Модель «хищник-жертва» вольтерра. Модель изменения численности популяций с учетом внутривидовой конкуренции

Один вид является хищником по отношению друг к другу:Найдем координаты особой точкиТ.к. все параметры положительны, точка  (x,y)  расположена в положительном квадранте фазовой плоскости.В этом случае фазовые траектории вблизи особой точки представляют собой концентрические эллипсы, а сама особая точка является центром. Вдали от особой точки фазовые траектории являются замкнутыми, хотя их форма отличается от эллипсовидной.Особая точка типа центр является в целом неустойчивой точкой.Пусть колебания  x(t)  и  y(t)  происходят таким образом, что изображающая точка движется по фазовой траектории 1.В момент времени, когда точка находится в положении М, в систему извне добавляют некоторое число особей delta у, такое, что изображающая точка переходит скачком из точки М в точку М'. После этого, если система будет предоставлена самой себе, колебания х(t), у(t) уже будут происходить с большими амплитудами, чем прежде.Изображающая точка будет двигаться по траектории (2). Таким образом, колебания в системе неустойчивые, меняют свои характеристики при внешнем воздействии. Ситуации часто наблюдались на практике. Можно было бы показать, что результат получится более обнадеживающим, если истребления хищника вести сезонно, согласуя сезоны охоты с характером цикла.На рисунке приведены графики функций х(t), у(t). Видно, что  х(t) и  у(t) являются периодическими функциями времени, причем максимум чмсленности жертв всегда опережает максимум численности хищников.На основе рассмотренной системы можно конструировать более сложные модели. Так, можно учесть внутривидовую конкуренцию: