Конспект лекций по предмету "Алгебра"

Узнать цену работы по вашей теме


Линейное пространство

Пусть нам задано поле  и линейное пространство  над этим полем. Пусть  - все обратимые линейные операторы, тогда  - группа относительно операции умножения операторов. Пусть  - произвольная группа, тогда представление  в  - это гомоморфизм .
Если  и , то . По свойству гомоморфизма имеем  и . таким образом, мы получили действие  на  как на множестве.
                Примеры:
1) Рассмотрим группу  - группу симметрий тетраэдра - тем самым у нас есть гомоморфизм . Т.е. имеем представление группы . Это пример трехмерного представления группы .
2) Рассмотрим куб и группу вращений (относительно некоторой оси), переводящих его в себя. Возьмем диагонали куба (всего из 4). Каждое вращение переставляет диагонали, т.е. является подстановкой из . Надо доказать, что любая подстановка из  реализуется, оставим это в качестве упражнения. Еще надо доказать однозначность, т.е. если диагонали остались на месте (т.е. перестановка единична) , то и все вершины остались на месте (т.е. преобразование единственно), это тоже оставим в качестве упражнения. Таким образом, мы получили еще одно представление группы . Это пример еще одного трехмерного представления.
3) Мы знаем что , при изоморфизме  - поворот на угол  и  - симметрия относительно оси . Получаем представление группы  в виде группы симметрий правильного треугольника (это представление двумерно).
4) Вернемся к группе , построим двумерное представление этой группы. Рассмотрим многочлены:

Если , то  - перестановка переменных в соответствии с подстановкой . Но как бы мы не переставляли переменные, мы опять получим один из этих многочленов. Т.е. перестановка  как-то переставит наши три многочлена. Мы получили гомоморфизм  (причем его ядро - это ), также есть гомоморфизм . Из композиция  - это гомоморфизм  - двумерное представление группы .
5) Рассмотрим группу , укажем бесконечномерное представление этой группы. Возьмем кольцо многочленов . Тогда гомоморфизм по правилу  будет преставлением (бесконечномерным) группы .
6) Рассмотрим группу  и кольцо многочленов . Пусть , тогда гомоморфизм по правилу  будет представлением группы .
                Пусть  и . Представления  и  называются эквивалентными, если существует такое биективное линейное отображение , что  и  имеем .
На языке матриц (в случае ) это означает следующее:
Пусть  - базис в ,  - матрица  в базисе ,  - матрица  в базисе ,  - матрица  в базисе . Тогда условие эквивалентности представлений перепишется в виде: , т.е. . Т.е.  и  - это матрицы одного и того же оператора в базисах  и . Отсюда, в частности, вытекает, что .
                Рассмотрим снова группу  и два ее двумерных представления:
 и .
Упражнение. Если  (характеристика поля), то эти представления эквивалентны. А если , то не эквивалентны.
                В дальнейшем будем считать, что поле  - это поле вещественных или комплексных чисел.
                Теорема. Любое конечномерное вещественное (комплексное) представление конечной группы  эквивалентно ортогональному (унитарному).
Доказательство.
                Возьмем произвольный базис  и зададим скалярное произведение: если  и , то . Введем еще одно скалярное произведение . Докажем, что это действительно скалярное произведение: . Если , то , следовательно . Т.е. это действительно будет скалярным произведением.
Пусть , тогда . Следовательно любой оператор сохраняет скалярное произведение и является ортогональным (унитарным).
                Следствие. Если подпространство  инвариантно относительно всех операторов , где , то , где подпространство  также инвариантно относительно всех операторов .
                Определение. Пусть  и , , тогда представление , такое что , называется прямой суммой представлений  и . А представления  и  называются подпредставлениями в .
Из курса линейной алгебры мы знаем, что если  - инвариантное подпространство , то матрица любого оператора имеет вид . А если , то
                Определение. Представление  неприводимо, если в  нет нетривиальных (отличных от нуля и самого пространства) инвариантных подпространств. Представление вполне приводимо, если оно является прямой суммой неприводимых.
Теорема Машке. Любое конечномерное вещественное (комплексное) представление конечной группы вполне приводимо.
Доказательство.
                Пусть ,  - инвариантное подпространство минимальной ненулевой размерности, тогда ,  тоже инвариантно относительно , тогда наше представление разложится в прямую сумму неприводимого () и подпредставления меньшей размерности. Далее можно применить индукцию по размерности представления.
                Пример неприводимого представления:
. Докажем, что это представление неприводимо, как вещественное. Допустим, что оно приводится, т.е. существует инвариантное подпространство, т.е. по теореме Машке оно является прямой суммой одномерных представлений, т.е. существует базис, в котором матрицы записывается в диагональном виде , т.к. любые такие матрицы коммутируют, то , но это не верно. Получили противоречие с предположением о существовании инвариантного подпространства, следовательно оного не существует и представление неприводимо.
                Упражнение. Докажите, что рассмотренные нами в начале лекции два трехмерных представления группы  не эквивалентны и оба неприводимы.
                Теорема. Любое неприводимое конечномерное комплексное представление абелевой группы одномерно.
Доказательство.
                Пусть задано представление . Пусть , тогда  имеет собственное значение  и собственный вектор . Тогда подпространство собственных векторов  ненулевое. Более того, докажем, что оно инвариантно относительно всех операторов :
Возьмем  и , пусть , тогда , следовательно  - снова собственный вектор и подпространство инвариантно.
Т.е. , т.к. представление неприводимо и  отлично от нуля. Т.е. . Возьмем произвольный  и  - это инвариантное подпространство, следовательно  - одномерно.
                Теорема. Число неэквивалентным неприводимых комплексных представлений конечной абелевой группы  равно ее порядку.
Доказательство.
                Возьмем произвольную абелевую группу , тогда . Если  переходит в , то  переходит в , т.е.  должен переходит в корень  степени из единицы. Для каждого  существует столько вариантов, какой его порядок, комбинируя из все, получим что всего существует столько вариантов, каков порядок группы.
                Примеры:
                1) , всего существует 4 неприводимых комплексных представления, напишем их в табличке:
 
(здесь в таблице стоит то, во что переходит элемент из столбца при представлении из строки).
2)  - опять будет 4 представления:

3) , всего будет 2 представления:

                Одномерное представление - это гомоморфизм . Опишем все такие гомоморфизмы. Т.к. , то  - абелевая группа. Следовательно, ядро этого гомоморфизма должно содержать коммутант группы, т.е. . По заданному гомоморфизму , мы можем рассмотреть гомоморфизм , действующий по правилу: . И обратно, если задан гомоморфизм , мы можем рассмотреть гомоморфизм , являющийся композицией естественного гомоморфизма  и гомоморфизма . Таким образом, мы можем отождествить гомоморфизмы  и гомоморфизмы .
                Примеры:
                1) , , - группа порядка 2, . У нее существует всего два представления:  и . Т.е. у группы  существует всего два одномерных представления:  и .
                2)  , , если  - нечетно и , если  - четно.
                Если  - нечетно. Имеем , существует два представления:  и  (, ).
                Если  - четно. Имеем , существуют четыре представления ( и ).
                Теорема. Любое неприводимое комплексное представление группы  имеет размерность .
Доказательство.
                Пусть  - пространство представлений. Пусть , рассмотрим  - конечномерно. Если , то . Следовательно,  - инвариантное подпространство, т.е. в силу неприводимости представления , следовательно,  конечномерно.
Оператор  имеет собственные вектор , такой что . Обозначим , покажем, что  - инвариантно. Имеем,  и . Следовательно,  - инвариантно и в силу неприводимости представления , следовательно, .
                Если , , то матрица представления группы  имеет вид , . Т.к. , то , т.е.  - это корень степени  из .
Вернемся к представлениям группы . Пусть , т.е.  и характеристика поля взаимнопросты. Рассмотрим пространство с базисом , тогда  - это представление. Выделим два подпространства:  и . Они инвариантны.
                Упражнение. Докажите, что  (здесь важно, что ).
                Теорема. Если , то  - неприводимо.
Доказательство.
                Пусть . , причем существует  (без ограничения общности будем считать, что ). Если , то  (т.к. ). Следовательно, не все  равны между собой (без ограничения общности будем считать, что ).
Имеем , . Тогда  и . Т.е. мы можем получить вектор . Аналогичным образом (подставляя вместо  любой вектор ) получим все вектора  (если , то , получим вектор , прибавим к нему , получим ). Эти  вектор образуют базис в , следовательно в  нет инвариантного подпространства (т.к. из одного вектора  мы можем получить все вектора ), следовательно  неприводимо.
                При  только что полученное нами представление эквивалентно группе диэдра  (двумерное представление).
При  это представление эквивалентно группе симметрий тетраэдра (трехмерное представление).
При  существует одномерное и  мерное представления.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный конспект лекций Вы можете использовать для создания шпаргалок и подготовки к экзаменам.

Доработать Узнать цену работы по вашей теме
Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем конспект самостоятельно:
! Как написать конспект Как правильно подойти к написанию чтобы быстро и информативно все зафиксировать.

Другие популярные конспекты:

Конспект Основные проблемы и этапы развития средневековой философии
Конспект Проблема познаваемости мира. Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм. Взаимосвязь субъекта и объекта познания
Конспект Понятие финансовой устойчивости организации
Конспект Внутренняя политика первых Романовых.
Конспект Понятие мировоззрения, его уровни и структура. Исторические типы мировоззрения
Конспект ПРОБЛЕМЫ КВАЛИФИКАЦИИ ПРЕСТУПЛЕНИЙ
Конспект Синтагматические, парадигматические и иерархические отношения в языке
Конспект Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей геометрическим способом 13
Конспект Происхождение человека. Основные концепции антропосоциогенеза. Антропогенез и культурогенез.
Конспект Общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации