака.
Соответственно этим случаям Пирсон различает три главных типа своих кривых, которые он назвал соответст-венно типами I, IV и VI. Затем ж может равняться , что дает переходные типы кривых. Наконец, присоединяя некоторые дополнительные условия, мы можем увеличить число переходных типов. Всего система кривых Пирсона заключает 12 типов и нормальную кривую.
В своих разработках Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения задачи идентификации используется метод Пирсона.
§ 2. Основные типы кривых Пирсона.
В этом параграфе будут рассмотрены основные типы кривых распределения вероятностей, предложенные и классифицированные Пирсоном.
Тип I.
Пусть ж<0. Тогда
и уравнение (2) имеет вещественные корни различных знаков: , так что можем записать
.
Тогда правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде:
,
где
.
Пусть еще
.
Тогда уравнение (1) перепишется в виде
и общий интеграл его можно представим в виде
,
где и значения и должны удовлетворять условиям
.
Тип I получается, если заключается в интервале . Тогда
и
или, как обычно пишут
.
Так как выражаются определенным образом через моменты , то, очевидно, и также выражаются через те же моменты. Для этого введем число
.
Тогда простое преобразование дает следующие формулы:
.
Эти формулы используются вообще при вычислении параметров и других кривых Пирсона.
Интеграл в правой части можно привести к другому виду:
подстановка
приводит его к виду
.
Обычно, полагая
,
пишут в виде
,
где
.
Тип VI.
Третий главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям критерия ж>1 . В этом случае уравнение (2) имеет вещественные корни одного знака. Не приводя вывода уравнения кривой типа VI, аналогичного выводу уравнения кривой типа I [5], прямо приведем уравнение, отнесенное к средней выравниваемого распределения, как началу координат:
(в нем ). Его параметры вычисляются по формулам:
,
причем берется , если и , если ; и дают выражения:
,
причем должно быть ;
,
и
.
Уравнение кривой типа VI пишут также в виде:
беря за начало координат точку
.
Параметры вычисляются как выше, а имеет теперь такое выражение:
.
Кривая простирается от до , если , и от до , если .
§ 3. Переходные типы кривых Пирсона.
Переходные типы кривых Пирсона получаются при специальных значениях критерия ж и при некоторых условиях, налагаемых на и .
Тип II.
Получается при ж=0, и имеет уравнение
,
отнесенное к моде, которая теперь равна средней (кривая симметрична относительно начала). Ее параметры вычисляются по формулам
Кривая простирается от -а до а. На концах распределения , если и , если . Эта кривая имеет так называемую U-образную форму с антимодой вместо моды.
Тип VII.
Тринадцатый тип кривых распределения Пирсона - нормальная кривая с уравнением
,
которая получается при условиях
ж.
Типы II, VI, VII, VIII, IX представляют специальные случаи кривой типа I, тип X - специальный случай типа III, а тип XI - типа VI. [5] (См. приложение 1.)
Глава 2. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей.
В этой главе рассмотрено получение ортогональных полиномов способом, который разработал П. Л. Чебышев. А именно, через разложение в непрерывную дробь суммы
и рассмотрение знаменателей подходящих дробей полученной непрерывной дроби. Причем показано, что полученные таким образом ортогональные полиномы отвечают условиям метода наименьших квадратов, а так же показано их применение для нахождения кривых распределения вероятностей.
§ 1. Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева.
Пусть даны значения интерполируемой функции,
соответствующие значения аргумента . Каждому значению аргумента ставится в соответствие частота .
Требуется найти такую целую функцию
,
где , которая удовлетворяла бы условию наименьшего значения суммы
.
В данной задаче в качестве веса предлагается рассмотреть [8]
,
где n есть
или иначе говоря n - сумма всех испытаний.
Для решения нашей задачи находим коэффициенты , которые определяются из следующих уравнений
;
;
……………………
;
;
После преобразований получаем следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов
;
;
……………………
……………………
;
……………………
;
где
Такой подход к нахождению коэффициентов имеет существенный недостаток - при повышении степени полинома хотя бы на единицу приходится переписывать все уравнения и решать систему заново.
Есть другой вариант построения искомого полинома [8].
Пусть будет целая функция от степени , которая обращается в при . Положим
,
где - целые функции степеней , а - коэффициенты.
Пусть теперь сумма первых членов выражения
равняется
,
т.е. .
Каковы в этом случае условия относительно и при которых сумма
имеет наименьшее значение?
Обозначим эту сумму через :
,
и, подставляя в нее
,
составляем обычным способом дифференцирования следующие уравнения:
Отсюда следует:
Так как есть ортогональные полиномы по построению, следовательно все слагаемые вида будут равняться 0.
В результате преобразований получим выражения для коэффициентов :
;
;
………………
;
………………
.
Теперь можно представить функцию
в таком виде
.
Легко убедиться, что для перехода от найденного выражения интерполируемой функции к целой функции степени , достаточно к левой части полученной функции приписать один новый член
.
Для дальнейшего перехода к целой функции степени , также удовлетворяющей условию наименьшего значения суммы
,
достаточно прибавить к найденному выражению функции степени , такой новый член
.
Таким образом, решение задачи параболического интерполирования по способу наименьших квадратов приводится к нахождению ряда
Этот ряд, обладающий свойством давать посредством суммы своих первых членов приближенное представление интерполируемой функции в виде целой функции степени , удовлетворяющей требованию наименьших квадратов, называется интерполяционным рядом Чебышева.
Теперь для полного решения задачи остается еще узнать, что представляют собой функции , определив через данные величины и коэффициенты при в выражении этих функций.
При помощи этих формул можно вычислить какой угодно член ряда Чебышева
.
Оценка результатов интерполирования производится при помощи среднего квадратического отклонения данных значений интерполируемой функции от вычисленных по найденному уравнению параболы.
Обозначим сумму квадратов отклонений через . Тогда можно написать
.
будет равняться
,
а выражать рекуррентно через по формуле
.
Итак,
, , ,
, , , ,
, , , , .
Мы видим, что в зависимости от нашей весовой функции в разложении мы получим разные системы ортогональных полиномов.
§ 2. Обобщение Грамма - Шарлье.
Пусть по методу Пирсона найден вид кривой распределения вероятностей на соответствующем интервале. Теперь, для представления в удобном для практического использования виде, запишем полученную кривую в несколько иной форме. Для этого используем обобщение Грамма - Шарлье, которое основывается на применении ортогональных полиномов Чебышева и состоит в том, что кривая распределения вероятностей представима в виде следующего разложения:
(4)
где - есть к-ая производная функции . Здесь полагаем, что
.
Таким образом, мы получаем кривую распределения вероятностей теперь уже в виде .
Производные функции мы можем представить в виде [3]
,
тогда можем записать
где функции должны удовлетворять следующему свойству:
если (5)
А коэффициенты получаются из равенства (4) с помощью домножения на любой из ортогональных полиномов и, интегрирования полученного равенства:
=
=
Пусть многочлен (2) не имеет корней, тогда уравнение Пирсона (1) после переноса начала координат запишется в виде
,
тогда решение этого уравнения запишется в виде
(6).
Линейным преобразованием независимого переменного
эта функция приводится с точностью до постоянного множителя к весовой функции многочленов Чебышева - Эрмита, которая имеет вид
.
Поскольку умножение весовой функции на постоянную практически не изменяет ортогональные многочлены, то в формуле (6), как и в аналогичных нижеследующих формулах, не нарушая общности, можно полагать . В данном случае ортогональные многочлены с весом (6) выражаются через ортогональные многочлены Чебышева - Эрмита по формуле
.
В этом случае условие ортогональности запишется в виде:
если
Полиномы Чебышева - Лагерра.
Ниже рассмотрено несколько примеров наиболее часто встретившихся форм кривой распределения I типа.
Пример 1.
Рассмотрим выборку:
1 |
10,55233622 |
2 |
Кривая распределения вероятностей первого типа. |
|
2 |
13,44763172 |
2 |
||
3 |
17,80800986 |
1 |
||
4 |
4,963081479 |
2 |
Параметры кривой: |
|
5 |
14,66424847 |
2 |
||
6 |
12,436602 |
1 |
10,0143 |
|
7 |
9,36697793 |
2 |
7,6909 |
|
8 |
15,20854056 |
1 |
0,9984 |
|
9 |
15,66078138 |
2 |
0,5348 |
|
10 |
8,748272777 |
2 |
0,0759 |
|
11 |
9,028156996 |
1 |
||
12 |
18,93642914 |
2 |
||
13 |
18,84283829 |
1 |
||
14 |
14,6049341 |
1 |
Следовательно, кривая распределения вероятностей будет определена на промежутке и будет иметь вид:
1
0
Рис.1
Из чего следует, что если параметры кривой распределения первого
типа будут находиться в пределах , то мы будем получать форму кривой распределения, изображенную на рис.1.
Из пятидесяти рассмотренных выборок двадцать четыре имеют такую форму кривой распределения вероятностей.
Пример 2.
Рассмотрим другую выборку:
1 |
8,460199654 |
2 |
Кривая распределения вероятностей первого типа. |
|
2 |
45,34087276 |
8 |
||
3 |
18,07745451 |
5 |
||
4 |
5,419406056 |
8 |
Параметры кривой: |
|
5 |
18,67596108 |
6 |
||
6 |
23,24656701 |
9 |
17,4066 |
|
7 |
18,95143622 |
1 |
37,6794 |
|
8 |
53,27426755 |
3 |
-0,3882 |
|
9 |
54,93095666 |
1 |
0,3243 |
|
10 |
24,27284002 |
2 |
0,0187 |
|
11 |
17,74883789 |
4 |
Кривая распределения вероятностей имеет в этом случае форму, показанную на рис. 2.
1
0
Рис.2
В этом случае параметры кривой распределения будут: . И если параметры кривой распределения другой выборки будут удовлетворять этим неравенствам, то форма кривой распределения этой выборки будет похожа на рис. 2.
Этот случай встретился нам семь раз из пятидесяти.
Пример 3
1 |
3,881268442 |
7 |
Кривая распределения вероятностей первого типа. |
|
2 |
1,343869925 |
17 |
||
3 |
3,770335495 |
11 |
||
4 |
2,860628724 |
9 |
Параметры кривой: |
|
5 |
2,043179214 |
4 |
||
6 |
1,447737217 |
10 |
1,2163 |
|
7 |
2,43993476 |
13 |
1,4994 |
|
8 |
1,658227324 |
8 |
-0,7286 |
|
9 |
3,98119396 |
16 |
-0,6654 |
|
10 |
1,391261339 |
5 |
0,1632 |
Кривая распределения вероятностей имеет вид:
1
0
Рис. 3
Такой будет форма кривой распределения вероятностей, если параметры . Эта форма кривой встречается шестнадцать раз из пятидесяти.
§2. Алгоритм вычислений.
Метод Пирсона.
Заключение.
В дипломной работе были рассмотрены вопросы нахождения распределения вероятностей по заданным выборочным значениям случайной величины. В первой главе было рассмотрено решение дифференциального уравнения Пирсона, проклассифицированы с помощью ж критерия Пирсона, найдены типы кривых распределения вероятностей и параметры, соответствующие каждому типу.
Во второй главе был рассмотрен подход Чебышева к получению систем ортогональных полиномов, которые обладают свойством метода наименьших квадратов. Было рассмотрено применение способа Чебышева для нахождения кривой распределения вероятностей по обобщенному методу Грамма - Шарлье.
В третьей главе описывается алгоритмическое обеспечение нахождения кривых распределения вероятностей по методу Пирсона.
Результаты дипломной работы могут представлять большое значение для решения многих практических задач, так как часто возникает необходимость по экспериментальным данным оценить распределение вероятностей измеренной случайной величины.
! | Как писать дипломную работу Инструкция и советы по написанию качественной дипломной работы. |
! | Структура дипломной работы Сколько глав должно быть в работе, что должен содержать каждый из разделов. |
! | Оформление дипломных работ Требования к оформлению дипломных работ по ГОСТ. Основные методические указания. |
! | Источники для написания Что можно использовать в качестве источника для дипломной работы, а от чего лучше отказаться. |
! | Скачивание бесплатных работ Подводные камни и проблемы возникающие при сдаче бесплатно скачанной и не переработанной работы. |
! | Особенности дипломных проектов Чем отличается дипломный проект от дипломной работы. Описание особенностей. |
→ | по экономике Для студентов экономических специальностей. |
→ | по праву Для студентов юридических специальностей. |
→ | по педагогике Для студентов педагогических специальностей. |
→ | по психологии Для студентов специальностей связанных с психологией. |
→ | технических дипломов Для студентов технических специальностей. |
→ | выпускная работа бакалавра Требование к выпускной работе бакалавра. Как правило сдается на 4 курсе института. |
→ | магистерская диссертация Требования к магистерским диссертациям. Как правило сдается на 5,6 курсе обучения. |
Дипломная работа | Формирование устных вычислительных навыков пятиклассников при изучении темы "Десятичные дроби" |
Дипломная работа | Технологии работы социального педагога с многодетной семьей |
Дипломная работа | Человеко-машинный интерфейс, разработка эргономичного интерфейса |
Дипломная работа | Организация туристско-экскурсионной деятельности на т/к "Русский стиль" Солонешенского района Алтайского края |
Дипломная работа | Разработка мероприятий по повышению эффективности коммерческой деятельности предприятия |
Дипломная работа | Совершенствование системы аттестации персонала предприятия на примере офиса продаж ОАО "МТС" |
Дипломная работа | Разработка системы менеджмента качества на предприятии |
Дипломная работа | Организация учета и контроля на предприятиях жилищно-коммунального хозяйства |
Дипломная работа | ЭКСПРЕСС-АНАЛИЗ ФИНАНСОВОГО СОСТОЯНИЯ ООО «АКТ «ФАРТОВ» |
Дипломная работа | Психическая коммуникация |