Конспект лекций по предмету "Линейное программирование"

Узнать цену работы по вашей теме


ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Пример 2.1. Пусть требуется определить план выпуска четырёх видов продукции П1, П2, П3, П4, для изготовления которых необходимы ресурсы трёх видов: трудовые, материальные, финансовые. Количество каждого i-го вида ресурса для производства каждого j-го вида продукции называют нормой расхода и обозначают ai j. Количество каждого вида ресурса, которое имеется в наличии, обозначают bi (табл.2.1.).
Из таб.2.1 видно, что для выпуска единицы продукции, например вида П2, требуется две единицы трудовых ресурсов, П3 – четыре единицы материальных ресурсов и т.д.; предприятие располагает 100 единицами финансовых ресурсов, 40 единицами трудовых, исходя из спроса заданы верхние и нижние пределы границы выпуска каждого вида продукции.
Таблица 2.1
Ресурсы (i)
Вид продукции ( j)
Запас ресурса (bi)
П1
П2
П3
П4
Удельный расход ресурсов (ai j)
Трудовые
Материальные
Финансовые















Граница:
нижняя
верхняя















План
х1
х2
х3
х4

На основании исходных данных требуется составить математическую модель для определения плана выпуска продукции.
Решение. Обозначим через х1, х2, х3, х4 – количество выпускаемой продукции видов П1, П2, П3, П4, которое надо найти.
Теперь составляем ограничения. Из табл.2.1 видно, что для выпуска единицы продукции П1 требуется одна единица трудовых ресурсов, П2, П3, П4 – соответственно 2, 3, 4 единиц трудовых ресурсов. Тогда потребный трудовой ресурс для выпуска всех видов продукции будет равен х1+2х2+3х3+4х4.
Очевидно, что потребный ресурс не может превышать располагаемый, т.е. для трудового ресурса справедливо неравенство
х1 +2х2+3х3+4х4 £ 40,
где 40 – располагаемый ресурс (табл.2.1).
Если составить аналогичные зависимости для остальных видов ресурсов и добавить предельно допустимые значения для выпуска каждого вида продукции, то получим систему:
(3)
В этой системе неравенства, устанавливающие зависимости для ресурсов – ограничения, а предельно допустимые значения переменных – граничные условия. В ограничениях левые части неравенства – потребные ресурсы, а правые – располагаемые.
Если в неравенства ввести дополнительные переменные у1³0, у2³0, у3³0, то можно записать
(4)
В этой системе дополнительные переменные – это разность между располагаемым ресурсом и потребным и, следовательно, равные неиспользуемому ресурсу, т.е. это резервы каждого вида ресурсов.
Очевидно, что система (4), содержащая три уравнения и семь переменных, имеет бесчисленное множество решений, т.е. различных вариантов плана. Все эти возможные варианты, удовлетворяющие системе (3), являются допустимыми планами.
Если получить оптимальное решение очень важно, то иметь допустимое решение – необходимо.
Любая правильно составленная задача планирования (как и в данном примере) имеет бесчисленное множество допустимых решений. Какое из них выбрать?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сформулировать задачу оптимизации в какой-либо из двух взаимоисключающих постановок.
Обозначим: Q – ресурсы, R – результат их применения. Тогда при заданных зависимостях результата и потребных ресурсов от количества выпускаемой продукции R = f(x j), Q = j(x j) обе постановки распределения ресурсов можно записать:
для первойпостановки
L1 = R ® max;
Q £ Qпл;
для второйпостановки
L2 = Q ® min;
R £ Rпл,
где Qпл, Rпл – заданные (плановые или прогнозируемые) значения ресурсов результата.
Для составления модели в какой-либо постановке потребуются дополнительные данные: прибыль от реализации единицы продукции каждого вида и плановая прибыль в целом от производства всей продукции.
Пусть для продукции видов П1, П2, П3, П4 она составит соответственно 60, 70, 120, 130, а суммарная прибыль от всего производства должна быть не менее 1000.
Тогда для первой постановки к системе (3) добавляем ЦФ и получаем математическую модель:

Для второй постановки:

Так как у1, у2, у3 – резервы по ресурсам, то максимизация их суммы обеспечивает минимизацию используемых ресурсов.
В результате решения задачи в двух постановках (табл.2.2), видно, что эти результаты тоже различные.

Таблица 2.2
Постановка
ЦФ
Граничные условия
R
Q
h=R/Q
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3

R®max
Q£250

180,5
7,48


7,5

4,5



Q®min
R³1000


7,31


4,6

13,2
76,6
23,2
В первой постановке maxR1 = 1350, общее количество использованных ресурсов Q = 180,5. При этом ресурсы оказались подразделёнными на две группы: лимитирующие, для которых yi = 0, и нелимитирующие, для которых yi >0. К первой группе относят финансы, ко второй – трудовые и материальные. Значит, увеличение финансов приведёт к увеличению прибыли, а рост трудовых и материальных – нет. Отсюда вывод: для увеличения выпуска продукции не требуется увеличение всех ресурсов, а только – лимитирующих (на практике – требуют всех).
Во второй постановке общее число использованных ресурсов Q2 = 137 и для всех их видов есть резервы. Дальнейшее уменьшение ресурсов ограничено требованием прибыли (не менее 1000).


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный конспект лекций Вы можете использовать для создания шпаргалок и подготовки к экзаменам.

Доработать Узнать цену работы по вашей теме
Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем конспект самостоятельно:
! Как написать конспект Как правильно подойти к написанию чтобы быстро и информативно все зафиксировать.

Другие популярные конспекты:

Конспект Основные проблемы и этапы развития средневековой философии
Конспект Проблема познаваемости мира. Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм. Взаимосвязь субъекта и объекта познания
Конспект Понятие финансовой устойчивости организации
Конспект Внутренняя политика первых Романовых.
Конспект Понятие мировоззрения, его уровни и структура. Исторические типы мировоззрения
Конспект ПРОБЛЕМЫ КВАЛИФИКАЦИИ ПРЕСТУПЛЕНИЙ
Конспект Синтагматические, парадигматические и иерархические отношения в языке
Конспект Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей геометрическим способом 13
Конспект Происхождение человека. Основные концепции антропосоциогенеза. Антропогенез и культурогенез.
Конспект Общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации