Контрольная работа по предмету "Экономико-математическое моделирование"

Узнать цену работы по вашей теме


Уравнения линейной регрессии


Федеральное агентство по образованию

Министерства образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Филиал Уральского государственного экономического университета

г.Березники

Кафедра "Математики и естественнонаучных дисциплин"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

специальность: 080103.65 "Национальная экономика"

Выполнил (а)

Студент (ка) гр. ЭКФС - 071 Д.А.Вахрушева

Проверил

Профессор, д.т.н. Б.Н.Щеткин

Березники

2010 г

Задание 1.

1. В соответствии с МНК найти уравнение линейной регрессии

2. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения показателей x и y.

3. Найти парный коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятностью p=0,95 проверить его значимость

4. Сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн.руб.

5. Построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных.

Для удобства вычислений параметров системы уравнений составим табл.1.

Таблица 1

t

xi

yi

xy

x2

y2

y-?

(y-?)2

yi

ei=yi- yx

ei2

ei-ei-1

(ei-ei-1)2

1

0

32,4

0

0

1049,76

-5,52

30,4704

32,18

0,22

0,05

-

-

-2,25

5,06

0,68

2

0,5

32,4

16,2

0,25

1049,76

-5,52

30,4704

33,46

-1,06

1,11

-1,28

1,63

-1,75

3,06

3,26

3

1

34,8

34,8

1

1211,04

-3,12

9,7344

34,73

0,07

0,00

1,13

1,27

-1,25

1,56

0,20

4

1,5

37,1

55,65

2,25

1376,41

-0,82

0,6724

36,01

1,10

1,20

1,03

1,05

-0,75

0,56

2,95

5

2

38

76

4

1444

0,08

0,0064

37,28

0,72

0,52

-0,38

0,14

-0,25

0,06

1,89

6

2,5

38,7

96,75

6,25

1497,69

0,78

0,6084

38,58

0,12

0,01

-0,60

0,36

0,25

0,06

0,31

7

3

38,6

115,8

9

1489,96

0,68

0,4624

39,83

-1,23

1,51

-1,35

1,82

0,75

0,56

3,19

8

3,5

39,9

139,65

12,25

1592,01

1,98

3,9204

41,11

-1,21

1,45

0,02

0,00

1,25

1,56

3,02

9

4

43,8

175,2

16

1918,44

5,88

34,5744

42,38

1,42

2,02

2,63

6,89

1,75

3,06

3,24

10

4,5

43,5

195,75

20,25

1892,25

5,58

31,1364

43,66

-0,16

0,02

-1,58

2,48

2,25

5,06

0,36

Итого

22,5

379,2

905,8

71,25

14521,3

0

142,056

379,20

0,00

7,90

-0,38

15,64

20,63

19,1

среднее

2,25

37,92

90,58

7,125

1452,13

14,2056

37,92

0,79

?

1,44

3,77

?2

2,06

14,20

yp

5

44,93

1. Пример расчета среднего значения:

Построение уравнения регрессии сводятся к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических yx минимальна т.е

Для линейных уравнений, решается следующая система уравнений:

Исходя из таблицы 1, система уравнений с численными значениями параметров имеет вид:

Решим систему уравнения по правилу Крамера:

Определим коэффициенты регрессии a и b:

Также можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают системы:

Уравнение регрессии имеет следующий вид:

yi = 32,18+2,55x

2. Вычисление среднеквадратического отклонения:

3.Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Или

Значение коэффициентов парной корреляции лежит в интервале от -1 до +1. его положительное значение свидетельствует о прямой связи. Связь считается достаточно сильной, т.к. коэффициент корреляции по абсолютной величине превышает 0,7.

Рассчитаем коэффициент детерминации. Он показывает долю вариации результативного признака, находящего под воздействием изучаемых факторов.

Или

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения yi. Найдем величину средней ошибки аппроксимации (расчеты представлены в таблице 1), которая показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических. Допустимый предел ее значений 8-10%.

Рассчитаем F-критерий Фишера, применяемый для оценки качества уравнения регрессии. Выполняется сравнение Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера.

Если табличное значение меньше расчетного, т.е. признается статистическая значимость и надежность характеристик, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Рассчитаем стандартную ошибку:

Рассчитаем t-критерий Стьюдента, применяемый для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции.

Проверка статистической значимости коэффициентов:

Коэффициент корреляции существенно отличен от нуля - это значит, что значения коэффициентов сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Зависимость является значимой и достоверной.

Определим случайные ошибки:

тогда

Рассчитаем доверительный интервал для a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение фактора составит , тогда прогнозное значение результата будет

Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза:

Доверительный интервал прогноза:

5. Построим график линии регрессии с нанесением на него опытных данных

Рис. 1. График линии регрессии

Задание №2

Имеются данные о доли расходов на товары длительного пользования уi от среднемесячного дохода семьи xi. Предполагается, что эта зависимость носит нелинейный характер . Необходимо:

1. Найти уравнение нелинейной гиперболической регрессии .

2. Найти парный коэффициент корреляции и с доверительной вероятностью проверить его значимость.

Таблица 2

i

xi

yi

Xi=1/xi

Xi2

Xi yi

?i

ei=yi- ?i

ei2

yi-?

(yi-?)2

1

2

29,7

0,5000

0,25

14,85

29,11

0,59

0,35

6,49

42,12

2

2,5

26,3

0,4000

0,16

10,52

26,56

-0,26

0,07

3,09

9,55

3

3

24,8

0,3333

0,11

8,27

24,85

-0,05

0,00

1,59

2,53

4

3,5

23,5

0,2857

0,08

6,71

23,63

-0,13

0,02

0,29

0,08

5

4

22,3

0,2500

0,06

5,58

22,72

-0,41

0,17

-0,91

0,83

6

4,5

21,7

0,2222

0,05

4,82

22,00

-0,30

0,09

-1,51

2,28

7

5

21,5

0,2000

0,04

4,30

21,43

0,07

0,00

-1,71

2,92

8

5,5

19

0,1818

0,03

3,45

20,97

-1,97

3,87

-4,21

17,72

9

6

20,5

0,1667

0,03

3,42

20,58

-0,08

0,01

-2,71

7,34

10

6,5

22,8

0,1538

0,02

3,51

20,25

2,55

6,49

-0,41

0,17

итого

42,5

232,1

2,6936

0,839131

65,4271

232,10

0,00

11,08

0

85,55

среднее

4,25

23,21

0,27

0,083913

6,54

23,21

1,11

0,00

8,55

1. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид:

произведем линеаризацию модели путем замены X=1/x. В результате получим линейное уравнение . Рассчитаем его параметры по данным таблицы 2. Полученные результаты заносим в таблицу.

Применяя МНК к уравнению , получим систему нормальных уравнений:

Исходя из таблицы 1, система уравнений с численными значениями параметров имеет вид:

Решим систему уравнения по правилу Крамера:

Определим коэффициенты регрессии a и b:

Уравнение регрессии имеет следующий вид:

2.Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь между показателем y и фактором x очень тесная.

Проверим значимость индекса корреляции с помощью F-критерия Фишера. Наблюдаемое значение статистики определяется по формуле:

По таблице критических точек F-распределения Фишера-Снедекора находим табличное значение Fтабл.

F > Fтабл = 5,32 для ?=0,05, k1=m=1, k2=n-m-1=8

51,22 > 5,32

Индекс корреляции значим, т.к. F > Fтабл.

Задание №3

Исследуется зависимость месячного расхода семьи на продукты питания zi. , тыс.р. от месячного дохода на одного члена семьи xi тыс.р. и от размера семью yi , чел. Необходимо:

1. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии .

2. Найти парные коэффициенты корреляции .

3. С доверительной вероятностью р=0,95 проверить коэффициенты корреляции на значимость.

4. Вычислить индекс множественной корреляции и проверить с доверительной вероятностью его статистическую значимость.

1. Согласно МНК параметры регрессии уравнения находятся по формуле

, где

матрица значений объясняющих переменных;

- матрица столбец значений зависимой переменной;

- матрица-столбец параметров линейного уравнения регрессии

В нашем случае

Матрица XTX представляет собой матрицу сумм первых степеней, квадратов и произведений n наблюдений объясняющих переменных:

Таблица 3

t

x

y

z

x2

y2

xy

1

2

1

2,40

4

1

2

2

3

1

3,10

9

1

3

3

4

1

3,40

16

1

4

4

2

2

3,70

4

4

4

5

3

2

4,00

9

4

6

6

4

2

4,20

16

4

8

7

3

3

4,50

9

9

9

8

4

3

4,70

16

9

12

9

5

3

6,00

25

9

15

10

3

4

5,90

9

16

12

11

4

4

6,30

16

16

16

12

5

4

6,40

25

16

20

13

2

5

6,30

4

25

10

14

3

5

6,50

9

25

15

15

4

5

7,20

16

25

20

итого

51

45

74,6

187

165

156

среднее

3,40

3,00

4,97

Обозначим через B=XTX. Тогда матрица B-1 определяется по формуле

,

где - определитель матрицы B, - матрица составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы B. - транспонированная матрица к матрице .

Получаем:

= 15•(187•165-1562)-51•(51•165-45•156)+45•(51•156-45•187)=5985

Таким образом, матрица имеет вид:

а матрица примет вид:

Для матрицы B-1 получаем:

отсюда матрица

Окончательно для матрицы А получаем:

Следовательно:

c=0,81

a=0,41

b=0,923

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

2. Рассчитаем парные коэффициенты корреляции

- "исправленные" среднеквадратические отклонения величин x,y и z

Таблица 4

t

x

y

z

x-?

y-?

z-?

(x-?)2

(y-?)2

(z-?)2

(x-?)*

(z-?)

(y-?)*

(z-?)

(x-?)*

(y-?)

xz

yz

1

2

1

2,40

-1,40

-2,00

-2,57

1,96

4,00

6,62

3,60

5,15

2,8

4,8

2,4

2

3

1

3,10

-0,40

-2,00

-1,87

0,16

4,00

3,51

0,75

3,75

0,8

9,3

3,1

3

4

1

3,40

0,60

-2,00

-1,57

0,36

4,00

2,48

-0,94

3,15

-1,2

13,6

3,4

4

2

2

3,70

-1,40

-1,00

-1,27

1,96

1,00

1,62

1,78

1,27

1,4

7,4

7,4

5

3

2

4,00

-0,40

-1,00

-0,97

0,16

1,00

0,95

0,39

0,97

0,4

12

8

6

4

2

4,20

0,60

-1,00

-0,77

0,36

1,00

0,60

-0,46

0,77

-0,6

16,8

8,4

7

3

3

4,50

-0,40

0,00

-0,47

0,16

0,00

0,22

0,19

0,00

0

13,5

13,5

8

4

3

4,70

0,60

0,00

-0,27

0,36

0,00

0,07

-0,16

0,00

0

18,8

14,1

9

5

3

6,00

1,60

0,00

1,03

2,56

0,00

1,05

1,64

0,00

0

30

18

10

3

4

5,90

-0,40

1,00

0,93

0,16

1,00

0,86

-0,37

0,93

-0,4

17,7

23,6

11

4

4

6,30

0,60

1,00

1,33

0,36

1,00

1,76

0,80

1,33

0,6

25,2

25,2

12

5

4

6,40

1,60

1,00

1,43

2,56

1,00

2,04

2,28

1,43

1,6

32

25,6

13

2

5

6,30

-1,40

2,00

1,33

1,96

4,00

1,76

-1,86

2,65

-2,8

12,6

31,5

14

3

5

6,50

-0,40

2,00

1,53

0,16

4,00

2,33

-0,61

3,05

-0,8

19,5

32,5

15

4

5

7,20

0,60

2,00

2,23

0,36

4,00

4,96

1,34

4,45

1,2

28,8

36

Итого

51

45

74,6

0,00

0,00

0,00

13,6

30

30,82933

8,36

28,9

3

262

252,7

среднее

3,4

3

4,97

0,00

0,00

0,00

0,91

2,00

2,06

0,56

1,93

0,20

По данным таблицы 4 находим:

Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид:

3. Проверим коэффициенты корреляции на значимость с доверительной вероятностью p=0,95, т.е. на уровне значимость ?=1-p=0,05.

Определим случайные ошибки коэффициентов корреляции:

Определяем расчетные значения t-критерия Стьюдента:

По таблице распределения Стьюдента определяем критическое значение t-статистики при ?=1-p=0,05 и числе степеней свободы n-2=15-2=13: tкр=2,16.

Сравнивая расчетные значения t-критерия с критическим значением, делаем вывод, что значимым является только коэффициент парной корреляции ryz, т.к. для него

4. Вычислим индекс множественной корреляции R через стандартизированные ?-коэффициенты множественной регрессии и парные коэффициенты корреляции по формулам:

Индекс множественной корреляции:

Задание 4

Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев.

1 Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.

2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью .

3. Построить коррелограмму.

4. Построить аддитивную модель временного ряда.

Коэффициенты автокорреляции со смещением (лагом) на k периодов находятся по формуле:

1.1. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 1 месяц. Для этого составим расчетную таблицу 5

Таблица 5

месяц

yt

yt+1

yt2

y2t+1

yt •yt+1

1

74,4

73,2

5535,36

5358,24

5446,08

2

73,2

74,3

5358,24

5520,49

5438,76

3

74,3

79,9

5520,49

6384,01

5936,57

4

79,9

78,7

6384,01

6193,69

6288,13

5

78,7

79,7

6193,69

6352,09

6272,39

6

79,7

84,1

6352,09

7072,81

6702,77

7

84,1

84,3

7072,81

7106,49

7089,63

8

84,3

85,4

7106,49

7293,16

7199,22

9

85,4

89,3

7293,16

7974,49

7626,22

10

89,3

89,6

7974,49

8028,16

8001,28

11

89,6

91

8028,16

8281

8153,6

Итого

892,9

909,5

72818,99

75564,63

74154,65

1.2. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещение на два месяца. Для этого составим таблицу 6

Таблица 6

месяц

yt

yt+2

yt2

y2t+2

yt •yt+2

1

74,4

74,3

5535,36

5520,49

5527,92

2

73,2

79,9

5358,24

6384,01

5848,68

3

74,3

78,7

5520,49

6193,69

5847,41

4

79,9

79,7

6384,01

6352,09

6368,03

5

78,7

84,1

6193,69

7072,81

6618,67

6

79,7

84,3

6352,09

7106,49

6718,71

7

84,1

85,4

7072,81

7293,16

7182,14

8

84,3

89,3

7106,49

7974,49

7527,99

9

85,4

89,6

7293,16

8028,16

7651,84

10

89,3

91

7974,49

8281

8126,3

Итого

803,3

836,3

64790,83

70206,39

67417,69

1.3. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 3 месяца. Составим таблицу 7

Таблица 7

yt

yt+3

yt2

y2t+3

yt •yt+3

74,4

79,9

5535,36

6384,01

5944,56

73,2

78,7

5358,24

6193,69

5760,84

74,3

79,7

5520,49

6352,09

5921,71

79,9

84,1

6384,01

7072,81

6719,59

78,7

84,3

6193,69

7106,49

6634,41

79,7

85,4

6352,09

7293,16

6806,38

84,1

89,3

7072,81

7974,49

7510,13

84,3

89,6

7106,49

8028,16

7553,28

85,4





Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данную контрольную работу Вы можете использовать для выполнения своих заданий.

Доработать Узнать цену работы по вашей теме
Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :