Конспект лекций по предмету "Математика"

Узнать цену работы по вашей теме


Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Основаны на приближенной замене приращения функции в точке на ее дифференциал ∆y ≈ dy.
Как следует из рис.7, погрешность от такой замены при ∆х→0 является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с ∆х.
Подставляя в это соотношение формулу для dy и выражение для ∆у (∆у=f(х+∆х) – f(x)), получим
f(х+∆х) = f(x) + ∆у ≈ f(x) + f'(х)·∆х.
Эта формула называется формулой линеаризации и является основной в приближенных вычислениях.
Пример 1. Вычислить приближенное значение корня .
Решение. Рассмотрим функцию в окрестности точки x=1.
. Принимая ∆х = 0,07, получим из формулы линеаризации

Пример 2. Найти приближенно .
Решение. Используем формулу линеаризации
.
Пусть , тогда . При малых ∆х справедлива формула

Для (х + Δх) запишем . В радианной мере радиан. Тогда .
Используя формулу , имеем:
.
Пример 3. Вывести приближенную формулу линеаризации (для |∆х|, малых по сравнению с x): , и с её помощью найти приближенные значения для .
Решение. Пусть , тогда , приращение .
Следовательно, . Отсюда,
Полагая ; , и применяя формулу линеаризации, имеем:
.
.
Пример 4. Вычислить приближенное значение .
Решение. Рассмотрим функцию , полагая , . Применяя формулу , получаем

Пример 5. Найти приращение и дифференциал функции при и .
Решение. Запишем приращение функции :

Главная часть приращения, линейная относительно , является дифференциалом или .


Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен м.
Решение. Воспользуемся формулой , полагая , . Имеем
Приближенное значение площади круга составляет
.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный конспект лекций Вы можете использовать для создания шпаргалок и подготовки к экзаменам.

Доработать Узнать цену работы по вашей теме
Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме:

Пишем конспект самостоятельно:
! Как написать конспект Как правильно подойти к написанию чтобы быстро и информативно все зафиксировать.

Другие популярные конспекты:

Конспект Основные проблемы и этапы развития средневековой философии
Конспект Проблема познаваемости мира. Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм. Взаимосвязь субъекта и объекта познания
Конспект Понятие финансовой устойчивости организации
Конспект ПРОБЛЕМЫ КВАЛИФИКАЦИИ ПРЕСТУПЛЕНИЙ
Конспект Понятие мировоззрения, его уровни и структура. Исторические типы мировоззрения
Конспект Внутренняя политика первых Романовых.
Конспект Синтагматические, парадигматические и иерархические отношения в языке
Конспект Происхождение человека. Основные концепции антропосоциогенеза. Антропогенез и культурогенез.
Конспект Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей геометрическим способом 13
Конспект Общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации