Контрольная работа по предмету "Экономико-математическое моделирование"

Узнать цену работы по вашей теме


Коэффициент детерминации. Значимость уравнения регрессии



Федеральное агентство по образованию

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Кафедра экономико-математических методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант № 3

Исполнитель: Глушакова Т.И.

Специальность: Финансы и кредит

Курс: 3

Группа: 6

№ зачетной книжки: 07ффд41853

Руководитель: Денисов В.П.

г. Омск 2009г.

Задачи

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.). Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

- уравнение линейной регрессии, где - параметры уравнения.

, где , - средние значения признаков.

, где n - число наблюдений.

Представим вычисления в таблице 1:

Таблица 1. Промежуточные расчеты.

t

xi

yi

yi * xi

xi*xi

1

38

69

2622

1444

2

28

52

1456

784

3

27

46

1242

729

4

37

63

2331

1369

5

46

73

3358

2116

6

27

48

1296

729

7

41

67

2747

1681

8

39

62

2418

1521

9

28

47

1316

784

10

44

67

2948

1936

средн. знач.

35,5

59,4

2108,7

1260,25

21734

13093

n

10

1,319

12,573

Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид:

Коэффициент регрессии равен 1,319>0, значит связь между объемом капиталовложений и выпуском продукции прямая, увеличение объема капиталовложений на 1 млн. руб. ведет к увеличению объема выпуска продукции в среднем на 1,319 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятий.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Вычислим прогнозное значение Y по формуле:

Остатки вычисляются по формуле:

.

Представим промежуточные вычисления в таблице 2.

Таблица 2. Вычисление остатков.

69

62,695

6,305

39,75303

52

49,505

2,495

6,225025

46

48,186

-2,186

4,778596

63

61,376

1,624

2,637376

73

73,247

-0,247

0,061009

48

48,186

-0,186

0,034596

67

66,652

0,348

0,121104

62

64,014

-2,014

4,056196

47

49,505

-2,505

6,275025

67

70,609

-3,609

13,02488

Дисперсия остатков вычисляется по формуле:

.

Построим график остатков с помощью MS Excel.

Рис. 1. График остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК

Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Вычислим коэффициент Дарбина-Уотсона по формуле:

.

Данные для расчета возьмем из таблицы 2.

dw = 0,803

Сравним полученное значение коэффициента Дарбина-Уотсона с табличными значениями границ и для уровня значимости 0,05 при k=1 и n=10. =0,88, =1,32, dw < d , значит, остатки содержат автокорреляцию. Наличие автокорреляции нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.

Проверим наличие гетероскедастичности. Т.к. у нас малый объем выборки (n=10) используем метод Голдфельда-Квандта.

- упорядочим значения n наблюдений по мере возрастания переменной x и разделим на две группы с малыми и большими значениями фактора x соответственно.

- рассчитаем остаточную сумму квадратов для каждой группы.

Вычисления представим в таблицах 3 и 4.

Таблица 3. Промежуточные вычисления для 1-го уравнения регрессии.

t

xi

yi

yi * xi

xi*xi

1

27

46

1242

729

47

-1

1

2

27

48

1296

729

47

1

1

3

28

47

1316

784

49,5

-2,5

6,25

4

28

52

1456

784

49,5

2,5

6,25

средн. знач.

27,5

48,25

1326,875

756,25

5310,00

3026,00

n

4

2,5

- 20,5

14,5

Таблица 4. Промежуточные вычисления для 2-го уравнения регрессии.

t

xi

yi

yi * xi

xi*xi

1

37

63

2331

1369

63,789

-0,789

0,623

2

38

69

2622

1444

64,582

4,418

19,519

3

39

62

2418

1521

65,375

-3,375

11,391

4

41

67

2747

1681

66,961

0,039

0,002

5

44

67

2948

1936

69,340

-2,340

5,476

6

46

73

3358

2116

70,926

2,074

4,301

средн. знач.

40,833

66,833

2729,028

1667,361

16424

10067

n

6

0,793

34,448

41,310

= =2,849

где - остаточная сумма квадратов 1-ой регрессии, - остаточная сумма квадратов 2-ой регрессии.

Полученное значение сравним с табличным значением F распределения для уровня значимости , со степенями свободы и ( - число наблюдений в первой группе, m - число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

, , m=1.

Если > , то имеет место гетероскедастичность.

= 5,41

< ,

значит, гетероскедастичность отсутствует и предпосылка о том, что дисперсия остаточных величин постоянна для всех наблюдений выполняется.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента .

Расчетные значения t-критерия можно вычислить по формулам:

,

,

,

=35,5

Промежуточные расчеты представим в таблице:

Таблица 5. Промежуточные вычисления для расчета t- критерия

xi

38

6,25

28

56,25

27

72,25

37

2,25

46

110,25

27

72,25

41

30,25

39

12,25

28

56,25

44

72,25

=490,50

для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы n-2=8

Так как и можно сделать вывод, что оба коэффициента регрессии значимые.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

Из расчетов нам известно, что

; .

Рассчитаем :

Таблица 6. Промежуточные вычисления для расчета коэффициента детерминации.

69

9,6

92,16

52

-7,4

54,76

46

-13,4

179,56

63

3,6

12,96

73

13,6

184,96

48

-11,4

129,96

67

7,6

57,76

62

2,6

6,76

47

-12,4

153,76

67

7,6

57,76

=930,4

=0,917.

Т.к. значение коэффициента детерминации близко к единице, качество модели считается высоким.

Теперь проверим значимость уравнения регрессии. Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле:

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. >.

Средняя относительная ошибка аппроксимации находится по формуле:

Таблица 7. Промежуточные вычисления для расчета средней относительной ошибки аппроксимации.

yi

69

6,305

0,091377

52

2,495

0,047981

46

-2,186

0,047522

63

1,624

0,025778

73

-0,247

0,003384

48

-0,186

0,003875

67

0,348

0,005194

62

-2,014

0,032484

47

-2,505

0,053298

67

-3,609

0,053866

,

значит модель имеет хорошее качество.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:

6. осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Рассчитаем стандартную ошибку прогноза

,

где

=930,4 ;

, для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы n-2=8

Доверительный интервал прогноза:

Таким образом, =61,112 , будет находиться между верхней границей, равной 82,176 и нижней границей, равной 40,048.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

Воспользуемся данными из таблицы 2 для построения графиков с помощью MS Excel.

Рис. 2. Фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.

Построение степенной модели.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим .

Тогда уравнение примет вид - линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1:

Таблица 8. Расчет параметров уравнения степенной модели регрессии.

t

xi

X

Y

YX

X*X

1

38

1,5798

69

1,839

2,905

2,496

62,347

6,653

9,642

44,26

2

28

1,447

52

1,716

2,483

2,094

50,478

1,522

2,926

2,315

3

27

1,431

46

1,663

2,379

2,048

49,225

-3,225

7,010

10,399

4

37

1,568

63

1,799

2,821

2,459

61,208

1,792

2,845

3,212

5

46

1,663

73

1,863

3,098

2,765

71,153

1,847

2,530

3,411

6

27

1,431

48

1,681

2,406

2,049

49,225

-1,225

2,552

1,5

7

41

1,613

67

1,826

2,945

2,601

65,771

1,289

1,924

1,66

8

39

1,591

62

1,793

2,853

2,531

63,477

-1,477

2,382

2,182

9

28

1,447

47

1,672

2,419

2,094

50,478

-3,478

7,4

12,099

10

44

1,644

67

1,826

3,001

2,701

68,999

-1,999

2,984

3,997

Уравнение регрессии будет иметь вид:

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Вычислим коэффициент детерминации :

=930,4;

(1)

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А:

%

(2)

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

(3)

Рис. 3. График степенного уравнения регрессии.

Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим

Получим линейное уравнение регрессии:

Рассчитаем его параметры, используя данные таблиц 1 и 8.

Промежуточные расчеты представим в таблице 9.

Таблица 9. Промежуточные расчеты для показательной функции.

t

xi

Y

y

1

38

1,839

69,882

69

62,632

6,368

10,167

40,552

2

28

1,716

48,048

52

49,893

2,107

4,223

4,44

3

27

1,663

44,901

46

48,771

-2,771

5,682

7,68

4

37

1,799

66,563

63

61,224

1,776

2,901

3,155

5

46

1,863

85,698

73

75,128

-2,128

2,832

4,528

6

27

1,681

45,387

48

48,771

-0,771

1,581

0,595

7

41

1,826

74,866

67

67,054

-0,054

0,08

0,003

8

39

1,793

69,927

62

64,072

-2,072

3,235

4,295

9

28

1,672

46,816

47

49,893

-2,893

5,798

8,369

10

44

1,826

80,344

67

71,788

-4,788

6,669

22,921

=63,2432

Уравнение будет иметь вид:

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).

=930,4;

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):

А=0,1*43,170=4,317%

Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):

%

Построим график функции с помощью MS Excel.

Рис. 4. График показательного уравнения регрессии.

Построение гиперболической функции.

Уравнение гиперболической функции

Произведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х.

В результате получим линейное уравнение:

Рассчитаем параметры уравнения, промежуточные вычисления представим в таблице 10.

Таблица 10. Расчет параметров для гиперболической модели.

t

xi

yi

X=1/xi

y*X

1

38

69

0,02632

1,81579

0,00069

63,5648

5,4352

7,877

29,5409

2

28

52

0,03571

1,85714

0,00128

50,578

1,422

2,7346

2,0221

3

27

46

0,03704

1,7037

0,00137

48,7502

-2,7502

5,9787

7,5637

4

37

63

0,02703

1,7027

0,00073

62,5821

0,4179

0,6634

0,1747

5

46

73

0,02174

1,58696

0,00047

69,8889

3,1111

4,2618

9,6791

6

27

48

0,03704

1,77778

0,00137

48,7502

-0,7502

1,563

0,5628

7

41

67

0,02439

1,63415

0,00059

66,2256

0,7744

1,1559

0,5998

8

39

62

0,02564

1,58974

0,00066

64,4972

-2,4972

4,0278

6,2362

9

28

47

0,03571

1,67857

0,00128

50,578

-3,578

7,6128

12,8021

10

44

67

0,02273

1,52273

0,00052

68,5235

-1,5235

2,2738

2,3209

Уравнение гиперболической модели:

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).

=930,4;

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):

А=0,1*38,1488=3,81488%

Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):

%

Построим график функции с помощью MS Excel.

Рис. 5 График гиперболического уравнения регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы.

Коэффициенты были рассчитаны в задании 8. Для сравнения моделей составим сводную таблицу 11:

Таблица11. Сводная таблица характеристик моделей.

параметры

модель

Коэффициент детерминации, R

Коэффициент эластичности,(%)

Средняя относительная ошибка аппроксимации, А (%)

Линейная

0,917

0,788

3,648

Степенная

0,909

0,692

4,22

Показательная

0,896

0,817

4,317

Гиперболическая

0,923

0,638

3,815

Для всех моделей средняя относительная ошибка аппроксимации не превышает 7%, значит, качество всех моделей хорошее. Коэффициент детерминации более приближен к 1 у гиперболической модели, таким образом, эту модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза. Для гиперболической модели степень связи между факторным и результативным признаком самая низкая, т.к. имеет наименьшее значение, а для показательной модели самая высокая, т.к. коэффициент эластичности наибольший.




Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данную контрольную работу Вы можете использовать для выполнения своих заданий.

Доработать Узнать цену работы по вашей теме
Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме: