Композиции преобразований

19

Оглавление

Предисловие 3

Введение 4

§1. Композиции движений пространства. 4

1.1. Основные композиции движений пространства. 4

1.2. Композиции центральных симметрий пространства. 9

1.3. Композиция зеркальной и центральной

симметрий пространства. 11

1.4. Композиции осевых симметрий пространства. 12

1.5. Применение композиций движений

пространства к решению задач. 16

§2. Композиции подобий и аффинных преобразований

пространства 18

Литература 22

Предисловие

Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.

Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3].

В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.

Введение

Пусть f и g - два преобразования множества X такие, что f(x)=y, g(y)=z для произвольного xX, конечно, yX и zX. Отображение определим законом (x)=g(f(x)). Тогда отображение является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований f и g. В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: = g?f.

Композиции преобразований обладают следующими свойствами:

1. Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f, g, h данного множества имеет место равенство:

h?(g?f)=(h?g)?f.

2. Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.

В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.

§1. Композиции движений пространства

1.1. Основные композиции движений пространства

Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.

Задача 1. Найти композицию поворота R_{l и переноса пространства при условии, что вектор и ось поворота l не параллельны.}

Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:

R_{l = Sb?Sa , где al, bl, (a, b)= (здесь и дальше будут рассматриваться ориентированные углы), abl=O и =Sv?Su , где u¦v, u. Пользуясь имеющимся произволом в выборе осей симметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда ?Rl=Sv?Su?Sb?Sa=Sv?Sa . Если вектор не ортогонален оси l, то прямые a и v скрещиваются, и угол между ними равен углу между a и b, т.е. равен . Композиция Sv?Sa есть винтовое движение с осью m, являющейся общим перпендикуляром прямых a и v, и вектором 2, где P=am, Q=vm, m¦l. Итак,}

?R_{l =?Rl , m¦l.}

Если l, прямые a и v пересекаются, поэтому =, и искомая композиция является поворотом R_{m . Если при этом =, то имеем, что ?Rl = Sm, l, m¦l.}

Рис. 1

Задача 2. Найти композицию двух поворотов пространства R_b?Ra.

Решение. Сначала найдём композицию R_{b?Ra двух поворотов, оси которых скрещиваются. Построим общий перпендикуляр h прямых a и b и представим заданные повороты композициями осевых симметрий:}

R_{a=Sh?Su , Rb=Sv?Sh , ua, ub, uha=A, vhb=B,}

(u, h)=, (h, v)= (рис. 2). Тогда

R_{b?Ra=Sv?Sh?Sh?Su=Sv?Su. Оси u и v скрещиваются, если бы они принадлежали одной плоскости, то прямые a и b, перпендикулярные этой плоскости, были бы параллельны. При таком расположении осей полученная композиция симметрий Sv?Su есть винтовое движение, осью которого является общий перпендикуляр l прямых u и v, угол =2(u, v), а вектор =2, где P=ul, Q=vl.}

Рис. 2

Угол винтового движения можно вычислить через углы и данных поворотов и угол =. По теореме косинусов для трехгранного угла с вершиной B, ребрами которого являются лучи h, u, v, справедливо следующее равенство:

cos = - coscos - sin sin cos (доказательство данной формулы можно найти в [4], с. 26).

Рассмотрим случай, когда оси a и b пересекаются (в точке B). Тогда прямые u и v также будут пересекаться в точке B, и u совпадет с прямой u. Искомая композиция R_{b?Ra есть поворот Rl, причем угол этого поворота подсчитывается по указанной выше формуле. При a¦b и +2 прямые u и v пересекаются в точке O. И рассматриваемая композиция Rb?Ra есть поворот Rl⁺, ось l которого проходит через точку O параллельно прямым a и b.}

При a¦b и +=2 будет u¦v. В этом случае композиция поворотов является переносом.

Задача 3. Найти композицию трех зеркальных симметрий.

Решение. Выделим случай, когда композиция трех зеркальных симметрий является зеркальной симметрией, S_{?S?S=S . Это равенство эквивалентно равенству S?S=S?S . Если плоскости и имеют общую прямую l, то S?S=Rl и поэтому S?S=Rl. Следовательно, все четыре плоскости имеют общую прямую l. Если же плоскости и параллельны, то S?S= и S?S=. Следовательно, все четыре плоскости параллельны.}

Нетрудно доказать обратное. Таким образом, если плоскости зеркальных симметрий пересекаются по одной прямой или параллельны, то их композиция является зеркальной симметрией, плоскость которой соответственно содержит прямую пересечения или параллельна плоскостям, исходных симметрий.

Пусть плоскости , , имеют единственную общую точку O. В этом случае она является единственной неподвижной точкой композиции этих симметрий (предположение о существовании другой неподвижной точки приводит к предыдущему случаю). Следовательно, композиция f=S_{?S?S есть поворотная симметрия. Найдем ее компоненты: плоскость, ось и угол поворота. Обозначим прямые пересечения плоскостей следующим образом: =a, =b, =c (рис. 3).}

Пусть f(c)=c_{1, тогда прямые c и c1 симметричны относительно плоскости , и S(a)=a0, тогда f(a0)=a. Поскольку плоскость поворотной симметрии f делит каждый отрезок, соединяющий соответственные точки, пополам, то ей принадлежат ортогональные проекции m и n прямых a и c соответственно на плоскости и . Итак, есть плоскость, проходящая через прямые m и n. Ось l поворота есть перпендикуляр к плоскости в точке O, угол поворота равен углу между ортогональными проекциями a0 и a (или c и c1) на плоскость .}

Рис. 3

Если плоскости , , попарно перпендикулярны, то искомая композиция является центральной симметрией Z_o.

Рассмотрим случай, когда плоскости , , исходных симметрий попарно пересекаются по параллельным прямым, т.е. a¦b¦c. Тогда в каждой плоскости, перпендикулярной этим прямым, композиция f=S_{?S?S индуцирует композицию осевых симметрий относительно прямых пересечения этой плоскости с плоскостями , , . А она является переносной симметрией рассматриваемой плоскости с определенными осью l и вектором . Поэтому, учитывая род композиции, композиция f есть переносная симметрия пространства с вектором и плоскостью, проходящей через прямую l параллельно прямым a, b, c.}

1.2. Композиции центральных симметрий пространства

Задача 4. Найти композицию: а) двух центральных симметрий пространства, б) центральной симметрии и переноса, в) трёх центральных симметрий пространства.

Решение. а) Найдём композицию центральных симметрий пространства с центрами A и B. Для этого найдём образ произвольной точки M после применения композиции Z_B?ZA:

(Z_{B?ZA)(M)=P (рис. 4).}

Рис. 4

Для треугольника MNP имеет место равенство: =2. Точки A и B заданы, следовательно, вектор - постоянный, и искомая композиция двух центральных симметрий Z_{B?ZA есть параллельный перенос на вектор 2:}

Z_{B?ZA=. (1)}

б) Найдем композицию центральной симметрии Z_{O и переноса в пространстве. Представим перенос как композицию двух центральных симметрий: =ZB?ZO, где =. Следовательно, ?ZO=(ZB?ZO)?ZO . Это равенство эквивалентно равенству:}

?Z_{O=ZB . (2)}

Таким образом, композиция центральной симметрии Z_{O и переноса есть центральная симметрия ZO , центр которой определяется условием =.}

в) Найдем композицию трех центральных симметрий пространства f=Z_{C?ZB?ZA . Композицию ZC?ZB представим в виде переноса в соответствии с выводом (1): ZC?ZB=. Тогда искомая композиция будет иметь следующий вид: f=?ZA. Воспользовавшись выводом (2), заметим, что правая часть равенства есть центральная симметрия ZO , центр О которой определяется условием =. Таким образом, композиция трех центральных симметрий пространства является центральной симметрией.}

Пользуясь ассоциативностью композиции и выводами, полученными ранее, обобщим:

1) композиция четного числа центральных симметрий пространства является переносом;

2) композиция нечетного числа центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Задача 5. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно последовательно взятых вершин параллелограмма ABCD.

Решение. Требуется найти композицию f=Z_{D?ZC?ZB?ZA (рис. 5).}

Рис. 5

Сгруппируем элементы композиции «удобным» образом и воспользуемся выводом (1) предыдущей задачи:

f=(Z_{D?ZC)?(ZB?ZA)=?. Векторы и являются противоположными, поскольку ABCD есть параллелограмм, следовательно искомая композиция является тождественным преобразованием E.}

Обобщим эту задачу на случай четырех произвольных точек.

Задача 6. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно четырех произвольных точек.

Решение. Требуется найти композицию f=Z_{E?ZC?ZB?ZA (рис. 6). Воспользуемся результатом предыдущей задачи, для этого построим, например, в плоскости BCD точку D такую, что четырехугольник BCED является параллелограммом.}

Рис. 6

Тогда равенству f=Z_{E?ZC?ZB?ZA эквивалентно равенство f=ZD?ZD?ZE?ZC?ZB?ZA. Композиция ZD?ZE?ZC?ZB есть тождественное преобразование, т.к. BCED - параллелограмм. И искомая композиция имеет вид f=ZD?ZA , а это перенос пространства (согласно выводу (1) ).}

1.3. Композиции зеркальной и центральной симметрий

Задача 7. Найти композицию зеркальной и центральной симметрий, если плоскость первой не содержит центр второй.

Решение. Пусть даны плоскость и точка О, не принадлежащая ей. Найдем композицию Z_{O?S. Центральная симметрия ZO как частный случай поворотной симметрии представима композицией осевой и зеркальной симметрии: ZO=Sl?S , где l и - перпендикулярные прямая и плоскость, причем l=O. Выберем плоскость таким образом, что ¦ , тогда l будет являться перпендикуляром и к плоскости (рис. 7). Тогда ZO?S=Sl?S?S . В силу того, что плоскости и параллельны, их композиция есть параллельный перенос , при этом ¦l . А это по определению есть винтовое движение с осью l, углом 180, вектором .}

Рис. 7 Рис. 8

Итак, композиция зеркальной и центральной симметрий есть винтовое движение: Z_{O?S= Sl?. (3)}

Задача 8. Найти композицию Z_{O?S?Sl , если прямая l параллельна плоскости и точка О лежит в .}

Решение. На основании (3) композиция Z_{O?S в общем случае есть винтовое движение. В силу того, что О, вектор винтового движения будет нулевым, и само винтовое движение выродится в осевую симметрию Sa , где a и Oa (рис. 8). Тогда ZO?S?Sl=Sa?Sl, причем al.}

Если прямые a и l скрещиваются, то искомая композиция является винтовым движением R_{h?, угол которого равен 2(a, l)=, ось h - общий перпендикуляр прямых a и l, вектор =2, где L=lh, A=ah (см. [3], с. 19).}

Если прямые a и l пересекаются, то =, и композиция S_{a?Sl является осевой симметрией Sh , где h - это перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l.}

1.4. Композиции осевых симметрий пространства

Задача 9. Композиция трех осевых симметрий пространства является осевой симметрией: S_{c?Sb& #63;Sa=Sl. Какое взаимное положение могут иметь прямые a, b, c? Построить ось l этой композиции в каждом из возможных случаев.}

Решение. Равенству S_{c?Sb?Sa=Sl эквивалентно равенство}