56

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Дипломная работа специалиста

СИМФЕРОПОЛЬ

2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..4

Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6

§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6

1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11

§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13

2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15

2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20

§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26

3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26

3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28

Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P₂ ……………………………….31

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P₂ ……………………………….32

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P₂ …………………………………35

1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P₂ …………………………...39

2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45

1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45

1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46

1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном

гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

2.1. Спектр оператора А = Р₁ +Р₂ …………………………………………………52

2.2. Спектр линейной комбинации А = аР₁ + bР₂ (0<а<b) ……………………..53

Заключение………………………………………………………………………..55

Литература ………………………………………………………………………..56

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Н - гильбертово пространство, L(Н) - множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А - операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) - перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P₂

P_{2 = С < p1, p2 | p1² = p1* = p1, p2² = p2* = p2 >,}

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P₂, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления р в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P₂ . Неприводимые *-представления P₂ одномерны и двумерны:

4 одномерных: р_0,0(p₁) = 0, р_0,0(p₂) = 0; р_0,1(p₁) = 0, р_0,1(p₂) = 1;

р_1,0(p₁) = 1, р_1,0(p₂) = 0; р_1,1(p₁) = 1, р_1,1(p₂) = 1.

И двумерные: , ф (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно р подпространств Н, а также получено разложение р на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р_1, Р₂, применяется к изучению сумм Р₁+Р₂, аР₁+bР₂ (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р₁+Р₂ или А = аР₁+bР₂, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).

Глава I. Основные понятия и определения

§ 1. - алгебры

1.1. Определение - алгебры.

Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:

1) А есть линейное пространство;

2) в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:

б (x y) = (б x) y,

x (б y) = б (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z А и любых чисел б.

Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.

Определение 1.2. Пусть А - алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x ? x* алгебры А в А, что

(i) (x*)* = x;

(ii) (x + y)* = x* + y*;

(iii) (б x)* = x*;

(iv) (x y)* = y*x* для любых x, y С.

Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.

Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.

1.2. Примеры

1) На А = С отображение z ? (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.

2) Пусть Т - локально компактное пространство, А = С(Т) - алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого е > 0 множество {tT: |f (t)| е} компактно, f (t) А. Снабжая А отображением f? получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

3) Пусть Н - гильбертово пространство. А = L(H) - алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.

4) Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А?А* (АК(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.

5) Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .

Алгебра W есть *- алгебра, если положить . ()

1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию

ех = хе = х для всех хА (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А.

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если еґ - также единица в А, то

еґх = хеґ = х, для всех хА (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = еґ, а в (1.2.) х = е, получим:

ееґ = еґе = еґ и еґе = ееґ =е, следовательно еґ = е.

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры Аґ с единицей.

Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы хґ=бе + х, хА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру Аґ, в которой основные операции определяются формулами:

в(бе + х) = вбе + вх, (б₁е + х₁) + (б₂е + х₂) = (б₁ + б₂)е + (х₁ + х₂),

(б₁ е + х₁)(б₂ е+ х₂ )=б₁ б₂ е +б₁ х₂ +б₂ х₁ + х₁ х₂ (1.3.)

Каждый элемент хґ из Аґ представляется единственным образом в виде

хґ = бе + х, хА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому Аґ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм хґ = бе + х, хА, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при б = 0.

Алгебру Аґ можно также реализовать как совокупность всех пар (б, х), хА, в которой основные операции определяются по формулам:

в (б, х) = (вб, вх), (б₁, х₁) + (б₂, х₂) = (б₁ + б₂, х₁ + х₂),

(б₁, х₁)(б₂, х₂) = (б₁б₂, б₁х₂ + б₂ х₁ + х₁х₂), (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), хА и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

(б, х) = б(1, 0) + (0, х) = бе + х,

так что вторая реализация алгебры Аґ равносильна первой.

Переход от А к Аґ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим

z = (yx)z = y(xz) = ye,

В этом случае говорят, что существует обратный х^-1 элемента х.

1.4. Простейшие свойства - алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого хА элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого zC , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х₁ +iх₂, где х₁, х₂ - эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х₁ +iх₂, следовательно:

, (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х₁, х₂, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х₁ +iх₂.

Эти элементы х₁, х₂ называются эрмитовыми компонентами элемента х.

Заметим, что хх* = х₁² + х₂² + i(х₂х₁ - х₁х₂),

хх* = х₁² + х22 - i(х₂х1 - х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х₁ и х₂ перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а Аґ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив при хА, мы определим инволюцию в Аґ, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что Аґ станет *-алгеброй. Говорят, что Аґ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х^-1 существует, то (х*)^-1 также существует и

(х*)^-1 = (х^-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х^-1х = хх^-1 = е,

получим х*(х^-1)*= (х*)^-1х*=е.

Но это означает, что (х^-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А₁ алгебры А называется *-подалгеброй, если из хА₁ следует, что х*А₁ .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В - максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х^-1 существует, то х^-1В.

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х^-1 и (х*)^-1 = (х^-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х^-1В.

Определение 1.6. Элемент хА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)^-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы - комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению - унитарную группу А. Действительно, если x и y - унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)^-1 = (у*х*)^-1 =(х*)^-1 (y*)^-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х^-1)*)^-1= ((х*)^-1)^-1 = х^-1, то х^-1 унитарен.

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В - две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (бx) = б f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х,yА, бС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

(i) I ? A;

(ii) Из х, yI следует x + y I;

(iii) Из хI, а бА следует б хI.

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I - двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-yI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А₁ операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I - двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А₁ становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I.

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х > х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х > х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

Если х > хґ есть *-гомоморфизм А на Аґ, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре Аґ.

Обратно, отображение х > [х] каждого элемента хА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.

§ 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н - гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что

р (x+y) = р (x) + р (y), р (б x) = б р(x),

р (xy) = р (x) р (y), р (x*) = р (x)*

для любых х, y А и б С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью р и обозначается dimр. Пространство Н называется пространством представления р.

Определение 2.2. Два представления р₁ и р₂ инволютивной алгебры А в Н₁ и Н₂ соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н₁ в гильбертово пространство Н₂, переводящий р₁(х) в р₂(х) для любого хА, то есть

U р₁(х) = р₂(х) U для всех х А.

Определение 2.3. Представление р называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов р (х)f (для всех хА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления р.

Определение 2.4. Подпространство Н₁Н называется инвариантным, относительно представления р, если р (А)Н₁Н₁.

Если Н₁ инвариантное подпространство, то все операторы р(х) (хА) можно рассматривать как операторы Н₁. Сужения р(х) на Н₁ определяют подпредставления р₁ *-алгебры А в Н₁.

Теорема 2.1. Если Н₁ инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н₁, то есть (f, g) = 0 для всех gН₁. Тогда для любого хА (р(х)f, g) = (f, р(х)*g) = (f, р(х*)g) = 0, так как р(х*)gН₁. Следовательно, вектор р(х)f также ортогонален к Н₁.

Обозначим через Р₁ оператор проектирования в Н на подпространство Н₁Н₁.

Теорема 2.2. Н₁ - инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р₁ на Н₁.

Доказательство. Пусть Н₁ - инвариантное подпространство и fН₁, но также р(х)f Н₁. Отсюда для любого вектора fН

р(х)Р₁f Н₁

следовательно, Р₁р(х)Р₁f = р(х)Р₁f ,

то есть Р₁р(х)Р₁ = р(х)Р₁.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р₁р(х)Р₁ = Р₁р(х).

Следовательно, Р₁р(х) = р(х)Р₁; операторы Р₁ и р(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН₁

Р₁р(х)f = р(х)Р₁f = р(х)f ;

Следовательно, также р(х)f Н₁. Это означает, что Н₁ - инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f₁ + … + f_n, где f₁, …, f_n - векторы исходных подпространств. С другой стороны, р(х)h = р(х)f₁ +…+ р(х)f_n есть сумма того же вида и имеет своим пределом р(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I - произвольное множество. Пусть (р_i)_iI - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Н_{i (iI). Пусть}

|| р_i (х) || = с_х

где с_х - положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Н_{i, то есть Н = Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор р(х) в Н, который индуцирует рi (х) в каждом Нi. Тогда отображение х > р(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений рi и обозначаемое рi или р1…..рn в случае конечного семейства представлений (р1…..рn). Если (рi)iI - семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением р, и если CardI = c, то представления рi обозначается через ср. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным р.}

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f₀ ? 0 - какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов р(х)f₀, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н₁. Тогда Н₁ - инвариантное подпространство, в котором f₀ есть циклический вектор. Другими словами, Н₁ есть циклическое подпространство представления р.

Если Н₁ = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н₁ есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н₂ ортогональное Н₁.

Обозначим через М совокупность всех систем {Н_б}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н₁, Н₂}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н_б}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Н_б}. Но тогда Н=Н_б; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Н_б) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н₀ и мы получили бы систему {Н_б}Н₀М, содержащую максимальную систему {Н_б}, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление р в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление р неприводимо. При fН, f ? 0, подпространство, натянутое на векторы р(х)f , хА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

{б f | б C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть р(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление р приводимо и К - отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления р в Н.

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление р неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант р (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление р неприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами р(х). Предположим сначала, что В - эрмитов оператор; обозначим через E(л) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом л оператор E(л) перестановочен со всеми операторами р(х) ; в виду неприводимости представления E(л) =0 или E(л) =1, так как (E(л) f, f) не убывает при возрастании л, то отсюда следует, что существует л₀ такое, что E(л) =0 при л<л₀ и E(л) =1 при л>л₀ . Отсюда

В=л dE(л) = л₀ 1.

Пусть теперь В - произвольный ограниченный оператор, переста-
новочный со всеми операторами р(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами р(х). Действительно,

В*р(х) = (р(х*)В)* = (Вр(х*))* = р(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В₁=, В₂= также перестановочны со всеми операторами р(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В₁+iВ₂ кратен единице, то есть В - скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами р(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами р(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н ? Нґ такой, что Тр(х)=рґ(х)Т для любого хА, называется оператором сплетающим р и рґ.

Пусть Т : Н ? Нґ - оператор, сплетающий р и рґ. Тогда Т* : Нґ ? Н является оператором, сплетающим рґ и р, так как

Т* рґ(х) = (рґ(х)Т)* = (Тр(х*))* = р(х)Т*

Отсюда получаем, что

Т* Тр(х)=Т* рґ(х)Т= р(х)Т*Т (2.1.)

Поэтому |T| = (T*T)^1/2 перестановочен с р(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого хА

Uр(х)|T| = U|T| р(х)= Тр(х)= рґ(х)Т=рґ(х)U|T| (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

Uр(х) = рґ(х)U (2.3.)

Если, кроме того, = Нґ, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Нґ и (2.3.) доказывает что р и рґ эквивалентны.

Пусть р и рґ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Нґ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н ? Нґ. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (?0) и р, рґ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть р - конечномерное представление *-алгебры А. Тогда р = р₁…..р_n , где р_i неприводимы.

Доказательство. Если dimр = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimр = q и что наше предложение доказано при dimр<q. Если р неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае р = рґ рґґ, причем dimрґ<q, dimрґґ<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение р = р₁…..р_n не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть с₁, с₂ - два неприводимых подпредставления р. Им отвечают инвариантные подпространства Н₁ и Н₂. Пусть Р₁ и Р₂ - проекторы Н на Н₁ и Н₂. Они коммутируют с р(А). Поэтому ограничение Р₂ на Н₁ есть оператор, сплетающий с₁ и с₂. Следовательно, если Н₁ и Н₂ не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что с₁ и с₂ эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление р эквивалентно одному из р_i . Итак, перегруп-
пировав р_i , получаем, что р = н₁…..н_m, где каждое н_i есть кратное с_iн_iґ неприводимого представления н_iґ, и н_iґ попарно эквивалентны. Если с - неприводимое представление р, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Нґ ортогонально всем инвариантным подпространствам Н_i, отвечающих н_i, кроме одного. Поэтому Нґ содержится в одном из Н_i. Это доказывает, что каждое пространство Н_i определяется однозначно: Н_i - это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений р, эквивалентных н_iґ. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении р = с₁н₁ґ…..с_mн_mґ представления р, (где н₁ґ,…, н_mґ неприводимы и неэквивалентны) целые числа с_i и классы представлений н_iґ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, ШВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т₁, Т₂ - борелевские пространства. Отображение f: Т₁?Т₂ называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т₂ есть борелевское множество в Т₁.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т - борелевское пространство и м - положительная мера на Т.

Определение 2.9. м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара е = ((H(t))_tT, Г), где (H(t))_tT - семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г - множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г - векторное подпространство Н(t);

(ii) существует последовательность (х₁, х₂,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы х_n(t) образуют последовательность H(t);

(iii) для любого хГ функция t?||x(t)|| м - измерима;

(iv) пусть х - векторное поле; если для любого yГ функция t?(x(t), y(t)) м - измерима, то хГ.

Пусть е = ((H(t))_tT, Г) м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||² dм(t) < +8.

Если х, y - с интегрируем ым квадратом, то х+y и лх (лС) - тоже и функция t ?(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t)) dм(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dм(t).

Определение 2.10. Пусть е = ((H(t))_tT, Г) - измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t?S(t)x(t) измеримо, то t?S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т - борелевское пространство, м - положительная мера на Т, t?Н(t) - м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление р(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t?р(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t?р(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t?р(t)х измеримо.

Если поле представлений t?р(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор р(х)=р(t) (x) dм(t) в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н(t) dм(t).

Теорема 2.9. Отображение х>р(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, yА имеем

р(х+y) = р(t) (x+y) dм(t) = (р(t) (x) + р(t) (y)) dм(t) =р(t) (x )dм(t) +

+р(t) (y) dм(t) = р(х) +р(y)

Аналогично р(лх) = лр(х), р(хy) = р(х) р(y), р(х*)=р(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях р называется прямым интегралом р(t) и обозначается р =р(t) dм(t).

Определение 2.13. Операторное поле t>ц(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dм(t).

Пусть е = ((H(t))_tT, Г) - м-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, м₁ - мера на Т, эквивалентная м (то есть каждая из мер м₁, м абсолютно непрерывна по другой), и с(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dм(t) составляет поле t>с(t^)-1/2х(t)Н₁=Н(t) dм₁(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н₁, называемый каноническим.

Действительно,

||с(t^)-1/2х(t)dм₁(t)||² = ||х(t)||²с(t^)-1 dм₁(t) = ||х(t)||²dм₁(t) = ||х(t)||²

Теорема 2.10. Пусть Т - борелевское пространство, м - мера на Т, t?Н(t) - измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t?р(t) - измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =Н(t) dм(t) , р₁==р(t )dм(t),

Д - алгебра диагональных операторов в Н. Пусть м₁ - мера на Т, эквивалентная м,

Н₁ =Н(t) dм₁(t) , р₁ =р(t) dм₁(t),

Д₁ - алгебра диагональных операторов в Н₁. Тогда канонический изоморфизм преобразует р в р₁ и Д в Д₁.

Доказательство. Пусть с(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н₁ есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dм(t)Н в

Ux _{= с^-1/2х(t) dм1(t).}

Пусть б А. Имеем

р₁(б)Ux = р(t)(б) с^-1/2 х(t) dм₁(t) = Uр(t)(б) х(t) dм(t) = Uр(б)x,

поэтому и преобразуем р в р₁. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.

Определение 2.14. Пусть Т, Т₁ - борелевские пространства; м, м₁ - меры на Т и Т₁ соответственно; е = ((H(t))_tT, Г), Z₁ = ((H₁(t₁))_t1T1, Г), - м-измеримое и м₁-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть з: Т?Т₁ - борелевский изоморфизм, переводящий м в м₁; з-изоморфизм е на е₁ называется семейство (V(t))_tT, обладающее следующими свойствами:

(i) для любого tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н₁(з(t));

(ii) для того, чтобы поле векторов t?x(t)H(t) на Т было м-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле з(t)?V(t)х(t) Н₁(з(t)) на Т₁ было м₁-измеримо.

Отображение, переводящее поле хН =Н(t) dм(t) в поле з(t))?V(t)х(t) Н₁ = Н₁(t) dм₁(t) , есть изоморфизм Н на Н₁, обозначаемый V(t) dм(t).

Теорема 2.11. Пусть Т - борелевское пространство; м - мера на Т, t?H(t) - м- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t? р(t) - м- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =Н(t) dм(t), р ==р(t) dм(t),

Д - алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т₁, м₁, t₁?H₁(t₁), t₁? р₁(t₁), Н₁, р₁, Д₁.

Предположим, что существует:

1. N, N₁ - борелевские подмножества Т и Т₁, такие что м (N) = м (N₁) = 0;

2. борелевский изоморфизм з: TN ?TN₁, преобразует м в м₁;

3. з-изоморфизм t?V(t) поля t?Н(t) (tZN) на поле t₁?Н₁(t₁) (t₁Т₁N₁) такой, что V(t) преобразует р(t) в р₁(з(t)) для каждого t.

Тогда V =V(t)dм(t) преобразует Д в Д₁ и р в р₁.

Доказательство. Обозначим через I_t, I_t1 единичные операторы в Н(t) и Н₁(t₁). Если fL⁸(T, м) и если f₁ - функция на Т₁N₁, получаемая из f|(TN) при помощи з, то V преобразует f(t)I_t dм(t) в f₁(t₁) I_t1 dм₁(t₁), поэтому V преоб-
разует Д в Д₁. С другой стороны, пусть бА и х = х(t) dм(t)Н.

Тогда

Vр(б)х = Vр(t)(б) х(t) dм(t) = V(з^-1(t₁)) р(з^-1(t₁))(б) х(з^-1(t₁)) dм₁(t₁) = р₁(t₁)(б) V(з^-1(t₁)) х(з^-1(t₁)) dм₁(t₁) = р₁ (б) V х

Поэтому V преобразует р в р₁.

Приведем примеры прямых интегралов.

1. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера м на N, то есть м(n)=1 для любого nN. Тогда

Н(n) dм(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.

2. Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L₂ (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt ?х(t)L₂ (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Н_к.

Образуем формальное произведение

(3.1.)

б = (б₁,…, б_n) (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н₁,…, Н_n и обозначается Н₁,…, Н_n = . Его векторы имеют вид:

f = (f_бC), || f ||² =< 8 (3.2.)

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой

(f, g) = (3.3.)

Пусть f^(k) = (к = 1,…, n) - некоторые векторы. По определению

f = f⁽¹⁾_… f⁽ⁿ⁾ = (3.4.)

Коэффициенты f_б = разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || = (3.5.)

Функция Н₁,…, Н_n <> линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н₁,…, Н_n и обозначается б.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н₁ и Н₂ - гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f_{1 f2, причем считается, что}

(f_{1 + g1) f2 = f1 f2 + g1 f2 (3.6.)}

f_{1 (f2 + g2) = f1 f2 + f1 g2 (3.7.)}

(л f_{1) f2=л (f1 f2) (3.8.)}

f_{1 л (f2) = л (f1 f2) (3.9.)}

f_{1, g1Н1; f2, g2 Н2; л С.}

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) - (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f_{1 f2 , g1 g2 ) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.)}

f_{1, g1Н1; f2, g2 Н2,}

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть , - две последовательности гильбер-
товых пространств, - последовательность операторов А_кL(Н_к, G_к). Определим тензорное произведение А₁ …А_n = А_к формулой

() f = () = (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор L (, ), причем

|| || = || || (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н₁,…, Н_n = (Н₁,…, Н_n-1)Н_n общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в G_к (к = 1, 2) и пусть g = G₁ G₂. В качестве f возьмем вектор из Н₁ Н₂ с конечным числом отличных от нуля координат f_б.

Зафиксируем б₂, в₁ Z₊ и обозначим через f(б₂) Н₁ вектор f(б₂) = и через g(в₁)G₂ - вектор g(в₁) =. Получим

= =

= = =

= = =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G₁G₂ ряда уже при произвольном c Н₁Н₂ и оценка его нормы в G₁G₂ сверху через ||A₁|| ||A₂|| ||f||. Таким образом, оператор A₁ A₂: Н₁ Н₂ ?G₁G₂ определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A₁|| ||A₂||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A₁ A₂) (f_{1 f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2|| (fк Нк , к = 1, 2)}

Подбирая должным образом орты f_{1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому неравенство ||(A1 A2)|| = ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.}

Из (3.11.) получаем для А_к L(H_к, G_к), В_к L(H_к, G_к) (к = 1,…, n) соотношения

(В_к) (А_к) = (В_к А_к) (3.13.)

(А_к)* = А_к* (3.14)

(А_к) (f_{1 … fn) = A1 f1… An fn (3.15.)}

(f_{к Hк; к = 1,…, n)}

(3.15) однозначно определяет оператор А_к.

Приведем пример. Пусть H_к = L²((0,1), d (m_{к)) = L²}

Действительно, вектору вида (3.1.) поставим в соответствие функцию L². Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L², поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L².

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

1.1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P₂

P₂ = С < р₁, р₂ | р₁² = р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p₁ - 1, v = 2p₂ - 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u² = (2p₁ - 1)² = 4p₁ - 4p₁ + 1 = 1, v² = 1. Таким образом u, v - унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P₂ можно задать иначе:

P₂ = С < p₁*= p₁, p₂*=p₂ | p₁² = p₁, p₂² = p₂ > = C <u* = u, v* = v | u² = 1, v² =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P₂ , с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P₂ . Пусть р: P₂ ?L(H) - *-представление *-алгебры P₂ . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim р = 1.

P₂ = С < р₁, р₂ | р₁² = р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

Обозначим через Р_к = р(р_к), к = 1,2. Поскольку р_к²= р_к* = р_к (к = 1, 2) и р - *-представление, то Р_к² = Р_к* = Р_к (к =1, 2) - ортопроекторы в Н на подпространстве Н_к = {yH | Р_к y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

1. Н₁ = Н₂ = {0}; тогда Р₁ = 0, Р₂ = 0.

2. Н₁ = Н (то есть dim H₁ =1), Н₂ = {0}, тогда Р₁ = 1, Р₂ = 0.

3. Н₁ = {0}, Н₂ = Н (то есть dim H₂ =1), тогда Р₁ = 0, Р₂ = 1.

4. Н₁ = Н₂ = Н (dim H₁ = dim H₂ =1), тогда Р₁ = 1, Р₂ = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P₂, причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P_{2 .} Обозначим через Н_к область значений оператора Р_к при к = 1,2. Пусть Н_к^- - ортогональное дополнение подпространства Н_к (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H₁Н₁^- , Н=H₂Н₂^-

Введем дополнительные обозначения :

Н_0,0 = Н₁^- ?Н₂^-, Н_0,1 = Н₁^- ?Н₂, Н_1,0 = Н₁ ?Н₂^-, Н_1,1 = Н₁ ?Н₂. (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что H_ij нетривиально, то есть dim H_ij =1. Пусть, например, dim Н_1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н_1,0 = л.о. {h}, но тогда P₁h = h, P₂h = 0; следовательно Н_1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление р не может быть неприводимым.

Будем считать, что H_ij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть H_ij линейно независимы) и dim H₁ = dim H₂ =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e₁, e₂} и {g₁, g₂}, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид . Найдем матрицу оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂}.

Пусть g₁ = a₁₁e₁ + a₁₂ e₂

g₂ = a₂₁e₁ + a₂₂e₂

e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂

e₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂

Рассмотрим векторы h₁ = e^ite₁ и h₂ = e^ile₂, тогда

|| h₁ || = || e^ite₁ || = || e₁ || = 1, || h₂ || = || e^ile₂ || = || e₂ || = 1

(h₁ ,h₂ ) = (e^ite₁ , e^ile₂) = e^i(t-l)(e₁, e₂ ) = 0, то есть {h₁ ,h₂} - ортонормированный базис.

Р₁h₁ =e^{i t} Р₁ e₁ = h₁, Р₁h₂ =e^il Р₁ e₂ = 0.

Значит в базисе {h₁ ,h₂} матрица оператора Р₁ также имеет вид . Тогда можно считать, что a₁₁, a₁₂ > 0 (так как, например, a₁₁ e₁=|a₁₁| e^ite₁ =|a₁₁| h₁)

(e₁, e₂ ) = 0, значит a₁₁ a₂₁ = a₁₂ a₂₂ = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что

a₂₂ = - ra₁₁

a₂₁ = ra₁₂

Базис (e₁, e₂ ) ортонормированный; следовательно

a₁₁² + a₁₂² = 1

|a₂₂ |² + |a₂₁ |² = 0

тогда | r | = 1.

Р₂ e₁ = Р₂ ( b₁₁g₁ + b₁₂g₂) = b₁₁g₁ = b₁₁a₁₁e₁ + b₁₁a₁₂e₂,

Р₂ e₂ = Р₂ ( b₂₁g₁ + b₂₂g₂) = b₂₁g₁ = b₂₁a₁₁e₁ + b₂₁a₁₂e₂.

Найдем b₁₁ и b₂₁:

e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂ = b₁₁ (a₁₁e₁ + a₁₂ e₂) + b₁₂ (a₂₁e₁ + a₂₂e₂) = (b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂)e₁ + (b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂)e₂,

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂ = 1

b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂ = 0 или

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂ r = 1

b₁₁a₁₂ - b₁₂a₁₁ r = 0,

Тогда b₁₁ = a₁₁.

Аналогично

E₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂ = (b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁)e₁ + (b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂)e₂,

b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁= 0

b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂ = 1,

отсюда находим, что b₂₁ = a₁₂.

Тогда матрица оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂ } будет иметь вид (обозначим ее также через Р₂)

Р₂ = , где a₁₁>0, a₁₂>0 и a₁₁² + a₁₂² =1

А) Пусть a₁₁² = ф, тогда a₁₂² =1 - ф, a₁₁a₁₂ = . Так как a₁₁a₁₂ >0, то ф(0, 1).

Тогда Р₂ = .

В) Положим a₁₁ = cosц,тогда a₁₂ = sinц и Р₂ запишется следующим образом

Р₂ = .

Найдем коммутант р(P₂). Пусть Т = оператор перестановочный с Р₁ и Р₂, тогда

ТР₁ = =

Р₁Т = =

Следовательно b = c = 0.

ТР₂ = =

Р₂Т = =

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление р неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть ф, н(0, 1), ф ? н. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР₁ = Р₁U, следовательно U= , a, b C

UР₂ (ф) = =

Р₂ (н) U = = .

Тогда ф = н, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть р: P₂ ?L(H) - *-представление *-алгебры P₂ .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: р_0,0(p₁) = 0; р_0,0(p₂) = 0; р_1,0(p₁) = 1; р_1,0(p₂) = 0; р_0,1(p₁) = 0; р_0,1(p₂) = 1; р_1,1(p₁) = 1; р_1,1(p₂) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: р(p₁) , р(p₂) ф (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить р(p₂) = ц (0, ).

1.4. n - мерные *-представления *-алгебры P₂ . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН₁, dimН₁^-) + max (dimН₂, dimН₂^-) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Н_i,j ? {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления р, но тогда р приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН₁ = n, dimН₂ = n и Н_i,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Н_i,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление р окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ? 0, хН₁ такой, что Р₁Р₂х = лх, где лС.

Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид , где I - единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как хН₁, то , g_k C, к = 1,…, n. Тогда

Р₁Р₂х = Р₁Р₂= Р₁Р₂= Р₁=

= Р₁= = () =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q₁,…, q_n:

=

j = 1,…, n

Подбирая лC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q₁,…, q_n. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р₂х} - инвариантное подпространство в Н относительно Р₁ и Р₂.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем

Р₁ (aх + bР₂х) = aх + лbх = (a + лb) х L,

Р₂ (aх + bР₂х) = aР₂х + bР₂х = (a + b) Р₂ х L

dimL = 2, так как Н_i,j = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР₂х = 0, где, например, а ? 0, то х = Р₂х, значит = 0 или 1 и х Н_1,1; тогда Н_1,1?{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P₂ . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления р *-алгебры P₂, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно р.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р₁ и Р₂ подпространств

Н = Н_0,0Н_0,1Н_1,0Н_1,1 ((С²Н_к)), (1.1.)

где каждому подпространству Н_к соответствует одно ц_к (0, ), ц_к ? ц_i при к?i, dimН_к = n_к (к = 1,…, m). Пусть Р_i,j: Н ? Н_i,j , Рц_к: Н ? С²Н_к - ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0 P_1,1(Рц_{к), (1.2.)}

P₁ = P_1,0P_1,1((I_к )) (1.3)

Р₂ = P_0,1 P_1,1 (I_к )) (1.4)

где I_к - единичный оператор на Н_к (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimН_i,j = n_i,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 Нґ, где dimНґ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Нґ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром ц_к (0, ):

Нґ = Нц_к, (l = n - )

Собирая вместе все Нц_к, у которых одно ц_к, получим изоморфизм

Нц_к…Нц_к ? С²Н_к , где Нц_к n_к экземпляров, dim(Нц_к…Нц_к )=2n_к dim(С²Н_к) = dimС² dimН_к = 2n_к . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 ((С²Н_к))

Пусть р_i,j - сужение р на Н_i,j ( i, j= 0,1), р_к - сужение р на Нц_к (к = 1,…, m), то есть р_i,j и р_к - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

р = n_0,0р_0,0n_0,1р_0,1n_1,0р_1,0n_1,1р_1,1(n_кр_к) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0 P_1,1 (Рц_к)

Тогда ортопроекторы Р₁ и Р₂ примут вид

P₁ = P_1,0 P_1,1 ((I_к ))

Р₂ = P_0,1 P_1,1 ( I_к ))

Причем n_1,0р_1,0(р₁) = P_1,0 , n_0,1р_0,1(p₂) = P_0,1 , n_1,1р_1,1(р₁) = P_1,1 , n_0,0р_0,0(p₂) = P_0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р₁ и Р₂ также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P₂ . Пусть А = Р₁ - Р₁^- = 2Р₁ - I и В = Р₂ - Р₂^- = 2Р₂ - I. Тогда А² = I , В² = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U^-1=ВА и А^-1UА = АUА = А²ВА = ВА = U^-1, следовательно

UА = АU^-1 или АU = U^-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В - приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р₁ и Р₂ неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р₁ и Р₂ приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р₁LL, Р₂LL. Рассмотрим АL = (2Р₁ - I)LL, ВL = (2Р₂ - I)LL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р₁ и Р₂ также будут приводимы, так как Р₁L = LL, Р₂L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если e^iц(U), то e^-iц(U).

Доказательство.

1) Если e^iц принадлежит точечному спектру оператора U, то существует fН: ||f|| = 1 и Uf = e^iц f. Тогда по (2.1.) UАf = АU^-1f = e^iцАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e^-iц принадлежит спектру U.

2) Если e^iц(U), то существует последовательность единичных векторов в Н || f_n || = 1 такая, что

||Uf_n - e^iцf_n || = || UАf_n - e^iц A f_n || = || U^-1Аf_n - e^iц A f_n || ? 0 при n ? ? (|| Аf_n || =1)

Тогда e^iц(U^-1), следовательно e^-iц(U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U^-1) = АU + АU^-1 = (U^-1 +U)А

А (U - U^-1) = А (U² - 2I + U^-2) = (U² - 2I + U^-2)А = (U - U^-1)²А

Таким образом А (U + U^-1) = (U^-1 +U)А (2.2.)

А (U - U^-1) = (U - U^-1)²А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U^-1 = cI

(U - U^-1)² = d²I

где c, d С. По теореме преобразования спектров e^iц+ e^-iц = c, e^iц- e^-iц = ±d.

1) Если d = 0, то (U) состоит из одной точки e^iц, где ц=0 или ц=р, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, хH.

2) Если d ? 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек e^iц= и e^-iц= ц(0, р)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению e^iц (или e^-iц), Н_eiц = {fH | Uf = e^iцf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = e^iцf, U(Аf) = e^iц Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimН_eiц= dimН_-eiц=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {e^iц, e^-iц} ц(0, р) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = , U = , В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р₁, Р₂ ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0Н_0,1Н_1,0 Н_1,1 ((С²L₂((0, ), dс_к))) (2.4.)

где с₁ > с₂ >… с_к меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P₁ = P_1,0 P_1,1 ((I_к )) (2.5.)

Р₂ = P_0,1 P_1,1 (I_к )) (2.6.)

I_к - единичный оператор в L₂((0, ), dс_к)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 Нґ, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Нґ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P₂ отвечает циклическое представление р_F *-алгебры P₂ в некотором гильбертовом пространстве Н_F. При этом Н_F можно реализовать как L₂(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере м_F на Т.

Пусть каждому вектору оН поставим в соответствие подпространство Н_о Н, которое получается замыканием множества векторов вида р(х)о, где хА. Ограничения операторов из р(А) на Н_о является циклическим представлением. Обозначим его через р_о, а соответствующую меру на Т через м_о. Введем упорядочение в Н, полагая о>з, если м_о > м_з (то есть м_з абсолютно непрерывна по мере м_о).

Если зН_о, то Н_зН_о, тогда р_з - циклическое подпредставление р_о. Пусть Е Т и м_о (Е) = 0, тогда м_з (Е) = 0, следовательно м_о > м_з, а значит о>з.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Нз_к. Пусть {ж_i} - последовательность, в которой каждый из векторов з_i встречается бесконечное число раз. Определим о_к индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

1) о_к+1 - максимальный вектор в (Но_i)^-,

2) d (ж_к, Но_i) = .

Тогда разложение Н = Но_к такое что о_к>о_к+1 и м_к>м_к+1 .

Пусть представления р_м в L₂(Т, м) и р_н в L₂(Т, н) эквивалентны. Пусть v:L₂(Т, м) >L₂(Т, н) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vр_м(g)f = р_н (g)vf = р_н (g)a = ga. Так как v - изометрическое отображение, то dм=|a|²dн. Таким образом мера м абсолютно непрерывна по мере н. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что н абсолютно непрерывна по м, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Нґ = (С²L₂(Т, м_к)), где м₁>м₂>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P₁ = P_1,0 P_1,1 ((I_к ))

Р₂ = P_0,1 P_1,1 (I_к ))

I_к - единичный оператор в L₂((0, ), dс_к).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0Н_0,1Н_1,0 Н_1,1 С²Н(ц)dЕ(ц) (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р₁, Р₂ подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(ц) единичного оператора I₊=E(0, ) в Н₊ =С²Н(ц)dЕ(ц), такое что имеет место равенство

P₁ = P_1,0 P_1,1 I₊ (2.8.)

Р₂ = P_0,1 P_1,1 dЕ(ц) (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L₂(R, dс_к), где с_к зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н - гильбертово пространство. Если Р - ортопроектор, то (Р) = _р (Р) = {0, 1}, где _р (Р) - точечный спектр при условии, что Р ? 0 и Р ? I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - лх = y, х, y Н, л С. Тогда (1 - л) Р_х = Р_y . Если л ? 1, то Р_х = Р_y. Если х ? 1, то х = (Р_y - y), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р ? 0 и Р ? I, то существует х ? 0 такой, что Р_х ? 0. Тогда Р(Р_х) = Р_х, то есть 1_р (Р). Существует y ? 0: (I - Р)y ? 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0 _р (Р). Итак, (Р) = _р (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р₁ и Р₂ в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р₁ + Р₂ в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Н_к - область значений оператора Р_к к = 1,2. Обозначим через А = Р₁ + Р₂ и найдем (А).

1) Р₁ = Р₂ = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 (А).

2) Р₁ = 0, Р₂ = I, то для любого х Н₂ = Н Ах = х, то есть 1 (А).

3) Р₁ = I, Р₂ = 0, то для любого х Н₁ = Н Ах = х.

4) Р₁ = Р₂ = I, то для любого х Н₁ = Н₂ = Н Ах = Р₁х + Р₂х = 2х, то есть 2 (А).

Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х Н_0,0 , тогда Ах = 0 и 0 (А).

2) х Н_0,1 или х Н_1,0 , тогда Ах = х и 1 (А).

3) х Н_1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2 (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Н_i,j ? {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Н_i,j Н_k,l = H. В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Н_k,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р₁ и Р₂, тогда АLL. Пусть х L, тогда Р_kх = л_кх (k = 1, 2 ). Так как Р_k ортопроектор, то возможны случаи:

(i) л₁ = 0, л₂ = 0;

(ii) л₁ = 0, л₂ = 1;

(iii) л₁ = 1, л₂ = 0;

(iv) л₁ = 1, л₂ = 1;

Но это означает, что k,l = 0,1 такие, что Н_k,l ? {0} вопреки предположению. Тогда пара Р₁, Р₂ неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р₁ и Р₂ в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р₁ = , Р₂ ф (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР₁ + bР₂, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР₁ + bР₂ - лI) = 0.

(1.1.)

Тогда , (1.2)

Положим a = 1, b =1, е = , тогда л₁ = 1+е , л₂ = 1-е и 0<е<1 (поскольку 0<ф<1.

Тогда (А) {0, 1, 2}{1+е , 1-е}. Причем собственные значения 1+е и 1-е входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =КL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть л (А), тогда Ах = лх =лk +лl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н₀ = Н_0,0, Н₁=Н_0,1Н_1,0, Н₂=Н_1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нц_к ц_к (0, ), (к = 1,…, s). При этом операторы Р₁ и Р₂ неприводимы в Нц_к (к = 1,…, s), и собственные значения 1+е_к, 1-е_к входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Нц_к = Н_1+ек Н_1-ек , причем dimН_1+ек = dimН_1-ек = 1 (1.3)

Если ц_к ? ц_i, то е_к ? е_i (так как е_к = =cosц_к и ц_к (0, )). Объединим все Нц_к , у которых одинаковые ц_к , в одно слагаемое, и обозначим его через Нц_к. При этом, если dimНц_к = 2q_k, то есть Нц_к состоит из q_k экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному ц_к , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нц_к = Н_1+ек Н_1-ек , dimН_1+ек = dimН_1-ек = q_k.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ и Р₂ тогда и только тогда, когда

(А) {0, 1, 2}({1+е , 1-е}), 0<е_к<1,

причем dimН_1+ек = dimН_1-ек к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р₁ и Р₂, тогда его спектр был найден выше:

(А) {0, 1, 2}({1+е , 1-е}), где 0<е_к<1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН_1+ек = dimН_1-ек . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н₍₀₎ Н₍₁₎ Н₍₂₎ ((С²Н_к)) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н₍₀₎ Н₍₁₎ Н₍₂₎ ((С²(Н_1+ек Н_1-ек ))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P_Н2((I_к )) (1.6.)

Р₂ = P_Н1 P_Н2 ( I_к )) (1.7.)

где P_Нк - ортопроектор в Н на Н_(к) (к = 1, 2), I_s - единичный оператор в H_s s=1,…, m. Но тогда

Р₁ + Р₂ = P_Н1 P_Н2 ( I_к )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует л₁ + л₂ = a + b. Пусть л₂ = е, тогда л₁ = a + b - е.

Оценим е. Заметим, что (a +b)² - 4ab(1-ф) = (a - b)² + 4abф > 0.

Тогда е = > = 0, то есть е = 0.

Допустим, что е = a , тогда

a =

= b - a

(b - a)² +4abф = (b - a)²

abф ? 0, но abф > 0 и значит е < a

Итак,

л₁ = е

л₂ = a + b - е. (1.8.)

0 < е < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР₁ + bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда

(А) {0, a, b, a + b}({е_к , a + b - е_к}), 0<е_к<1, и

dimН_ек = dimН_a+b-ек (Н_ек , Н_a+b-ек - собственные подпространства оператора А, отвечающие е_к) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР₁ + bР₂, 0<a<b. Найдем (А).

1) х Н_0,0, то Ах = 0 и 0(А);

2) х Н_0,1 , то Ах = bx и b(А);

3) х Н_1,0 , то Ах = ax и a(А);

4) х Н_1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b(А).

Тогда (А) {0, a, b, a + b}({е_к , a + b - е_к}), где 0<е_к<1, к=1,…m. Причем числа е_к, a + b - е_к входят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному е_к также инвариантна относительно А и dimН_ек = dimН_a+b-ек = q_k. (с учетом кратности е_к)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н₍₀₎ Н_(a) Н_(b)Н_(a+b) ((С²Н_к)) (1.9.)

Где Н₍₀₎=Н_0,0 , Н_(a) =Н_1,0 , Н_(b)=Н_0,1 , Н_(a+b)=Н_1,1 или

Н = Н₍₀₎ Н_(a) Н_(b)Н_(a+b) ((Н_ек Н_a+b-ек) (1.10.)

Положим

P₁ = P_aP_a+b ((I_к )) (1.11.)

Р₂ = P_b P_a+b ( I_к )) (1.12.)

Но тогда

aР₁ + bР₂ = aP_abP_b (а+b)P_a+b (a(I_к ))

(bI_к )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}({е_к , a + b - е_к}), (0<е_к<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р₁ + Р₂. Изучим оператор Р₁ + Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ + Р₂ тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀ Н₁ Н₂ ((С²L₂((0, ), dс_к))) (2.1.)

и меры с_к инвариантны относительно преобразования 1+х ? 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р₁ + Р₂. Н₀=Н_0,0 , Н₁=Н_1,0Н_0,1 , Н₂=Н_1,1

Поставим в соответствие ц>е cosц, где ц (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А) [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н₀ Н₁ Н₂ ((С²L₂((0, 2), dс_к)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+е , 1-е, 0<е<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера с_к (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х ? 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р₁ґ Р₂ґ равенствами

Р₁ґ = P₁P₂((I_к ))

Р₂ґ = P₂ ( I_к ))

где P_i: Н?Н_i (i = 0, 1, 2) ортопроектор, I_k - единичный оператор в L₂((0, 2), dс_к)). Тогда А =Р₁ґ + Р₂ґ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Р_кґ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = aР₁ + bР₂ (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР₁ + bР₂ (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР₁ + bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда (А) [0, a] [b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀ Н_a Н_bН_a+b ((С²L₂([0, a] [b, a+b], dс_к)))) (2.2.)

и меры с_к инвариантны относительно преобразования х>a+b.

Доказательство. Пусть А = aР₁ + bР₂ (0<a<b). Пусть Н₀=Н_0,0, Н_а=Н_0,1, Н_b=Н_1,0 , Н_a+b=Н_1,1. Так как (А) [0, a] [b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н₀ Н_a Н_bН_a+b ((С²L₂([0, a] [b, a+b], dс_к))))

где меры с_к (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х > a+b-х.

Обратно, пусть (А) [0, a] [b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P_aP_a+b ((I_к ))

Р₂ = P_b P_a+b ( I_к ))

где Р_б: Н?Н_б , б = a, b, a+b - ортопроекторы, I_к - единичный оператор в L₂([0,a] [b, a+b]). Тогда

А = aР₁ + bР₂ = aР₁ bР₂(a+b)P_a+b ((I_к ))

( I_к ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P₂ .

P₂ = С <p₁, p₂ | p_к² = p_к* =p_к>.

А именно: 4 одномерных р_0,0(p₁) = 0, р_0,0(p₂) = 0; р_0,1(p₁) = 0, р_0,1(p₂) = 1; р_1,0(p₁) = 1, р_1,0(p₂) = 0; р_1,1(p₁) = 1, р_1,1(p₂) = 1.

И двумерные: , ф (0, 1)

Изучен спектр операторов Р₁ + Р₂, aР₁ + bР₂ (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р₁ + Р₂ и А = aР₁ + bР₂ (0<a<b).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

2. Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.