Конспект лекций по предмету "Математика"

Узнать цену работы по вашей теме


Понятие производной

Рассмотрим график непрерывной функции у=f(x). Возьмем на этом графике точку М0(x0, у0). Определим тангенс угла наклона касательной прямой к графику у=f(х), проведенной в точке М0 (рис.1).

Рис. 1
Точка М0 имеет координаты х0, у0=f(х0). Дадим переменной х приращение Dx и переместимся по графику из точки М0 в точку М с координатами: абсциссой х0 + Dх, ординатой у0 + Dy = f(х0 + Dх). При перемещении из точки М0 в точку M значение функции изменилось на величину Dу. Это изменение называется приращением функции и вычисляется так:
Dy = y – y0 = f(x0+Dx) – f(x0).
Проведем секущую прямую М0М. Тангенс угла наклона к оси ОХ (угловой коэффициент) секущей может быть найден из прямоугольного треугольника М0МN как отношение противолежащего катета |MN| к прилежащему |M0N|:
.
Когда точка М вдоль кривой будет перемещаться к точке M0, секущая М0М будет вращаться вокруг точки M0 и неограниченно приближаться к некоторой прямой М0К с углом наклона a (М0М ® М0К). Это предельное положение секущей является касательной к графику у=f(х) в точке М0.
В этом случае неограниченно уменьшаются приращение аргумента Dх (Dх®0) и приращение функции Dу®0 (наша функция непрерывна).
Угол b наклона секущей к положительному направлению оси OX превратится в угол наклона касательной a. Тогда угловой коэффициент касательной прямой k получим так:
,
т.е. угловой коэффициент касательной есть предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю.
Определение 1. Производной функции у=f(х) в точке х0 называется предел отношения приращения функции Dу = f(х0+Dх) – f(x0) к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю, если такой предел существует.
.
Другие обозначения производной функции в точке х0:
у'(х0), .
Нахождение производной функции называется дифференцированием функции.
Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.
Определение 2. Функция f(х) имеет производную на интервале (a, b), если производная f'(х0) существует в каждой точке х0 этого интервала.
Учитывая это, в дальнейшем иногда будем опускать индекс «0» у величины х0 и записывать производную так: f'(х).
Производную функции f(х) можно вычислять при различных значениях х (не только в точке х0), т.е. величина производной зависит от значения аргумента х. Поэтому, если функция f(х) имеет производную в каждой точке множества X, то производная f'(x) также является функцией от аргумента х, определенной на множестве Х.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный конспект лекций Вы можете использовать для создания шпаргалок и подготовки к экзаменам.

Доработать Узнать цену работы по вашей теме
Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем конспект самостоятельно:
! Как написать конспект Как правильно подойти к написанию чтобы быстро и информативно все зафиксировать.

Другие популярные конспекты:

Конспект Основные проблемы и этапы развития средневековой философии
Конспект Проблема познаваемости мира. Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм. Взаимосвязь субъекта и объекта познания
Конспект Понятие финансовой устойчивости организации
Конспект Внутренняя политика первых Романовых.
Конспект ПРОБЛЕМЫ КВАЛИФИКАЦИИ ПРЕСТУПЛЕНИЙ
Конспект Понятие мировоззрения, его уровни и структура. Исторические типы мировоззрения
Конспект Синтагматические, парадигматические и иерархические отношения в языке
Конспект Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей геометрическим способом 13
Конспект Происхождение человека. Основные концепции антропосоциогенеза. Антропогенез и культурогенез.
Конспект Общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации