Конспект лекций по предмету "Информатика"

Узнать цену работы по вашей теме


Первообразная функция и неопределенный интеграл

ТЕМА «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
ЛЕКЦИЯ № 1
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПЛАН


1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
2. Свойства неопределенных интегралов.
3. Таблица основных неопределенных интегралов.



Первообразная функция и неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции.
Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по…


.

Доказательство. Так как F(x) и Ф(х) первообразные для f(х), то и . Поэтому . А это означает, что , где С – постоянное число. Следовательно, .

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(х) на проме- жутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(х) на этом промежутке и обозначается , где - знак
интеграла, f(х) - подынтегральная функция, f(x)d x – подынте-
гральное выражение.

Таким образом, , (1)
где , С – произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Назовем график первообразной от f(х) инте-
гральной кривой. Таким образом, если
, то график функции у = F(x) есть
интегральная кривая. Неопределенный интеграл
геометрически представляет семейство всех ин-
тегральных кривых. Все кривые из этого семей-
Рисунок 1 ства у = F(x) + С могут быть получены из
одной интегральной кривой параллельным
сдвигом в направлении оси Оу.

Теорема. Всякая непрерывная на множестве Х функция f(х) имеет на этом
множестве первообразную, а следовательно, и неопределенный
интеграл.


Свойства неопределенных интегралов



Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .



Доказательство. Дифференцируя левую и правую часть равенства (1), получаем: .



Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

Доказательство. По определению дифференциала и свойству 1 имеем: .

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .

Доказательство. По определению дифференциала и рассматривая функцию F(x) как первообразную для некоторой функции f(х) имеем .

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. .

Доказательство.
(положили ).

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, т.е. .


Доказательство. Пусть и . Тогда
, где .

Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Доказательство. Пусть х - независимая переменная, f(х) – непрерывная функция и F(x) – ее первообразная. Тогда . Положим , где - непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию . В силу инвариантности формы дифференциала первого порядка функции имеем . Отсюда .
Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.


Таблица основных неопределенных интегралов


Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными.
В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций. Методы нахождения первообразных сводятся к указанию приемов, приводящих данный интеграл к табличному. Поэтому, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.
В таблице основных интегралов переменная интегрирования U может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования).


Таблица интегралов



Формулы интегрирования

Справедливость приведенных формул проверяется непосредственно дифференцированием.
Докажем, например, формулу (12).


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный конспект лекций Вы можете использовать для создания шпаргалок и подготовки к экзаменам.

Доработать Узнать цену работы по вашей теме
Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем конспект самостоятельно:
! Как написать конспект Как правильно подойти к написанию чтобы быстро и информативно все зафиксировать.

Другие популярные конспекты:

Конспект Основные проблемы и этапы развития средневековой философии
Конспект Проблема познаваемости мира. Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм. Взаимосвязь субъекта и объекта познания
Конспект Понятие финансовой устойчивости организации
Конспект Внутренняя политика первых Романовых.
Конспект Понятие мировоззрения, его уровни и структура. Исторические типы мировоззрения
Конспект ПРОБЛЕМЫ КВАЛИФИКАЦИИ ПРЕСТУПЛЕНИЙ
Конспект Синтагматические, парадигматические и иерархические отношения в языке
Конспект Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей геометрическим способом 13
Конспект Происхождение человека. Основные концепции антропосоциогенеза. Антропогенез и культурогенез.
Конспект Общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации