27
Министерство образования Российской Федерации
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Обратимые матрицы над кольцом Zn
Выполнила:
Студентка V курса
Математического факультета
Сычева О. Г.
Научный руководитель:
д.ф.-м.н., профессор
Вечтомов Е. М.
Рецензент:
к.ф.-м.н., доцент
Чермных В. В.
Допущена к защите в ГАК
Зав.кафедрой Вечтомов Е М.
« »
Декан факультета Варанкина В. И.
« »
п.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр.
п.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр.
п.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Zp ..16 стр.
§3 Обратимые матрицы над Zn ………………………………………17 стр.
Литература …………………………………………………………….27 стр.
Введение
Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры.
Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов.
Вся работа разбита на два этапа:
В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Zp . В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n-го порядка над полем Zp .
В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов Zn .
§1. Основные определения.
Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P.
Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность (или - размеров ). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме:
.
Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.
Будем обозначать ее 0.
Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.
Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i=j) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю.
Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.:
Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы.
Две матрицы A=(aij) и B=(bij) одного и того же размера можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C=(ci j), , т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц.
Произведение элемента c из поля на матрицу A=(aij) определяется следующим образом: cA=(caij).
Для любой матрицы A существует противоположная -A такая, что
A+(-A)=0.
Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле.
Рассмотрим матрицу A=(aij) размером и матрицу B=(bij) размером (т.к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C=(cij) размером , где .
Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами:
По сложению:
(A+B)+C=A+(B+C) - ассоциативность;
A+B=B+A - коммутативность;
Существует нейтральный элемент - матрица 0: A + 0 = 0 + A = A;
Для матрицы A существует обратный элемент -A: A + (-A)=0;
По умножению матриц на скаляр:
;
;
;
;
По умножению матриц:
Произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. ABВА;
(AB)C=A(BC) - ассоциативность;
(cA)B=A(cB)=cAB;
Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая) (A1+A2)B=A1B+A2B, A(B1+B2)=AB1+AB2;
Существует единственный нейтральный элемент E
(если A - квадратная): EA = AE = A. Если же A размером , то
EmA = AEn = A.
Произведение матрицы А на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц).
Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо.
Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус - если нечетную перестановку.
,
где (1, 2, ..., n) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., n; множитель равен +1, если (1, 2, ..., n) - четная перестановка, и равен -1, если нечетная.
Минором элемента aij называется определитель (n-1) - порядка, полученный из данного определителя n-го порядка, путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.
Минор aij элемента обозначается Мij.
Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j.
Алгебраическое дополнение элемента обозначается Аij=(-1)i+j Мij.
Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E,
где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.
Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.
Если матрица А имеет обратную, то она единственна.
Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и СВ, тогда заметим: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В. Что противоречить условию.
Определитель произведения любых двух матриц n-го порядка равен произведению их определителей.
Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n-го порядка:
, , …,
Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n n-мерных столбцов)
Тогда =1===
====.
Что требовалось доказать.
Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Zn.
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.
Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.
Покажем это. Пусть A=(aij) -невырожденная квадратная матрица (). Рассмотрим матрицу А*=, где Аij - алгебраическое дополнение элементов определителя , причем алгебраические дополнения i-й сроки стоят в i-ом столбце.
Найдем произведение С=АА*, где С=(сij)
и т.д.
Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму,
в итоге, получим следующее:, т.е. . Значит матрица А* - обратная к невырожденной матрице А.
Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А () имеет обратную А*, тогда верными будут следующие равенства:
А·А*=Е,, , .
Что в принципе не верно.
Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Zn называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Zn .
§2. Обратимые матрицы над полем Zp
В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Zp, где p - простое.
1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.
Будем рассматривать матрицы .
Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т.е. . Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т.е. .
Нужно найти количество всех невырожденных матриц
(когда ). При этом
(1.1)
Формулу выведем в 2 этапа.
1) Пусть (р-1 штук), (р-1 штук),
(по р штук) (1.2).
Тогда количество матриц, удовлетворяющих данным условиям, вычисляется по формуле
(р-1)2р2 (1.3)
Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .
В условии (1.2) не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить.
Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.
Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково.
а) (р-1 штук), и . Из (1.1) получаем равенство . Значит . При заданном (где =1,2…р-1) элемент однозначно выражается через и (количество невырожденных матриц - р-1). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук.
б) , и . Значит . Отсюда . Элемент однозначно выражается через , , , которые принимаю не нулевые значения. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук
Значит формула (1.3) при условии (1.2) верна.
2) Пусть . Тогда , а из (1.1) получаем что и (как в первом этапе, случае а). Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле
(р-1)2р (1.4)
Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц.
Складывая формулы (1.3) и (1.4) полученные в этапах 1) и 2) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 2 над полем Zp
(р-1)2р(р+1) (1.5)
2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3.
Будем рассматривать матрицы .
Алгебраические дополнения к элементам , и есть определители матриц , и соответственно, порядка 2, при чем , и .
Нужно найти количество всех невырожденных матриц ().
При этом
(2.1)
Формулу выведем в 3 этапа.
1) Пусть (р-1 штук), (их количество по формуле (1.5)), (по р штук) (2.2).
Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле
(р-1)3р5(р+1) (2.3)
Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .
При условии (2.2) не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.
Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:
а) (р-1 штук), и . Из (2.1) получаем равенство .
а1) Пусть =0. Тогда и . Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)2р(р+1). Т.к то из выражения получаем равенство , т.е. хотя бы один из этих элементов не равен нулю. Пусть . Из того, что получаем . Элементом , принимающим любое значение, можем однозначно задать элемент . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4р2(р+1) штук.
а2) Если 0, .Тогда и . Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)2р(р+1). Т.к , то, из выражения получаем . Пусть . Домножим равенство () на . Заменим на (из того, что ). Получим равенство . Вынесем за скобки и т.к. делаем вывод, что . Значит и (). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)5р(р+1) штук.
а3) Если 0, и получаем (р-1)4р2(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а1)
а4) Если 0, , и получаем
(р-1)5р(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а2)
а5) Если 0, , и . Из того, что получаем . Пусть . Равенство () умножим на и заменим на (). Получим равенство . Вынося за скобки (), замечаем, что элемент однозначно выражается через ( - р-1 штук). Но тогда тоже выражается через эти элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6р(р+1)штук.
Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта а) подсчитывается по формуле
(р-1)4р(р+1)(р2+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах а1-а5).
б) (р-1 штук), ((р-1)2р(р+1)) штук). Т.к. , значит (2.4)
б1) Пусть =0. Тогда из (2.4) выводится равенство
(2.5)
а из (2.5) получим . Распишем (2.5): . Т.е. однозначно выражается через элемент , которых может быть р штук, и через элементы , , , , . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4р2(р+1).
б2) Если 0, .Тогда получим опять равенство (2.5) и из него . Элементов всего р-1 штук. Т.к , то получаем что . Пусть . Умножив равенство (2.5) на , выражая и произведя замену на получим
равенство . А т.к. и делаем вывод, что и выражаются через все остальные элементы матрицы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям
(р-1)5р(р+1) штук.
б3) Если 0, и получаем (р-1)4р2(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в
пункте б1)
б4) Если 0, , и получаем
(р-1)5р(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в пункте б2)
б5) Пусть 0, , и . Из того, что , получаем . Пусть . Тогда преобразовывая (2.4) получаем, что однозначно выражается через и все остальные элементы.
Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6р(р+1) штук.
Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта б) подсчитывается по формуле
(р-1)4р(р+1)(р2+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах б1-б5).
Значит формула (р-1)3р5(р+1) для случая 1) при условии (2.2) верна.
2) Пусть , (количество их р-1), (количество высчитывается по формуле (1.5)) и (по р штук). Тогда из (2.1) получаем
.
Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле
(р-1)3р4(р+1) (2.6)
Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , и .
Но при этих условиях не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.
Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:
а) , и . Из (2.1) получаем равенство , , а из того что получаем что, например, элемент однозначно выражается через элемент (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)4р2(р+1).
б) , и . Из (2.1) получаем равенство , . А из можем однозначно выразить, например, элемент через элемент (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)4р2(р+1).
3) Пусть , , (количество их p-1), (количество высчитывается по формуле (1.5)) и (по р штук).
Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле
(р-1)[(р-1)2р(р+1)]ррр (2.7)
Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц порядка 3. складывая формулы (2.3), (2.6) и (2.7), полученные в этапах 1), 2) и 3) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 3 матриц над полем Zp
(р-1)3р3(р+1)(р2+р+1) (2.8)
3. Общая формула для подсчета обратимых матриц над полем Zp.
Используя алгоритм, описанный в предыдущих пунктах, для выведения формулы подсчета количества обратимых матриц, можем получить частные формулы для матриц произвольных порядков.
Например:
Для матриц порядка 4:
(р-1)4р6(р+1)(р2+р+1)(р3+р2+р+1).
Для матриц порядка 5:
(р-1)5р10(р+1)(р2+р+1)(р3+р2+р+1)( р4+р3+р2+р+1), и т.д.
Анализируя полученные результаты, можем сделать выводы, что общая формула для получения количества обратимых матриц порядка n над полем Zp выглядит так:
Данную формулу тождественными преобразованиями можно привести к виду:
§3. Обратимые матрицы над кольцом Zn
Таким образом, получаем: определитель обратимой матрицы является обратимым элементом.
Попытаемся сосчитать количество обратимых матриц над некоторыми кольцами вычетов по составному модулю.
Обратимые матрицы над Z4.
|
* |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
|
|
3 |
0 |
3 |
2 |
1 |
|
Таким образом, по данной классификации получаем 8+8+16+16+16=48 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 3, и число таких матриц будет также равно 48.
Следовательно, из 256 квадратных матриц второго порядка над Z4 обратимыми являются 96.
Обратимые матрицы над Z6.
|
* |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
2 |
0 |
2 |
4 |
0 |
2 |
4 |
|
|
3 |
0 |
3 |
0 |
3 |
0 |
3 |
|
|
4 |
0 |
4 |
2 |
0 |
4 |
2 |
|
|
5 |
0 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
* |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
3 |
0 |
3 |
6 |
3 |
4 |
7 |
2 |
5 |
|
|
4 |
0 |
4 |
0 |
4 |
0 |
4 |
0 |
4 |
|
|
5 |
0 |
5 |
2 |
7 |
4 |
1 |
6 |
3 |
|
|
6 |
0 |
6 |
4 |
2 |
0 |
6 |
4 |
2 |
|
|
7 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
* |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
1 |
3 |
5 |
7 |
|
|
3 |
0 |
3 |
6 |
0 |
3 |
6 |
0 |
3 |
6 |
|
|
4 |
0 |
4 |
8 |
3 |
7 |
2 |
6 |
1 |
5 |
|
|
5 |
0 |
5 |
1 |
6 |
2 |
7 |
3 |
8 |
4 |
|
|
6 |
0 |
6 |
3 |
0 |
6 |
3 |
0 |
6 |
3 |
|
|
7 |
0 |
7 |
5 |
3 |
1 |
8 |
6 |
4 |
2 |
|
|
8 |
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
* |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
|
3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
2 |
5 |
8 |
1 |
4 |
7 |
|
|
4 |
0 |
4 |
8 |
2 |
6 |
0 |
4 |
8 |
2 |
6 |
|
|
5 |
0 |
5 |
0 |
5 |
0 |
5 |
0 |
5 |
0 |
5 |
|
|
6 |
0 |
6 |
2 |
8 |
4 |
0 |
6 |
2 |
8 |
4 |
|
|
7 |
0 |
7 |
4 |
1 |
8 |
5 |
2 |
9 |
6 |
3 |
|
|
8 |
0 |
8 |
6 |
4 |
2 |
0 |
8 |
6 |
4 |
2 |
|
|
9 |
0 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
Таким образом, обратимых матриц, определитель которых
равен 1 --720.
Следовательно, из 10000 квадратных матриц второго порядка над Z10 обратимыми являются 2880.
Используя выше изложенный метод, было также вычислено количество обратимых матриц для колец вычетов по модулям:10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21. В результате всех вычислений были получены следующие данные (ниже также использованы формулы полученные в §2):
|
Zn |
формула |
количество |
|
|
2 |
(p-1)2p(p+1) |
6 |
|
|
3 |
(p-1)2p(p+1) |
48 |
|
|
4 |
- |
96 |
|
|
5 |
(p-1)2p(p+1) |
480 |
|
|
6 |
- |
288 |
|
|
7 |
(p-1)2p(p+1) |
2016 |
|
|
8 |
- |
1536 |
|
|
9 |
- |
3888 |
|
|
10 |
- |
2880 |
|
|
11 |
(p-1)2p(p+1) |
13200 |
|
|
12 |
- |
4608 |
|
|
13 |
(p-1)2p(p+1) |
26208 |
|
|
14 |
- |
12096 |
|
|
15 |
- |
23040 |
|
|
16 |
- |
24576 |
|
|
17 |
(p-1)2p(p+1) |
78336 |
|
|
18 |
- |
23328 |
|
|
19 |
(p-1)2p(p+1) |
123120 |
|
|
20 |
- |
43520 |
|
|
21 |
- |
96768 |
|
В итоге анализа полученных результатов эмпирическим путем была получена следующая формула для вычисления количества обратимых матриц второго порядка над кольцом вычетов по произвольному модулю.
Пусть Zn -кольцо вычетов по модулю n, причем n=p1k1p2k2…pmkm ,
Тогда количество обратимых матриц второго порядка равно:
(p1-1)2(p2-1)2…(pm-1)2p1p2…pm(p1+1)(p2+1)…(pm+1)(p14)k1-1(p24)k2-1…(pm4)km-1
Литература
Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.
| ! | Как писать дипломную работу Инструкция и советы по написанию качественной дипломной работы. |
| ! | Структура дипломной работы Сколько глав должно быть в работе, что должен содержать каждый из разделов. |
| ! | Оформление дипломных работ Требования к оформлению дипломных работ по ГОСТ. Основные методические указания. |
| ! | Источники для написания Что можно использовать в качестве источника для дипломной работы, а от чего лучше отказаться. |
| ! | Скачивание бесплатных работ Подводные камни и проблемы возникающие при сдаче бесплатно скачанной и не переработанной работы. |
| ! | Особенности дипломных проектов Чем отличается дипломный проект от дипломной работы. Описание особенностей. |
| → | по экономике Для студентов экономических специальностей. |
| → | по праву Для студентов юридических специальностей. |
| → | по педагогике Для студентов педагогических специальностей. |
| → | по психологии Для студентов специальностей связанных с психологией. |
| → | технических дипломов Для студентов технических специальностей. |
| → | выпускная работа бакалавра Требование к выпускной работе бакалавра. Как правило сдается на 4 курсе института. |
| → | магистерская диссертация Требования к магистерским диссертациям. Как правило сдается на 5,6 курсе обучения. |
| Дипломная работа | Формирование устных вычислительных навыков пятиклассников при изучении темы "Десятичные дроби" |
| Дипломная работа | Технологии работы социального педагога с многодетной семьей |
| Дипломная работа | Человеко-машинный интерфейс, разработка эргономичного интерфейса |
| Дипломная работа | Организация туристско-экскурсионной деятельности на т/к "Русский стиль" Солонешенского района Алтайского края |
| Дипломная работа | Разработка мероприятий по повышению эффективности коммерческой деятельности предприятия |
| Дипломная работа | Совершенствование системы аттестации персонала предприятия на примере офиса продаж ОАО "МТС" |
| Дипломная работа | Разработка системы менеджмента качества на предприятии |
| Дипломная работа | Организация учета и контроля на предприятиях жилищно-коммунального хозяйства |
| Дипломная работа | ЭКСПРЕСС-АНАЛИЗ ФИНАНСОВОГО СОСТОЯНИЯ ООО «АКТ «ФАРТОВ» |
| Дипломная работа | Психическая коммуникация |