Конспект лекций по предмету "Математический анализ"

Узнать цену работы по вашей теме


Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения

Напомним сначала, что корень характеристического многочлена называется корнем кратности если

Полезно заметить, что если полином имеет различных корней ( – степень многочлена ), то все они имеют кратность Однократные корни называют еще простыми корнями .
Записав для многочлена формулу Тейлора

(остаточный член его равен тождественно нулю), получим с учетом равенств (6), что если – корень кратности , то представляется в виде

где – многочлен степени такой, что Очевидно, верно и обратное: если представляется в виде (7) , где то --- корень кратности многочлена
Построению фундаментальной системы решений в случае кратных корней характеристического уравнения предпошлем несколько вспомогательных утверждений.
Если – дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами то имеет место формула

Действительно, по (2) имеем Дифференцируя это тождество по и учитывая, что операторы и перестановочны при применении их к бесконечно дифференцируемой по и функции , будем иметь

Таким образом, справедливо тождество (8).
Пусть – корень кратности характеристического многочлена уравнения (21.26) с постоянными коэффициентами Тогда функций

линейно независимы на любом отрезке и являются решениями уравнения (1).
Доказательство. Пусть – любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Согласно имеет место тождество

где (см. ). Имеем





Полагая в последнем тождестве , будем иметь

Это означает, что функции (9) являются решениями уравнения (1). Эти функции линейно независимы на любом отрезке (см. утверждение предыдущей лекции). Свойство доказано.
Если – комплексный корень кратности уравнения с постоянными и действительными коэффициентами , то отделяя в (9) действительные и мнимые части, получаем линейно независимых действительных решений

Из этого факта и предыдущих утверждений вытекает следующий алгоритм построения фундаментальной системы решений однородного уравнения (1) с постоянными и действительными коэффициентами .


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный конспект лекций Вы можете использовать для создания шпаргалок и подготовки к экзаменам.

Доработать Узнать цену работы по вашей теме
Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем конспект самостоятельно:
! Как написать конспект Как правильно подойти к написанию чтобы быстро и информативно все зафиксировать.

Другие популярные конспекты:

Конспект Основные проблемы и этапы развития средневековой философии
Конспект Проблема познаваемости мира. Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм. Взаимосвязь субъекта и объекта познания
Конспект Понятие финансовой устойчивости организации
Конспект Внутренняя политика первых Романовых.
Конспект ПРОБЛЕМЫ КВАЛИФИКАЦИИ ПРЕСТУПЛЕНИЙ
Конспект Понятие мировоззрения, его уровни и структура. Исторические типы мировоззрения
Конспект Синтагматические, парадигматические и иерархические отношения в языке
Конспект Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей геометрическим способом 13
Конспект Происхождение человека. Основные концепции антропосоциогенеза. Антропогенез и культурогенез.
Конспект Общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации