Реферат по предмету "Математика"

Узнать цену реферата по вашей теме


Тригонометрические уравнения и неравенства

Министерствообразования Республики Беларусь
Учреждениеобразования
«Гомельскийгосударственный университет
имениФранциска Скорины»
Математическийфакультет
Кафедраалгебры и геометрии
Допущенак защите
Зав.кафедройШеметков Л.А.
«2008 г.
 
 
Тригонометрическиеуравнения и неравенства
Курсоваяработа
Исполнитель:
студентгруппы М-51
С.М.Горский
Научныйруководительк.ф.- м.н.,
старшийпреподаватель
В.Г.Сафонов
Гомель2008

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Элементарныетригонометрические уравнения
Введениевспомогательного аргумента
Схема решениятригонометрических уравнений      
Преобразование иобъединение групп общих решений тригонометрических уравнений
Разложение на множители
Решение уравнений преобразованиемпроизведения тригонометрических функций в сумму
Решение уравнений сприменением формул понижения степени
Решение уравнений сприменением формул тройного аргумента
Равенство одноименныхтригонометрических функций
Домножение на некоторуютригонометрическую функцию
Сведениетригонометрических уравнений к алгебраическим
НЕСТАНДАРТНЫЕТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Использованиеограниченности функций
Функциональные методырешения тригонометрических и комбинированных уравнений
Решение с исследованиемфункции
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕНЕРАВЕНСТВА
Решениетригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
Решениетригонометрических неравенств графическим методом
ОТБОР КОРНЕЙ
ЗАДАЧИ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ
Вдревности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерияи строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер ипредставляла главным образом >. Со временем в нееначали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-говека произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новоенаправление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это времятригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции.
Тригонометрическиеуравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики.Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии,стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрическиеуравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданийцентрализованного тестирования.
Самоеважное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том,что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических--- бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификойтригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.
Даннаядипломная работа посвящена методам решения тригонометрических уравнений инеравенств.
Дипломнаяработа состоит из 6 разделов.
Впервом разделе приведены основные теоретические сведения: определение исвойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; таблицазначений тригонометрических функций для некоторых аргументов; выражениетригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что оченьважно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащихобратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул,хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения,содержащие обратные тригонометрические функции.
Вовтором разделе изложены основные методы решения тригонометрических уравнений.Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложенияна множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим.Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькимиспособами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли этирешения одинаковыми или различными, что может > прирешении тестов, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений иподробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрическихуравнений.
Втретьем разделе рассматриваются нестандартные тригонометрические уравнения,решения которых основано на функциональном подходе.
Вчетвертом разделе рассматриваются тригонометрические неравенства. Подробнорассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как наединичной окружности, так и графическим методом. Описан процесс решениянеэлементарных тригонометрических неравенств через элементарные неравенства иуже хорошо известный школьникам метод интервалов.
Впятом разделе представлены наиболее сложные задания: когда необходимо не толькорешить тригонометрическое уравнение, но и из найденных корней отобрать корни,удовлетворяющие какому-нибудь условию. В данном разделе приведены решениятипичных заданий на отбор корней. Приведены необходимые теоретических сведениядля отбора корней: разбиение множества целых чисел на непересекающиесяподмножества, решение уравнений в целых числах (диафантовых).
Вшестом разделе представлены задачи для самостоятельного решения, оформленные ввиде теста. В 20 заданиях теста приведены наиболее сложные задания, которыемогут встретиться на централизованном тестировании.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙЭлементарные тригонометрические уравнения
Элементарныетригонометрические уравнения — это уравнения вида />,где /> --- одна изтригонометрических функций: />, />, />, />.
Элементарныетригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению/> удовлетворяют следующиезначения: />, />, />, /> и т. д. Общая формула покоторой находятся все корни уравнения />,где />, такова:
/>
Здесь/> может принимать любыецелые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; вэтой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарныетригонометрические уравнения) /> называютпараметром. Записывают обычно />,подчеркивая тем самым, что параметр /> приниматьлюбые целые значения.
Решенияуравнения />, где />, находятся по формуле
/>
Уравнение/> решается применяя формулу
/>
ауравнение /> --- по формуле
/>
Особоотметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когдарешение может быть записано без применения общих формул:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Прирешении тригонометрических уравнений важную роль играет периодтригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:
Теорема Если/> --- основной периодфункции />, то число /> является основным периодомфункции />.
Периодыфункций /> и /> называются соизмеримыми,если существуют натуральные числа /> и />, что />.
Теорема Еслипериодические функции /> и />, имеют соизмеримые /> и />, то они имеют общий период/>, который является периодомфункций />, />, />.
Втеореме говорится о том, что /> являетсяпериодом функции />, />, />, и не обязательно являетсяосновным периодом. Например, основной период функций /> и /> --- />, а основной период ихпроизведения — />.Введение вспомогательного аргумента
Стандартнымпутем преобразования выражений вида /> являетсяследующий прием: пусть /> --- угол,задаваемый равенствами />, />. Для любых /> и /> такой угол существует.Таким образом />. Если />, /> или />, />, />, в других случаях />.Схема решения тригонометрических уравнений
Основнаясхема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрическихуравнений следующая:
решениезаданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения--- преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип--- не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению(уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимсялишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей «цепочки» (илисовокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего.Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, чтов случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, спроверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическимиуравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числачленов.
Особоследует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений.В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение.Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являютсятригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются,поскольку уже после первого шага — замены переменных — превращаются валгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решенияэлементарных тригонометрических уравнений.
Ещераз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности,получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этапотбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.
Однаиз особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ вомногих случаях может быть записан различными способами. Даже для решенияуравнения /> ответ может быть записанследующим образом:
1)в виде двух серий: />, />, />;
2)в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: />, />;
3)поскольку />, то ответ можно записать ввиде />, />. (В дальнейшем наличиепараметра />, />, /> или /> в записи ответаавтоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленныезначения. Исключения будут оговариваться.)
Очевидно,что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записиответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).
Например,при /> справедливо равенство />. Следовательно, в двухпервых случаях, если />, мы можемзаменить /> на />.
Обычноответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующуюрекомендацию: если на решении уравнения /> работане заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, тонаиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендациюследует дать и для уравнения />.)
Рассмотримпример иллюстрирующий сказанное.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Наиболееочевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два: /> и />. Решая каждое из них иобъединяя полученные ответы, найдем />.
Другойпуть. Поскольку />, то,заменяя /> и /> по формулам понижениястепени. После небольших преобразований получим />,откуда />.
Напервый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первойнет. Однако, если возьмем, например, />, тоокажется, что />, т.е. уравнение /> имеет решение />, в то время как первыйспособ нас приводит к ответу />. «Увидеть»и доказать равенство /> не так просто.
Ответ./>.Преобразование и объединение групп общих решенийтригонометрических уравнений
Будемрассматривать арифметическую прогрессию, бесконечно простирающуюся в обестороны. Члены этой прогресссии можно разбить на две группы членов,располагающиеся вправо и влево от некоторого члена, называемого центральным илинулевым членом прогрессии.
Фиксируяодин из членов бесконечной прогрессиии нулевым номером, мы должны будем вестидвойную нумерацию для всех оставшихся членов: положительную для членов,расположенных вправо, и отрицательную для членов, расположенных влево отнулевого.
Вобщем случае, если разность прогрессии />,нулевой член />, формула для любого (/>-го) члена бесконечнойарифметической прогрессии представляет вид:
/>
Преобразованияформулы для любого члена бесконечной арифметической прогрессии
1.Если к нулевому члену /> прибавить илиотнять разность прогрессии />, то отэтого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т.е.изменится нумерация членов.
2.Если коэффициент при переменной величине /> умножитьна />, то от этого произойдетлишь перестановка правой и левой групп членов.
3.Если /> последовательных членовбесконечной прогрессии
/>
например/>, />, />, ..., />, сделать центральнымичленами /> прогрессий с одинаковойразностью, равной />:
/>
топрогрессия (??) и ряд прогрессий (??) выражают собой одни и те же числа.
Пример Ряд/> может быть замененследующими тремя рядами: />, />, />.
4.Если /> бесконечных прогрессий содинаковой разностью /> имеютцентральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью />, то эти /> рядов могут быть замененыодной прогрессией с разностью />, и сцентральным членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т.е.если
/>
тоэти /> прогрессий объединяются водну: />
Пример />, />, />, /> обе объединяются в однугруппу />, так как />.
Дляпреобразования групп, имеющих общие решения, в группы, общих решений не имеющиеданные группы разлагают на группы с общим периодом, а затем стремятьсяобъединить получившиеся группы, исключив повторяющиеся.Разложение на множители
Методразложения на множетели заключается в следующем: если
/>
товсякое решение уравнения
/>
являетсярешение совокупности уравнений
/>     (??)
Обратноеутверждение, вообще говоря неверно: не всякое решение совокупности являетсярешением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (??)могут не входить в область определения функции />.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Используяосновное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде />
Ответ./>; />.
Преобразованиесуммы тригонометрических функций в произведение
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Применимформулу (??), получим равносильное уравнение
/>
Ответ./>.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Вданном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций,следует использовать формулу приведения />. В итоге получимравносильное уравнение
/>
Ответ./>, />.Решение уравнений приобразованием произведениятригонометрических функций в сумму
Прирешении ряда уравнений применяются формулы.
Пример Решитьуравнение /> 
Решение.Применивформулу (??), получим равносильное уравнение:
/>
Ответ./>, />.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Применивформулу (??), получим равносильное уравнение:
/>.
Ответ./>.Решение уравнений с применением формул понижениястепени
Прирешении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играютформулы.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Применяяформулу, получим равносильное уравнение.

/>
/>
/>
/>.
Ответ./>; />.Решение уравнений с примененнием формул тройногоаргумента
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Применимформулу (??), получим уравнение
/>
Ответ./>; />.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Применимформулы понижения степени получим: />.Применяя (??) получаем:
/>.
Ответ./>; />.Равенство одноименных тригонометрических функций
/>
/>
/>
Пример Решитьуравнение />.
Решение./>
Ответ./>, />.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Преобразуемуравнение. />
Ответ./>.
Пример Известно,что /> и /> удовлетворяют уравнению
/>
Найтисумму />.
Решение.Изуравнения следует, что
/>
/>
Ответ./>.

Домножение на некоторуютригонометрическую функцию
Рассмотримсуммы вида
/>
/>
Данныесуммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на />, тогда получим
/>
Указанныйприем может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений,однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление постороннихкорней. Приведем обобщение данных формул:
/>
/>
/>
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Видно,что множество /> являетсярешением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части уравненияна /> не приведет к появлениюлишних корней.
Имеем/>.
Ответ./>; />.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Домножимлевую и правую части уравнения на /> иприменив формулы преобразования произведения тригонометрических функций всумму, пролучим
/>
Этоуравнение равносильно совокупности двух уравнений /> и/>, откуда /> и />.
Таккак корни уравнения /> не являютсякорнями уравнения, то из полученных множеств решений следует исключить />. Значит во множестве /> нужно исключить />.
Ответ./> и />, />.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Преобразуемвыражение />:
/>
Уравнениезапишется в виде:
/>
Принимая/>, получаем />. />, />. Следовательно
Ответ./>.Сведение тригонометрических уравнений калгебраическим
Сводящиесяк квадратным
Еслиуравнение имеет вид
/>
тозамена /> приводит его кквадратному, поскольку /> ((??))и (??).
Есливместо слагаемого /> будет />, то нужная замена будет />.
Уравнение
/>
сводитсяк квадратному уравнению
/>
представлением/> как />. Легко проверить, что /> при которых />, не являются корнямиуравнения, и, сделав замену />,уравнение сводится к квадратному.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Перенесем/> в левую часть, заменим еена />, /> и /> выразим через /> и />.
Послеупрощений получим: />. Разделимпочленно на />, сделаем замену />:
/>
Возвращаяськ />, найдем />.
Уравнения,однородные относительно />, />
Рассмотримуравнение вида
/>                                                  (8)
где/>, />, />, ..., />, /> --- действительные числа.В каждом слагаемом левой части уравнения (??) степени одночленов равны />, т. е. сумма степенейсинуса и косинуса одна и та же и равна />.Такое уравнение называется однородным относительно /> и />, а число /> называется показателемоднородности.
Ясно,что если />, то уравнение примет вид:
/>
решениямикоторого являются значения />, прикоторых />, т. е. числа />, />. Второе уравнение,записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.
Еслиже />, то эти числа не являютсякорнями уравнения (??).
При/> получим: />, /> и левая часть уравнения(1) принимает значение />.
Итак,при />, /> и />, поэтому можно разделитьобе части уравнения на />. В результатеполучаем уравнение:
/>
которое,подстановкой /> легко сводится калгебраическому:
/>
Однородныеуравнения с показателем однородности 1. При /> имеемуравнение />.
Если/>, то это уравнениеравносильно уравнению />, />, откуда />, />.
Пример Решитеуравнение />.
Решение.Этоуравнение однородное первой степени />.Разделим обе его части на /> получим:/>, />, />, />.
Ответ./>.
Пример При/> получим однородноеуравнение вида
/>
Решение.
Если/>, тогда разделим обе частиуравнения на />, получим уравнение />, которое подстановкой /> легко приводится кквадратному: />. Если />, то уравнение имеетдействительные корни />, />. Исходное уравнение будетиметь две группы решений: />, /> />, />.
Если/>, то уравнение не имеетрешений.
Пример Решитеуравнение />.
Решение.Этоуравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на />, получим: />. Пусть />, тогда />, />, />. />, />, />; />, />, />.
Ответ./>.
Куравнению вида (??) сводится уравнение
/>
Дляэтого достаточно воспользоваться тождеством />
Вчастности, уравнение /> сводится коднородному, если заменить /> на />, тогда получимравносильное уравнение: /> 
/>
Пример Решитеуравнение />.
Решение.Преобразуемуравнение к однородному:
/>
/>
Разделимобе части уравнения на />,получим уравнение:
/> Пусть />, тогда приходим кквадратному уравнению: />, />, />, />, />.
/>
/>
Ответ./>.
Пример Решитеуравнение />.
Решение.Возведемобе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: />, />,
/>
/>
Пусть/>, тогда получим />, />, />.
/>
Ответ./>.
Уравнения,решаемые с помощью тождеств />
Полезнознать следующие формулы:
/>(??)
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Используя(??), получаем
/>
/>
Ответ./>
Предлагаемне сами формулы, а способ их вывода:
/>
следовательно,
/>.
Аналогично,/>.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Преобразуемвыражение />:
/>.
Уравнениезапишется в виде:
/>
Принимая/>, получаем />. />, />. Следовательно
Ответ./>.
Универсальнаятригонометрическая подстановка
Тригонометрическоеуравнение вида
/>
где/> --- рациональная функция спомощью фомул (??) — (??), а так же с помощью формул (??)-- (??) можно свестик рациональному уравнению относительно аргументов />,/>, />, />, после чего уравнениеможет быть сведено к алгебраическому рациональному уравнению относительно /> с помощью формулуниверсальной тригонометрической подстановки
/>           (??)
/>                    (??)
Следуетотметить, что применение формул (??) может приводить к сужению ОДЗ исходногоуравнения, поскольку /> не определен вточках />, поэтому в таких случаяхнужно проверять, являются ли углы />,корнями исходного уравнения.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Поусловию задачи />. Применивформулы (??) и сделав замену />,получим
/>
откуда/> и, следовательно, />.
Уравнениявида />
Уравнениявида />, где /> --- многочлен, решаются спомощью замен неизвестных
/>   (??)
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Сделавзамену (??) и учитывая, что />,получим
/>
откуда/>, />. /> --- посторонний корень,т.к. />. Корнями уравнения /> являются />.

 НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯИспользование ограниченности функций
Впрактике централизованного тестирования не так уж редко встречаются уравнения,решение которых основывается на ограниченности функций /> и />. Например:
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Поскольку/>, />, то левая часть непревосходит /> и равна />, если />
Длянахождения значений />, удовлетворяющихобоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем срединайденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.
Начнемсо второго: />, />. Тогда />, />.
Понятно,что лишь для четных /> будет />.
Ответ./>.
Другаяидея реализуется при решении следующего уравнения:
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Воспользуемсясвойством показательной функции: />, />.
Сложивпочленно эти неравенства будем иметь:
                                 />
Следовательнолевая часть данного уравнения равна /> тогда итолько тогда, когда выполняются два равенства:
/>
т.е. /> может принимать значения />, />, />, а /> может принимать значения />, />.
Ответ./>, />.
Пример Решитьуравнение />.
Решение./>, />. Следовательно, />.
Ответ./>.
Пример Решитьуравнение
/>         (??)
Решение.Обозначим/>, тогда из определенияобратной тригонометрической функции /> имеем /> и />.
Таккак />, то из уравнения (??)следует неравенство />, т.е. />. Поскольку /> и />, то /> и />. Однако /> и поэтому />.
Если/> и />, то />. Так как ранее былоустановлено, что />, то />.
Ответ./>, />.
Пример Решитьуравнение
/>(??)
Решение.Областьюдопустимых значений уравнения (??) являются />.
Первоначальнопокажем, что функция
/> при любых /> может принимать толькоположительные значения.
Представимфункцию /> следующим образом: />.
Поскольку/>, то имеет место />, т.е. />.
Следовательно,для доказательства неравенства />,необходимо показать, что />. Сэтой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда
/>
/>
/>
Полученноечисленное неравенство свидетельствует о том, что />.Если при этом еще учесть, что />, толевая часть уравнения (??) неотрицательна.
Рассмотримтеперь правую часть уравнения (??).
Таккак />, то
/>.
Однакоизвестно, что />. Отсюда следует,что />, т.е. правая частьуравнения (??) не превосходит />. Ранеебыло доказано, что левая часть уравнения (??) неотрицательна, поэтому равенствов (??) может быть только в том случае, когда обе его части равны />, а это возможно лишь при />.
Ответ./>.
Пример Решитьуравнение
/>
Решение.Обозначим/> и />. Применяя неравенствоКоши-Буняковского, получаем />.Отсюда следует, что />. C другойстороны имеет место />. Следовательно,уравнение не имеет корней.
Ответ./>.
Пример Решитьуравнение:
/>
Решение.Перепишемуравнение в виде:
/>
Ответ./>.Функциональные методы решения тригонометрических икомбинированных уравнений
Невсякое уравнение /> в результатепреобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида,для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказываетсяполезным использовать такие свойства функций /> и/>, как монотонность,ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функцийубывает, а вторая возрастает на промежутке />,то при наличии у уравнения /> корняна этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можнонайти подбором. Если же функция /> ограниченасверху, причем />, а функция /> ограничена снизу, причем />, то уравнение /> равносильно системеуравнений />
Пример Решитьуравнение
/>
Решение.Преобразуемисходное уравнение к виду
/>
ирешим его как квадратное относительно />.Тогда получим,
/>
Решимпервое уравнение совокупности. Учтя ограниченность функции />, приходим к выводу, чтоуравнение может иметь корень только на отрезке />.На этом промежутке функция /> возрастает,а функция /> убывает. Следовательно,если это уравнение имеет корень, то он единственный. Подбором находим />.
Ответ./>.
 Пример Решить уравнение
/>
Решение.Пусть/>, /> и />, тогда исходное уравнениеможно записать в виде функционального уравнения />.Поскольку /> функция нечетная, то />. В таком случае получаемуравнение />.
Таккак />, /> и /> монотонна на />, то уравнение /> равносильно уравнению />, т.е. />, которое имеетединственный корень />.
Ответ./>.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Наосновании теоремы о производной сложной функции ясно, что функция /> убывающая (функция /> убывающая, /> возрастающая, /> убывающая). Отсюдапонятно, что функция /> определенная на />, убывающая. Поэтому данноеуравнение имеет не более одного корня. Так как />,то
Ответ./>.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Рассмотримуравнение на трех промежутках.
а)Пусть />. Тогда на этом множествеисходное уравнение равносильно уравнению />.Которое на промежутке /> решений неимеет, т. к. />, />, а />. На промежутке /> исходное уравнение так жене имеет корней, т. к. />, а />.
б)Пусть />. Тогда на этом множествеисходное уравнение равносильно уравнению
/>
корнямикоторого на промежутке /> являются числа />, />, />, />.
в)Пусть />. Тогда на этом множествеисходное уравнение равносильно уравнению
                                        />
Котороена промежутке /> решений неимеет, т. к. />, а />. На промежутке /> уравнение так же решенийне имеет, т. к. />, />, а />.
Ответ./>, />, />, />.Метод симметрии
Методсимметрии удобно применять, когда в формулировке задания присуствует требованиеединственности решения уравнения, неравенства, системы и т.п. или точноеуказание числа решений. При этом следует обнаружить какую-либо симметриюзаданных выражений.
Нужнотакже учитывать многообразие различных возможных видов симметрии.
Неменее важным является четкое соблюдение логических этапов в рассуждениях ссимметрией.
Обычносимметрия позволяет установить лишь необходимые условия, а затем требуетсяпроверка их достаточности.
Пример Найтивсе значения параметра />, при которыхуравнение /> имеет единственноерешение.
Решение.Заметим,что /> и /> --- четные функции,поэтому левая часть уравнения есть четная функция.
Значитесли /> --- решение уравнения, то /> есть также решениеуравнения. Если /> --- единственноерешение уравнения, то, необходимо, />.
Отберемвозможные значения />,потребовав, чтобы /> было корнемуравнения.
/>
Сразуже отметим, что другие значения /> немогут удовлетворять условию задачи.
Нопока не известно, все ли отобранные /> вдействительности удовлетворяют условию задачи.
Достаточность.
1)/>, уравнение примет вид /> .
2)/>, уравнение примет вид:
/>
Очевидно,что />, для всех /> и />. Следовательно, последнееуравнение равносильно системе:
/>
Темсамым, мы доказали, что при />,уравнение имеет единственное решение.
Ответ./>.Решение с исследованием функции
Пример [??]Докажите, что все решения уравнения
                            />
— целые числа.
Решение.Основнойпериод исходного уравнения равен />.Поэтому сначала исследуем это уравнение на отрезке />.
Преобразуемуравнение к виду:
/>
Припомощи микрокалькулятора получаем:
/>
Находим:
/>
Если/>, то из предыдущих равенствполучаем:
/>
Решивполученное уравнение, получим: />.
Выполненныевычисления представляют возможность предположить, что корнями уравнения,принадлежащими отрезку />, являются />, /> и />.
Непосредственнаяпроверка подтверждает эту гипотезу. Таким образом, доказано, что корнямиуравнения являются только целые числа />,/>.
Пример Решитеуравнение />.
Решение.Найдёмосновной период уравнения. У функции /> основнойпериод равен />. Основной период функции /> равен />. Наименьшее общее кратноечисел /> и /> равно />. Поэтому основной периодуравнения равен />. Пусть />.
Очевидно,/> является решениемуравнения. На интервале />.Функция /> отрицательна. Поэтомудругие корни уравнения следует искать только на интервалаx /> и />.
Припомоши микрокалькулятора сначала найдем приближенные значения корней уравнения.Для этого составляем таблицу значений функции /> на интервалах /> и />; т. е. на интервалах /> и />.
 />
/>
/>
/>  0 202,5 0,85355342 3 -0,00080306 207 0,6893642 6  -0,00119426 210 0,57635189 9  -0,00261932 213 0,4614465 12 -0,00448897 216 0,34549155 15 -0,00667995 219 0,22934931 18 -0,00903692 222 0,1138931 21 -0,01137519 225 0,00000002 24 -0,01312438 228 -0,11145712 27 -0,01512438 231 -0,21961736 30 -0,01604446 234 -0,32363903 33 -0,01597149 237 -0,42270819 36 -0,01462203 240 -0,5160445 39 -0,01170562 243 -0,60290965 42 -0,00692866 246 -0,65261345 45 0,00000002 249 -0,75452006 48 0,00936458 252 -0,81805397 51 0,02143757 255 -0,87270535 54 0,03647455 258 -0,91803444 57 0,0547098 261 -0,95367586 60 0,07635185 264 -0,97934187 63 0,10157893 267 -0,99482505 66 0,1305352 270 -1 67,5 0,14644661
Изтаблицы легко усматриваются следующие гипотезы: корнями уравнения,принадлежащими отрезку />, являются числа:/>; />; />. Непосредственная проверкаподтверждает эту гипотезу.
Ответ./>; />; />.

 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВАРешение тригонометрических неравенств с помощьюединичной окружности
Прирешении тригонометрических неравенств вида />,где /> --- одна изтригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружностьдля того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записатьответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведениеих к простейшим неравенствам типа />.Разберём на примере, как решать такие неравенства.
Пример Решитенеравенство />.
Решение.Нарисуемтригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ординатапревосходит />.
/>
Для/> решением данногонеравенства будут />. Ясно также, чтоесли некоторое число /> будет отличатьсяот какого-нибудь числа из указанного интервала на />,то /> также будет не меньше />. Следовательно, к концамнайденного отрезка решения нужно просто добавить />.Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все />.
Ответ./>.
Длярешения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсови котангенсов. Таковыми являются прямые /> и/> соответственно (на рисунке(1) и (2)), касающиеся тригонометрической окружности.
/>
Легкозаметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющийугол /> с положительнымнаправлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки /> доточки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла,который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет местои для котангенса.
Пример Решитенеравенство />.
Решение.Обозначим/>, тогда неравенство приметвид простейшего: />. Рассмотриминтервал /> длиной, равной наименьшемуположительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линиитангенсов устанавливаем, что />.Вспоминаем теперь, что необходимо добавить />,поскольку НПП функции /> />. Итак, />. Возвращаясь к переменной />, получаем, что />.
Ответ./>.
Неравенствас обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованиемграфиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается напримере.Решение тригонометрических неравенств графическимметодом
Заметим,что если /> --- периодическая функция,то для решения неравенства /> /> необходимо найти егорешения на отрезке, длина которого равна периоду функции />. Все решения исходногонеравенства будут состоять из найденных значений />,а также всех />, отличающихся от найденныхна любое целое число периодов функции />.
Рассмотримрешение неравенства /> (/>).
Поскольку/>, то при /> неравенство решений не имеет.Если />, то множество решенийнеравенства /> --- множество всехдействительных чисел.
Пусть/>. Функция синус имеетнаименьший положительный период />,поэтому неравенство /> можно решитьсначала на отрезке длиной />,например, на отрезке />. Строим графикифункций /> и /> (/>).
/>
Наотрезке /> функция синус возрастает,и уравнение />, где />, имеет один корень />. На отрезке /> функция синус убывает, иуравнение /> имеет корень />. На числовом промежутке /> график функции /> расположен выше графикафункции />. Поэтому для всех /> из промежутка />) неравенство /> выполняется, если />. В силу периодичностифункции синус все решения неравенства /> задаютсянеравенствами вида: />.
Аналогичнорешаются неравенства />, />, и т.п.
 Пример Решим неравенство />.
Решение.Рассмотримграфик функции />
/>
ивыберем из промежутка /> на оси /> значения аргумента />, которым соответствуютточки графика, лежащие выше оси />. Такимпромежутком является интервал />.Учитывая периодичность функции /> всерешения неравенства /> можно записатьтак: />.
Ответ./>.
Пример Решитенеравенство />.
Решение.Нарисуемграфик функции />. Найдём точкупересечения этого графика с горизонтальной прямой />.
/>
Этоточка с абсциссой />. По графикувидно, что для всех /> график функциилежит ниже прямой />. Следовательно,эти /> и составляют:
Ответ./>.

ОТБОР КОРНЕЙ
Проблемаотбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрическихуравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело местодля уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующиетипичные случаи появления посторонних корней и методы > сними.
Пример Найтиближайший к числу /> корень уравнения
/>
Решение.
/>
/>
/>
/>
Подставляяпоследовательно в формулу /> вместопеременной /> выписанные выше сериирешений уравнений, отыщем для каждой из них />,а затем сравним полученные минимальные /> междусобой.
a)/>
Ясно,что /> достигается при />, то есть />.
б)/>
/>.
в)/>.
г)/>.
/>.
Выберемминимальное из чисел />, />. Сразу ясно, что /> и что />. Оталось сравнить /> и />. Предположим, что
/>
/>
/>
/>
/>
Последнеенеравенство — верное, а все сделанные переходы — равносильные. Поэтомуверно исходное неравенство. Обоснуем равносильность переходов (*) и (**)(равносильность остальных переходов следует из общих свойств числовыхнеравнств). В случае преобраования (*), достаточно заметить, что числа /> и /> расположен на участке /> монотонного возрастанияфункции />. В случае перехода (**)формула /> справедлива, так как />.
Ответ./>.
Пример Найтикорни уравнения: />.
Решениеэтого уравнения распадается на два этапа: 1) решение уравнения, получающегосяиз данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которыеудовлетворяют условию />. При этомзаботится об условии /> нет необходимости.Все значения />, удовлетворяющиевозведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.
Первыйшаг нас приводит к уравнению />, откуда/>.
Теперьнадо определить, при каких /> будет />. Для этого достаточно для /> рассмотреть значения />, />, />, т. е. >, поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться,получившиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную />.
Ответ./>, />.
Итак,основная схема отбора корней состоит в следующем. Находится наименьший общийпериод всех тригонометрических функций входящих в уравнение. На этом периодеотбираются корни, а затем оставшиеся корни периодически продолжаются.
Пример Решитьуравнение:
/>
Решение.Уравнениеравносильно смешанной системе:
/>
/>
Но/> --- не годится.
Ответ./>.
Раскрываязнак модуля получаем более громоздное решение. А ответ в этом случае принимаетвид:
Ответ./>.

 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Тестпо теме >
•Объединение каких множеств />, />, />, /> является решениемуравнения />
/>, />, />, />.
a)/>, /> б) />, /> в) />, /> г) />, />
•Решите уравнение />.
a)/> б)/> в) /> г) />
•Решите уравнение />.
a)/>
б)/>
в)/>
г)/>
•Решите уравнение />.
a)/>
б)/>
в)/>
г)/>
•Решите уравнение />.
a)/>
б)/>
в)/>
г)/>
•Среди множеств />, /> найдите решение уравнения
/>
иукажите те, которые не являются подмножествами друг друга.
/>, />, />, />, />.
а)/> б) /> в) /> г) />
•Среди множеств />, /> найдите решение уравнения
/>
/>
/>
/>
/>
а)/> б) /> в) /> г)/>
•Решите уравнение />.
а)/> б) />
в)/> г) />
•Решите уравнение
/>
а)/>
б)/>
в)/>
г)/>
•Решите уравнение />.
а)/> б) />
в)/> г) />
•Сумма корней уравнения /> наотрезке /> равна:
а)/> б) /> в) /> г) />
•Решите уравнение
/>
Вответе записать количество корней уравнения, принадлежащих отрезку />.
а)/> б) /> в) /> г) />
•Решить уравнение />
а)/> б) />
в)/> г) />
•Решите уравнение />.
a)/> б) />
в)/> г) />
•Решите уравнение
/>
a)/>
б)/>
в)/>
г)/>
Найдитенабольший отрицательный корень уравнения:
/>
a)/> б) />
в)/> г) />
•Решите уравнение /> на множестве />.
a)/>
б)/>
в)/>
г)/>
•Решите уравнение />.
a)/> б) />
в)/> г) />
•Решить уравнение />.
а)/> б) /> в) /> г) />
•Решите уравнение />.
a)/>
б)/> или />
в)/> или /> и />
г)/> или /> и /> 
Ответы1а 2б 3б 4г 5б 6б 7а 8б 9г 10б 11а 12б 13в или г 14а 15в 16в 17в 18а или б 19г20в

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вданной работе были рассмотрены методы решения тригонометрических уравнений инеравенств, как простейших, так и олимпиадного уровня. Были рассмотреныосновные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, причем, какспецифические — характерные только для тригонометрических уравнений инеравенств,--- так и общие функциональные методы решения уравнений инеравенств, применительно к тригонометрическим уравнениям.
Вдипломной работе приведены основные теоретические сведения: определение исвойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; выражениетригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что оченьважно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащихобратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул,хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения,содержащие обратные тригонометрические функции. Рассмотрены решениеэлементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методысведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решениятригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этихрешений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми илиразличными, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений иподробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрическихуравнений. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрическихнеравенств, как на единичной окружности, так и графическим методом. Описанпроцесс решения неэлементарных тригонометрических неравенств через элементарныенеравенства и уже хорошо известный школьникам метод интервалов. Приведенырешения типичных заданий на отбор корней. Приведены необходимые теоретическихсведения для отбора корней: разбиение множества целых чисел на непересекающиесяподмножества, решение уравнений в целых числах (диафантовых).
Результатыданной дипломной работы могут быть использованы в качестве учебного материалапри подготовке курсовых и дипломных работ, при составлении факультативов дляшкольников, так же работа может применяться при подготовке учащихся квступительным экзаменам и централизованному тестированию.

СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
[1]Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. /Выгодский Я.Я. — М.:Наука, 1970.
[2]Игудисман О., Математика на устном экзамене/ Игудисман О. — М.: Айрис пресс,Рольф, 2001.
[3]Азаров А.И., уравнения/Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. — Мн.:Тривиум, 1994.
[4]Литвиненко В.Н., Практикум по элементарной математике / Литвиненко В.Н.--- М.:Просвещение, 1991.
[5]Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике: решение задач/ Шарыгин И.Ф.,Голубев В.И. — М.: Просвещение, 1991.
[6]Бардушкин В., Тригонометрические уравнения. Отбор корней/В. Бардушкин, А.Прокофьев.// Математика, №12, 2005 с. 23--27.
[7]Василевский А.Б., Задания для внеклассной работы по математике/Василевский А.Б.--- Мн.: Народная асвета. 1988. — 176с.
[8]СапуновП. И., Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрическихуравнений/Сапунов П. И. // Математическое просвещение, выпуск №3, 1935.
[9]Бородин П., Тригонометрия. Материалы вступительных экзаменов вМГУ[текст]/П.Бородин, В.Галкин, В.Панфёров, И.Сергеев, В.Тарасов // Математика№1, 2005 с. 36--48.
[10]Самусенко А.В., Математика: Типичные ошибки абитуриентов: Справочноепособие/Самусенко А.В., Казаченок В.В.--- Мн.: Вышейшая школа, 1991.
[11]Азаров А.И., Функциональный и графический методы решения экзаменационныхзадач/Азаров А.И., Барвенов С.А.,--- Мн.: Аверсэв, 2004.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Доработать Узнать цену написания по вашей теме
Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.