Конспект лекций по предмету "Алгебра"

Узнать цену работы по вашей теме


Геометрический, физический, механический, экономический смысл определенного интеграла

ТЕМА «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
ЛЕКЦИЯ № 4
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ПЛАН
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
2. Интегральная сумма. Определенный интеграл.
3. Геометрический, физический, механический, экономический смысл определенного интеграла.
4. Свойства определенного интеграла.







Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла







Площадь криволинейной трапеции

Пусть дана непрерывная неотрицательная функция .
Определение. Плоская фигура, ограниченная сверху графиком функции
, снизу – отрезком оси Ох, слева и справа прямы-






Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается по действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину , где х – абсцисса движущейся…







Масса неоднородного стержня

Рассмотрим отрезок оси Ох и будем считать, что отрезок - это материальный стержень, имеющий определенную массу, у которого всеми размерами, кроме… Определение. Плотностью прямолинейного стержня называется количество
массы, приходящейся на единицу его длины






Объем выпускаемой продукции

Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства в зависимости от времени t. Найдем объем продукции U, произведенной за… Если производительность не изменяется с течением времени, то за промежуток… Для нахождения объема продукции U, произведенной за промежуток времени при меняющейся во времени производительности ,…





Интегральная сумма. Определенный интеграл

Рассмотрим на отрезке непрерывную функцию , принимающую неотрицательные значения .
Выполним следующие действия:
1. С помощью точек , где , разобьем отрезок на n-частичных отрезков .






Геометрический смысл определенного интеграла

Исходя из задачи о площади криволинейной трапеции, получаем геометрический смысл определенного интеграла:
площадь криволинейной трапеции, ограничен-
ной сверху кривой , снизу отрезком


Физический смысл определенного интеграла

Возвращаясь к задаче о работе переменной силы, получаем физический смысл определенного интеграла: работа переменной силы , величина которой есть… . (20)


Механический смысл определенного интеграла

На основании задачи о массе неоднородного стержня, имеем механический смысл определенного интеграла: масса m неоднородного стержня на отрезке равна… . (21)



Экономический смысл определенного интеграла

На основании задачи об объеме выпускаемой продукции и определения интеграла, получаем экономический смысл определенного интеграла
, (22)
то есть объем выпускаемой продукции за промежуток численно равен значению определенного интеграла от…





Свойства определенного интеграла

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая, что подынтегральные функции и интегрируемы на отрезке .

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:






Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

Доказательство.

. Доказательство проводится аналогично для любого числа слагаемых.






Свойство аддитивности определенного интеграла.

.
Доказательство. При разбиении отрезка на части включим точку с в число точек… Если , то интегральную сумму можно разбить на две суммы:


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный конспект лекций Вы можете использовать для создания шпаргалок и подготовки к экзаменам.

Доработать Узнать цену работы по вашей теме
Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем конспект самостоятельно:
! Как написать конспект Как правильно подойти к написанию чтобы быстро и информативно все зафиксировать.

Другие популярные конспекты:

Конспект Основные проблемы и этапы развития средневековой философии
Конспект Проблема познаваемости мира. Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм. Взаимосвязь субъекта и объекта познания
Конспект Понятие финансовой устойчивости организации
Конспект Внутренняя политика первых Романовых.
Конспект ПРОБЛЕМЫ КВАЛИФИКАЦИИ ПРЕСТУПЛЕНИЙ
Конспект Понятие мировоззрения, его уровни и структура. Исторические типы мировоззрения
Конспект Синтагматические, парадигматические и иерархические отношения в языке
Конспект Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей геометрическим способом 13
Конспект Происхождение человека. Основные концепции антропосоциогенеза. Антропогенез и культурогенез.
Конспект Общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации