29

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.

«____»_________________ 2003 г.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ

Дипломная работа

Исполнитель: студентка группы М-51

_____________________ ПЛИКУС Т.Е.

Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.

_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:доцент, к.ф-м.н.

_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.

Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.

Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.

Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Содержание

Введение

1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Заключение

Список использованных источников

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)

Введение

Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений

(0.1)

с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) - аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

(0.2)

Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(0.3)

В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:

x³+₁x²y+₁xy²+₁y³+₂x²+₂xy+₂y²+₃x+₃y+=0, (0.4)

mx+ny+p=0 (0.5)

в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.

1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1.1)

Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

где F_k(x,y) - однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:

. (1.3)

Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:

F(x,y)x³+₁x²y+₁xy²+₁y³+₂x²+₂xy+₂y²+₃x+₃y+=0 (1.4)

Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k - постоянные:

(3x2+2₁xy+₁y²+2₂x+₂y+₃)(ax+by+a₁x²+2b₁xy+c₁y²)+(₁x²+

2₁xy+3₁y²+₂x+2₂y+₃)(cx+dy+a₂x²+2b₂xy+c₂y²)=(x3+₁x²y+₁xy²+ (1.5)

₁y³+₂x²+₂xy+₂y²+₃x+₃y+)(fx+gy+k).

Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений

x^m yⁿ слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):

3a₁₊₁a₂-f=0, (1.6₁)

(2a₁+2b₂-f)₁+2a₂₁-g+6b₁=0, (1.6₂)

2₁c₁+(2b₁+2c₂-g)₁+(6b₂-f)₁=0, (1.6₃)

(4b₁+c₂-g)₁+(a₁+4b₂-f)₁+3a₂₁+3c₁=0, (1.6₄)

c₁₁+(3c₂-g)₁=0; (1.6₅)

c₁+(2a₁-f)₂+a₂₂-k+3a=0, (1.7₁)

(2a+d-k)₁+2c1+(4b₁-g)2+(a₁+2b₂-f)2+2a₂₂+3b=0, (1.7₂)

2b₁+(a+2d-k)₁+3c₁+2c₁₂+(2b₁+c₂-g)₂+(4b₂-f)₂=0, (1.7₃)

b₁+(3d-k)₁+c₁₂+(2c₂-g)₂=0; (1.7₄)

(2a-k)₂+c₂+(a₁-f)₃+a₂₃=0, (1.8₁)

2b₂+(a+d-k)₂+2c₂+(2b₁-g)₃+(2b₂-f)₃=0, (1.8₂)

b₂+(2d-k)₂+c₁₃+(c₂-g)₃=0; (1.8₃)

(a-k)₃+c₃-f=0, (1.9₁)

b₃+(d-k)₃-g=0, (1.9₂)

k=0. (1.9₃)

Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда =0. Согласно (1.9₃) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a₂=c₁=0, а коэффициенты ₁, ₁, ₁ интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.6₁) - (1.9₃) при этих предположениях будут иметь вид:

3a₁-f=0, (1.10₁)

g+6b₁=0; (1.10₂)

(2a₁-f)₂+3a=0, (1.11₁)

(4b₁-g)2+(a₁+2b₂-f)2+3b=0, (1.11₂)

(2b₁+c₂-g)₂+(4b₂-f)₂=0, (1.11₃)

(2c₂-g)₂=0; (1.11₄)

2a₂+c₂+(a₁-f)₃=0, (1.12₁)

2b₂+(a+d)₂+2c₂+(2b₁-g)₃+(2b₂-f)₃=0, (1.12₂)

b₂+2d₂+(c₂-g)₃=0; (1.12₃)

a₃+c₃-f=0, (1.13₁)

b₃+d₃-g=0. (1.13₂)

Из условий (1.10₁) и (1.10₂) получаем, что

f = 2a_1, g = 6b₁.

Из условия (1.11₄) имеем

(2c₂-g)₂=0.

Пусть _2, тогда

2c₂-g=0 и g=2c₂,

с другой стороны g = 6b₁, значит

c₂=3b₁.

Имея условия f = 2a_1, g = 6b_1, c₂=3b₁, из соотношений (1.11₁) - (1.11₃), (1.12₁), (1.12₃) и (1.13₁) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:

_{2 =} , ₂ = ,

₂ = , ₃ = ,

₃ = ,(1.15)

= .

Равенства (1.12₂) и (1.13₂) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a₁, b₁, b₂:

(2ab₁-ba₁)[3(32a₁b₁b₂-15a₁²b₁-16b₁b₂²) a+(8a₁b₂²-18a₁²b₂+9a₁³) b+

24(a₁b₁²-b₁²b₂) c+(16a₁b₁b₂-15a₁²b₁) d]=0, (1.16)

(2ab₁-ba₁)[12(7a₁b₁b₂-3a₁²b₁-4b₁b₂²) a²+6(3a₁b₁²-4b₁²b₂) ac+(3a₁²b₁-

-4a₁b₁b₂) bc+2(4a₁²b₂-3a₁³)bd -8a₁b₁²cd+4a₁²b₁d²]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c₁=a₂= 0, c₂= 3b₁.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

a₂=c₁=0, c₂=3b₁. (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= x+y+, , , - постоянные:

m(ax+by+a₁x²+2b₁xy)+n(cx+dy+2b₂xy+3b₁y²)=

=(mx+ny+p)( x+y+). (1.20)

Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях x^m yⁿ, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):

(a₁-)m= 0, (1.21₁)

(2b₁-)m+(2b₂-)n=0, (1.21₂)

(3b₁-)n=0; (1.21₃)

(a-)m+cn-p=0, (1.22₁)

bm+(d-)n-p= 0, (1.22₂)

p= 0. (1.22₃)

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p0. Тогда из условия (1.22₃) получаем, что =0.

Условия (1.22₁), (1.22₂) запишутся в виде:

am+cn-p=0, (1.23₁)

bm+dn-p= 0. (1.23₂)

Из условий (1.21₁) и (1.21₃) имеем:

(a₁-)m= 0,

(3b₁-)n=0.

Пусть m0, тогда a₁-=0 и

=a₁, (1.24)

а при n0, получаем, что 3b₁-=0 и

=3b_1. (1.25)

Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.21₂) находим выражение коэффициента m:

m=, (1.26)

а соотношение (1.23₁) даст значение коэффициента p:

p=. (1.27)

Из равенства (1.23₂), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):

[3(a₁b₁-2b₁b₂) a+(2a₁b₂-a₁²) b-3b₁²c+a₁b₁d] n=0. (1.28)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c₁=a₂= 0, c₂= 3b₁.

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(2ab₁-ba₁)[3(32a₁b₁b₂-15a₁²b₁-16b₁b₂²) a+(8a₁b₂²-18a₁²b₂+9a₁³) b+

24(a₁b₁²-b₁²b₂) c+(16a₁b₁b₂-15a₁²b₁) d]=0,

(2ab₁-ba₁)[12(7a₁b₁b₂-3a₁²b₁-4b₁b₂²) a²+6(3a₁b₁²-4b₁²b₂) ac+(3a₁²b₁-

-4a₁b₁b₂) bc+2(4a₁²b₂-3a₁³)bd -8a₁b₁²cd+4a₁²b₁d²]=0,

[3(a₁b₁-2b₁b₂) a+(2a₁b₂-a₁²) b-3b₁²c+a₁b₁d] n=0.

Причем b₁0, a₁0, 2b₁a-ba₁0.

Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты

a₁=, b₁=1, b₂=0.

Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:

a-b-3c+d=0, (1.30)

-a+b+6c-d=0, (1.31)

-a²+d²+ac+bc-bd-2cd=0. (1.32)

Выразим из условия (1.30) коэффициент c

c=a-b+d, (1.33)

подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d

d=(-21a+b). (1.34)

Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

b=a.

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:

b=a,

c=-a, (1.35)

d=- a,

a₁=, b₁=1, a₂=0, c₁=0, b₂=0, c₂=3b₁=3.

Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):

₂=12a, ₂= -a,

₂=a, ₃=a²,

₃= -a²,=a³, (1.36)

m= -n, p= -an.

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:

(2.1)

Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:

x³+12ax²-axy+ay²+a²x-a²y+a³=0, (2.2)

-nx+ny-an=0. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:

8192y⁴-11776ay³+5480a²y²-825a³y=0. (2.4)

Из (2.4) получаем, что

y₀=0, y₁=a, y₂=a, y₃=a. (2.5)

Абсциссы точек покоя имеют вид:

x₀=0, x₁= -a, x₂= -a, x₃= -a. (2.6)

Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .

Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]

Отсюда

(2.7)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

==0.

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

.

Корни - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка - седло.

Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно

равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:

,

,

то есть

, .

Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a0, то точка - устойчивый узел, если a0, то точка -неустойчивый узел.

Исследуем точку .

Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:

, .

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .

Исследуем точку .

Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

,

Корни - действительные и одного знака.Следовательно точка - устойчивый узел, если a0 и неустойчивый узел, если a<0 .

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.

Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:

, (2.8)

которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.

Имеем

Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:

(2.9)

Введем новое время . Система (2.9) примет вид:

(2.10)

Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.

Получаем

(2.11)

Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем

Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N₁(0,0) N₂(0,).

Исследуем характер точек N₁, N₂.

1. Исследуем точку N₁(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N₁:

(2.12)

Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:

Получим, что

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N₁(0,0) - устойчивый узел.

2. Исследуем точку N₂(0,).

Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N₂:

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N₂(0,)-седло.

Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]

Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

(2.14)

Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:

(2.15)

При z=0, получаем:

(2.16)

Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем

Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N₃(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N₃:

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N₃(0,0) - устойчивый узел.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

Примечание: через с, у⁺, у^- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.

Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).

29

а) (a>0)

29

б) (a<0)

Рис.1

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.

Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.

Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.

Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 ? - сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N₃, а ? - сепаратрисы примыкают к точке А и N₁, а при а<0 -сепаратрисы примыкают к точке А и N₁, - сепаратрисы - к точке С и N₃.

В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 - рисунком 2б приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.

Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.

Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.

Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.

Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.

Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.

Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.

Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.

Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.

Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256

Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где P и Q - многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.

Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Поведение траекторий системы (2.1)

а) (а>0)

б) (а<0)

Рис. 2